Zakoni očuvanja – količine gibanja, energije i kutne količine gibanja (zamaha) – nisu naprosto činjenica svijeta, nego slijede iz homogenosti vremena te homogenosti i izotropnosti prostora. Do tog važnog otkrića došla je njemačka matematičarka Emmy Noether, koja se nakratko zainteresirala za fiziku, 1915. otkrila taj ključni teorem i vratila se svojim matematičkim poslovima. Matematički dokaz izlazi iz okvira ovoga bloga, ali samu zamisao je moguće dosta jasno izložiti. Budući da su to vrlo lijepo učinili već Nikola Cindro i Petar Colić u jednom starom srednjoškolskom udžbeniku, evo ovdje ulomka (N. Cindro, P. Colić, Fizika, Zagreb 1987., str. 102.-109.)
Posebnu vrstu prirodnih zakona čine zakoni očuvanja. Tu ne podrazumijevamo zakonitosti neke promjene, već veličine koje ostaju nepromijenjene makar što se dogodilo s tijelima koje promatramo.
Kada je riječ o zakonima očuvanja, neobično je važno upozoriti na zatvoreni sustav. Pod zatvorenim sustavom podrazumijevamo predmet ili skup predmeta koji među sobom djeluju, ali s okolinom nisu povezani; niti okolina djeluje na njih niti oni djeluju na okolinu. Sljedeći primjer, vrlo jasan, pomoći će nam da stvorimo predodžbu zatvorenog sustava: Dijete se igra kockama za slaganje pa poneku baci i kroz prozor. Susjedovo dijete može mu koju kocku donijeti ili odnijeti, stoga broj kocaka neće biti stalan. Sad već uviđamo da, želimo li imati “zakon očuvanja kocaka”, moramo sustav zatvoriti, i to doslovce…
Promatranje neke pojave zahtijeva od nas mjerenje udaljenosti i vremena, a ponekad i više od toga. Što se tiče udaljenosti (prostora) i vremena, prije samog promatranja pojave moramo se odlučiti odakle ćemo mjeriti udaljenosti i od kada ćemo početi odbrojavati vrijeme. Moramo, zapravo, odabrati koordinatni sustav i početak vremena. …
OČUVANJE ENERGIJE I IZBOR POČETKA VREMENA
Ima međutim pojava u prirodi u kojima ne možemo razlikovati početak odbrojavanja vremena. Promatrajmo njihalo.
Iz krajnjeg lijevog položaja spušta se u najnižu točku, penje se nadesno, zaustavlja se, spušta, itd. Sve se to ponavlja. … Ako za neko vrijeme prestanemo promatrati njihalo pa se ponovno k njemu vratimo, vidjet ćemo opet isto. … Koliko je u međuvremenu bilo njihaja? Ne znamo, jer ne razlikujemo jedan njihaj od drugoga. Jedino ako smo uporni i dugo promatramo njihalo, primijetit ćemo da se kuglica svakim njihajem penje na sve manju visinu. Točnim mjerenjem visine do koje se kuglica penje mogli bismo doznati koji je to bio njihaj po redu (nakon nekog njihaja koji smo proglasili prvim.)
Znamo i razloge zašto se kuglica svakim njihajem zaustavlja na sve nižoj razini. Kuglica se giba kroz zrak, udara o molekule zraka i predaje im dio svoje energije. Tako njezina energija postaje sve manja. Ako uklonimo zrak iz okoliša kuglice i smanjimo trenje konca u točki u kojoj je njihalo obješeno, gubitak energije bit će malen, a u idealnom, zamišljenom slučaju, neće ga uopće biti. Tada nećemo ni moći razlikovati jedan njihaj od drugoga. Iz promatranja neće biti moguće doznati kada je počelo njihanje, kada smo počeli odbrojavati vrijeme. U kojem god trenutku počeli odbrojavati, pojava će se činiti potpuno jednakom. Kažemo da je pojava neovisna o izboru trenutka za početak odbrojavanja vremena. Za to svojstvo uobičajen je izraz invarijantnost na vremenski pomak.
Zakon o očuvanju energije. Istaknimo još jednom da smo tu invarijantnost ili neovisnost o početku brojenja vremena uočili samo na sustavu koji ne predaje energiju svom okolišu. …
Galilejev pokus s njihalom dobar je primjer očuvanja energije. Postavimo zapreku iznad ravnotežnog položaja njihala. Kuglica nastavlja svoj put, nit se otklanja sve dok kuglica ne dosegne jednaku visinu kao i bez zapreke. Kinetička energija koju tijelo ima dok prolazi kroz ravnotežni položaj pretvorit će se u potencijalnu. Zato se kuglica mora popeti na odgovarajuću visinu, bez obzira na zapreku i otklon niti.
No, kada se ukupna energija mijenja, kuglica dio svoje energije predaje okolini; tad nema invarijantnosti, neovisnosti o izboru početka odbrojavanja vremena. Uočimo da je nemoguće odvojiti očuvanje energije i neovisnost o izboru početka vremena. … Kad je u nekom sustavu nemoguće odrediti koji je “pravi” početak vremena, tad u tom sustavu postoji veličina koja se s vremenom ne mijenja, koja ostaje stalna. Tu veličinu nazivamo energijom. …
OČUVANJE KOLIČINE GIBANJA I IZBOR ISHODIŠTA (U PROSTORU)
Pokušat ćemo u prostoru ponoviti sve ono što smo do sada govorili o vremenu i energiji. Promjeni početka vremena odgovarat će pomak koordinatnog sustava lijevo-desno, gore-dolje, naprijed-natrag. Što se time mijenja? Mijenja se položaj neke čestice prema tom novom sustavu, mijenjaju se koordinate čestice, ali međusobna udaljenost dvaju tijela ostaje nepromijenjena. Isto tako ostaje nepromijenjen i pomak nekog tijela iz jednog položaja u drugi, prevaljeni put jednak je u svim tim sustavima. …
Zakon o očuvanju količine gibanja. Slično kao što smo povezali očuvanje energije i neovisnost o početku vremena, ovdje ćemo povezati neovisnost o pomaku ishodišta koordinatnog sustava s gibanjem nekog tijela. … Moramo još voditi računa i o tromosti tijela koja se gibaju. Doći ćemo tako do pojma izgrađenog od brzine i trome mase tijela koje se giba. A to je veličina koju poznamo kao količinu gibanja p = mv.
Zaključak možemo sažeto izreći: zbroj količina gibanja svih tijela u nekom sustavu ostaje stalan.
Utvrdimo pritom da sustav mora biti zatvoren. …
Primjera za provjeru ima mnogo. Iskakanje iz čamca, trzaj topa ili puške, raketni potisak, i još mnogo sličnih primjera. Dok smo na čamcu pored obale i mirujemo, količina gibanja jednaka je nuli. Iskočimo li iz čamca nekom brzinom, čamac se otisne u suprotnom smjeru. Njegova brzina razlikuje se od naše; što mu je masa veća, brzina mu je manja. Tako će umnožak mase i brzine, tj. količina gibanja čamca i našeg tijela u skoku biti jednake, ali će im smjerovi biti suprotni. Zbog toga je zbroj količina gibanja jednak nuli, kao što je bio i prije iskakanja. …
NEOVISNOST O ZAOKRETU
Osim opisanog pomicanja koordinatnog sustava moguće je sustav i zaokrenuti oko jedne osi. Zbog toga se mijenjaju koordinate točaka u prostoru. Međutim, kut se ne mijenja. Spojimo točke u prostoru i os oko koje se koordinatni sustav okreće. Spojnice zatvaraju kutove koji se ne mijenjaju kada se koordinatni sustav okrene oko osi. Isto tako spojnica neke točke prebrisat će određeni kut dok se točka giba. Za dani zaokret svaka će spojnica prebrisati jednaki kut. Dakle, gibanju točke oko osi pridružili smo kut koji prebriše spojnica te točke. Iz kuta i vremena potrebnog da ga se prebriše doći ćemo do kutne brzine.
Sličnost s pravocrtnim gibanjem (pomakom) koordinatnog sustava je uočljiva. Tamo je pomak ishodišta ostavljao nepromijenjen prevaljen put, ovdje zaokret sustava ostavlja nepromijenjen prebrisani kut. Tamo smo gibanje opisali brzinom, a ovdje ćemo okretanje tijela oko osi opisati kutnom brzinom. Pomoću tromosti i brzine tamo smo definirali količinu gibanja, a ovdje bismo mogli definirati „količinu vrtnje“ – kutnu količinu gibanja. Brzinu vrtnje, tj. kutnu količinu gibanja već imamo. Treba nam još samo tromost za vrtnju. … Zovemo je moment tromosti ili moment inercije. Napisat ćemo jednostavno
L = Iω
L označava kutnu količinu gibanja, I moment tromosti, a ω kutnu brzinu.
Zakon očuvanja kutne količine gibanja. Potpuno u skladu s dosadašnjim iskustvom poći ćemo od činjenice da je zatvoreni sustav neovisan o zakretanju koordinatnih osi i zaključiti da će u tom sustavu ostati nepromijenjen zbroj svih kutnih količina gibanja.