uz Noetherin teorem: zakoni očuvanja (ulomak iz Cindro/Colić: Fizika)

Zakoni očuvanja – količine gibanja, energije i kutne količine gibanja (zamaha) – nisu naprosto činjenica svijeta, nego slijede iz homogenosti vremena te homogenosti i izotropnosti prostora. Do tog važnog otkrića došla je njemačka matematičarka Emmy Noether, koja se nakratko zainteresirala za fiziku, 1915. otkrila taj ključni teorem i vratila se svojim matematičkim poslovima. Matematički dokaz izlazi iz okvira ovoga bloga, ali samu zamisao je moguće dosta jasno izložiti. Budući da su to vrlo lijepo učinili već Nikola Cindro i Petar Colić u jednom starom srednjoškolskom udžbeniku, evo ovdje ulomka (N. Cindro, P. Colić, Fizika, Zagreb 1987., str. 102.-109.)

---

Posebnu vrstu prirodnih zakona čine zakoni očuvanja. Tu ne podrazumijevamo zakonitosti neke promjene, već veličine koje ostaju nepromijenjene makar što se dogodilo s tijelima koje promatramo.

Kada je riječ o zakonima očuvanja, neobično je važno upozoriti na zatvoreni sustav. Pod zatvorenim sustavom podrazumijevamo predmet ili skup predmeta koji među sobom djeluju, ali s okolinom nisu povezani; niti okolina djeluje na njih niti oni djeluju na okolinu. Sljedeći primjer, vrlo jasan, pomoći će nam da stvorimo predodžbu zatvorenog sustava: Dijete se igra kockama za slaganje pa poneku baci i kroz prozor. Susjedovo dijete može mu koju kocku donijeti ili odnijeti, stoga broj kocaka neće biti stalan. Sad već uviđamo da, želimo li imati “zakon očuvanja kocaka”, moramo sustav zatvoriti, i to doslovce…

Promatranje neke pojave zahtijeva od nas mjerenje udaljenosti i vremena, a ponekad i više od toga. Što se tiče udaljenosti (prostora) i vremena, prije samog promatranja pojave moramo se odlučiti odakle ćemo mjeriti udaljenosti i od kada ćemo početi odbrojavati vrijeme. Moramo, zapravo, odabrati koordinatni sustav i početak vremena. …

OČUVANJE ENERGIJE I IZBOR POČETKA VREMENA

Ima međutim pojava u prirodi u kojima ne možemo razlikovati početak odbrojavanja vremena. Promatrajmo njihalo.

Iz krajnjeg lijevog položaja spušta se u najnižu točku, penje se nadesno, zaustavlja se, spušta, itd. Sve se to ponavlja. … Ako za neko vrijeme prestanemo promatrati njihalo pa se ponovno k njemu vratimo, vidjet ćemo opet isto. … Koliko je u međuvremenu bilo njihaja? Ne znamo, jer ne razlikujemo jedan njihaj od drugoga. Jedino ako smo uporni i dugo promatramo njihalo, primijetit ćemo da se kuglica svakim njihajem penje na sve manju visinu. Točnim mjerenjem visine do koje se kuglica penje mogli bismo doznati koji je to bio njihaj po redu (nakon nekog njihaja koji smo proglasili prvim.)

Znamo i razloge zašto se kuglica svakim njihajem zaustavlja na sve nižoj razini. Kuglica se giba kroz zrak, udara o molekule zraka i predaje im dio svoje energije. Tako njezina energija postaje sve manja. Ako uklonimo zrak iz okoliša kuglice i smanjimo trenje konca u točki u kojoj je njihalo obješeno, gubitak energije bit će malen, a u idealnom, zamišljenom slučaju, neće ga uopće biti. Tada nećemo ni moći razlikovati jedan njihaj od drugoga. Iz promatranja neće biti moguće doznati kada je počelo njihanje, kada smo počeli odbrojavati vrijeme. U kojem god trenutku počeli odbrojavati, pojava će se činiti potpuno jednakom. Kažemo da je pojava neovisna o izboru trenutka za početak odbrojavanja vremena. Za to svojstvo uobičajen je izraz invarijantnost na vremenski pomak.

Zakon o očuvanju energije. Istaknimo još jednom da smo tu invarijantnost ili neovisnost o početku brojenja vremena uočili samo na sustavu koji ne predaje energiju svom okolišu. …

Galilejev pokus s njihalom dobar je primjer očuvanja energije. Postavimo zapreku iznad ravnotežnog položaja njihala. Kuglica nastavlja svoj put, nit se otklanja sve dok kuglica ne dosegne jednaku visinu kao i bez zapreke. Kinetička energija koju tijelo ima dok prolazi kroz ravnotežni položaj pretvorit će se u potencijalnu. Zato se kuglica mora popeti na odgovarajuću visinu, bez obzira na zapreku i otklon niti.

No, kada se ukupna energija mijenja, kuglica dio svoje energije predaje okolini; tad nema invarijantnosti, neovisnosti o izboru početka odbrojavanja vremena. Uočimo da je nemoguće odvojiti očuvanje energije i neovisnost o izboru početka vremena. … Kad je u nekom sustavu nemoguće odrediti koji je “pravi” početak vremena, tad u tom sustavu postoji veličina koja se s vremenom ne mijenja, koja ostaje stalna. Tu veličinu nazivamo energijom. …

OČUVANJE KOLIČINE GIBANJA I IZBOR ISHODIŠTA (U PROSTORU)

Pokušat ćemo u prostoru ponoviti sve ono što smo do sada govorili o vremenu i energiji. Promjeni početka vremena odgovarat će pomak koordinatnog sustava lijevo-desno, gore-dolje, naprijed-natrag. Što se time mijenja? Mijenja se položaj neke čestice prema tom novom sustavu, mijenjaju se koordinate čestice, ali međusobna udaljenost dvaju tijela ostaje nepromijenjena. Isto tako ostaje nepromijenjen i pomak nekog tijela iz jednog položaja u drugi, prevaljeni put jednak je u svim tim sustavima. …

Zakon o očuvanju količine gibanja. Slično kao što smo povezali očuvanje energije i neovisnost o početku vremena, ovdje ćemo povezati neovisnost o pomaku ishodišta koordinatnog sustava s gibanjem nekog tijela. … Moramo još voditi računa i o tromosti tijela koja se gibaju. Doći ćemo tako do pojma izgrađenog od brzine i trome mase tijela koje se giba. A to je veličina koju poznamo kao količinu gibanja p = mv.

Zaključak možemo sažeto izreći: zbroj količina gibanja svih tijela u nekom sustavu ostaje stalan.

Utvrdimo pritom da sustav mora biti zatvoren. …

Primjera za provjeru ima mnogo. Iskakanje iz čamca, trzaj topa ili puške, raketni potisak, i još mnogo sličnih primjera. Dok smo na čamcu pored obale i mirujemo, količina gibanja jednaka je nuli. Iskočimo li iz čamca nekom brzinom, čamac se otisne u suprotnom smjeru. Njegova brzina razlikuje se od naše; što mu je masa veća, brzina mu je manja. Tako će umnožak mase i brzine, tj. količina gibanja čamca i našeg tijela u skoku biti jednake, ali će im smjerovi biti suprotni. Zbog toga je zbroj količina gibanja jednak nuli, kao što je bio i prije iskakanja. …

NEOVISNOST O ZAOKRETU

Osim opisanog pomicanja koordinatnog sustava moguće je sustav i zaokrenuti oko jedne osi. Zbog toga se mijenjaju koordinate točaka u prostoru. Međutim, kut se ne mijenja. Spojimo točke u prostoru i os oko koje se koordinatni sustav okreće. Spojnice zatvaraju kutove koji se ne mijenjaju kada se koordinatni sustav okrene oko osi. Isto tako spojnica neke točke prebrisat će određeni kut dok se točka giba. Za dani zaokret svaka će spojnica prebrisati jednaki kut. Dakle, gibanju točke oko osi pridružili smo kut koji prebriše spojnica te točke. Iz kuta i vremena potrebnog da ga se prebriše doći ćemo do kutne brzine.  

Sličnost s pravocrtnim gibanjem (pomakom) koordinatnog sustava je uočljiva. Tamo je pomak ishodišta ostavljao nepromijenjen prevaljen put, ovdje zaokret sustava ostavlja nepromijenjen prebrisani kut. Tamo smo gibanje opisali brzinom, a ovdje ćemo okretanje tijela oko osi opisati kutnom brzinom. Pomoću tromosti i brzine tamo smo definirali količinu gibanja, a ovdje bismo mogli definirati „količinu vrtnje“ – kutnu količinu gibanja. Brzinu vrtnje, tj. kutnu količinu gibanja već imamo. Treba nam još samo tromost za vrtnju. … Zovemo je moment tromosti ili moment inercije. Napisat ćemo jednostavno

L = Iω

L označava kutnu količinu gibanja, I moment tromosti, a ω kutnu brzinu.

Zakon očuvanja kutne količine gibanja. Potpuno u skladu s dosadašnjim iskustvom poći ćemo od činjenice da je zatvoreni sustav neovisan o zakretanju koordinatnih osi i zaključiti da će u tom sustavu ostati nepromijenjen zbroj svih kutnih količina gibanja.

spin: baš kao kad se nabijena kuglica vrti – samo što nije kuglica i ne vrti se?

Slavni fizičar Wolfgang Pauli je 1925. skontao da je ono što nazivamo elektronskom konfiguracijom atoma određeno sa četiri tzv. kvantna broja, od kojih su prva tri cijeli brojevi, a četvrti kvantni broj, koji nas ovdje zanima, može poprimiti točno dvije vrijednosti: ili pozitivnu ili negativnu. Prva tri kvantna broja mogla su se otprilike povezati s pretpostavljenim gibanjem elektrona u atomu, ali bilo je nejasno što je taj četvrti kvantni broj. Znalo se samo da je nekako povezan sa nekom vrtnjom (naime s veličinom koja se naziva kutna količina gibanja iliti zamah, a koja je prije desetak godina ispala iz obaveznog dijela gimnazijskih programa fizike), te da vrtnju elektrona oko jezgre pokriva jedan od ostalih triju brojeva, tako da nije riječ o tome.

Dva tada sasvim mlada nizozemska fizičara, Samuel Goudsmit i George Uhlenbeck, iste su godine pretpostavili da se možda radi o vrtnji elektrona oko svoje osi: pa ako se elektron vrti oko svoje osi na jednu stranu (npr. u smjeru kazaljke na satu) onda je ta veličina pozitivna, a ako se vrti na suprotnu stranu onda je negativna.

.

Tu veličinu su zato sasvim primjereno nazvali spin, budući da ta riječ inače označava upravo takvu vrtnju oko svoje osi. I takvo objašnjenje se može još uvijek naći npr. u gimnazijskom udžbeniku iz kemije (Habuš, Tomašić, Liber, Opća kemija 1, izdanje 2013., str. 54., a slično i na str. 194.).

“Spin elektrona može se protumačiti vrtnjom elektrona oko vlastite osi.”

Slika u udžbeniku je u skladu s tim objašnjenjem da se elektron, osim oko jezgre, vrti i oko svoje osi:

.

Takvo objašnjenje je bilo (više-manje) u skladu i s pokusom Sterna i Gerlacha od par godina ranije. Naime, elektron je nabijena čestica, a nabijena čestica koja se giba (što je, otprilike, „električna struja“) stvara magnetsko polje. Kad se neka nabijena kuglica vrti oko svoje osi ona stvara magnetsko polje tako da jedan pol rotacije predstavlja sjeverni magnetski pol a drugi predstavlja južni magnetski pol. Utoliko se rotirajuće nabijene kuglice ponašaju kao mali magnetići sa sjevernim i južnim polom. Kad se takvi mali magnetići pošalju nekom brzinom u nehomogeno magnetsko polje ponašaju se kao na donjem videu. Ali kad se pošalju npr. elektroni, razdvajaju se u točno dvije skupine.

Iako je to razdvajanje u točno dvije skupine bilo jedan od mnogih čudnovatih kvantnih efekata, našim se junacima Goudsmitu i Uhlenbecku činilo da ima smisla pretpostaviti da je elektron nabijena kuglica koja se vrti oko svoje osi, i da je to barem dio objašnjenja te pojave koju su nazvali spin. Pa su i napisali rad sa tim svojim otkrićem, poslali ga svome mentoru kojemu se svidio, poslali ga u znanstveni časopis koji ga je prihvatio za objavljivanje. Sve je izgledalo sjajno dok njihov mentor nije taj još neobjavljeni rad poslao najvećem nizozemskom fizičaru, tad već starom Hendriku Lorentzu (kojega znate iz trećeg (magnetizam) i četvrtog (relativnost) razreda). Lorentza taj rad nije uvjerio: elektron, s tako malom masom koliku ima, ne može rotirati oko svoje osi dovoljno brzo da to objasni veličinu kutne količine gibanja (zamaha) koja proizlazi iz Paulijevih objašnjenja kvantnih brojeva. Dapače, primijetio je da, ako bi njihovo objašnjenje bilo točno, brzina površine elektrona pri toj vrtnji daleko prelazi brzinu svjetlosti, što zabranjuje teorija relativnosti!

Mladi Goudsmit i Uhlenbeck su brzo htjeli povući svoj rad, da se ne osramote tako već u svome prvom članku, ali prekasno! Časopis je već bio tiskan.

Sramota ili ne, ušli su u povijest, naziv spin je ostao, ali ne i njegovo objašnjenje kao „vrtnje elektrona oko vlastite osi“ (osim u gorenavedenom udžbeniku). Sad fizičari kažu da elektron ima svojstvo kutne količine gibanja (kao da se vrti oko svoje osi), ali to ne znači da se vrti oko svoje osi. U međuvremenu su fizičari i kemičari – opet nasuprot slikama u udžbenicima koje uglavnom odrede svačije zamisli o tome kakav je atomski i subatomski svijet – uglavnom odustali od zamisli da je elektron neka kuglica (jer ima i valna svojstva), te ga često prikazuju kao neki oblak (pa tako i na gornjem videu). Tako da, osim što se ne vrti (iako kao da se vrti) nije baš ni kuglica (iako nekad kao da jest kuglica, ali nekad uopće nije kao kuglica).

Mnogi kasniji pokusi su potvrdili da to svojstvo spina postoji, znamo rješavati jednadžbe koje računaju s tom veličinom, ali, kako je to često u kvantnoj mehanici koja se bavi atomskim i subatomskim svijetom, ne uspijevamo sebi dosljedno predočiti što se tu zapravo događa. Pa pokušaji objašnjenja spina, uključujući ovaj kojega ste upravo čitali, suviše često izgledaju poput naše naslovne rečenice.

Banach – Tarskijev paradoks

Banach – Tarskijev paradoks teorem je iz teorije skupova geometrije i objašnjava proces dobivanja nečega u većoj količini nego s kojom smo započeli. On kaže da ako uzmemo neko tijelo i podijelimo ga na određeni broj skupova te dijelove možemo rotirati, a zatim ispremještati, bez dodavanja sličnih skupova, kako bi stvorili dva identična takva tijela. Takav je proces naravno neizvediv u stvarnosti, ali u teoriji su mnoge stvari moguće. Čak i da Hajduk postane prvak.

Podijelimo li neku stvar na više dijelova ne možemo ih rasporediti na drugačiji način i dobiti ih više. Skup tih dijelova je konačan, i u tome je problem. Što ako podijelimo tijelo na beskonačno mnogo dijelova, sitnih, nevidljivih. Time bi stvorili više mogućnosti. Do beskonačnosti se ne može brojati jer nije broj, već veličina nečega – npr. samog brojevnog pravca. Dodamo li ili oduzmemo beskonačnosti neki broj ona ostaje ista. Isto vrijedi i za dijeljenje; beskonačnost podijeljena nekim brojem ostaje beskonačnost.

Banach – Tarskijev paradoks iskorištava takva jedinstvena svojstva beskonačnosti.  Za teorem je potrebna jedna sfera. Sferu u 3D prostoru možemo rotirati u bilo kojem smjeru, ali radi funkcioniranja teorije rotiramo je uvijek za istu udaljenost i u samo četiri smjera: Lijevo – L, desno – R. gore – G i dolje – D. Kombinacija te četiri rotacije ima beskonačno mnogo jer uvijek možemo rotirati još jednom u nekom od četiri smjera. Izmjenjivanjem tih rotacija nikad nećemo sletjeti na istu točku dvaput, osim u dva slučaja. U slučaju rotiranja zadnje dvije rotacije u suprotnim smjerovima dolazi do međusobnog poništavanja: LR, RL, GD i DG sve su završne rotacije koje se vraćaju na prethodnu točku. Drugi slučaj su polovi. Svaka rotacija ih ima dva: za lijevo i desno okretanje polovi su južni i sjeverni, a za okretanje gore i dolje polovi su istočni i zapadni. Problem je što više kombinacija vodi do istoga pola. Želimo li doći do južnog pola bilo koji ponavljajući DLDL… i DRDR… iz različitih točaka jednako udaljenih od pola imat će isti krajnji cilj. Zbog toga se polovi mogu označiti više od jednog puta.

Za početak odaberemo neku točku na sferi i započnemo rotiranje. Ta se točka okretanjem pomiče i postaje nova točka.

Rotirajući sferu dobivamo četiri skupa zapisa kombinacija: one koje završavaju na D, one koje završavaju na G, one koje završavaju na L i one koje završavaju na R. Svaki od tih skupova je beskonačan jer uvijek možemo zarotirati još jednom. Ipak, nakon beskonačno mnogo označavanja točaka još uvijek nismo sletjeli na svaku točku. Jer se radi o sferi, uvijek možemo odabrati još jednu početnu točku i započeti rotiranja od tamo. Zatim to ponovimo. I onda još jednom, i još jednom. Nakon beskonačno mnogo početnih točaka i beskonačno mnogo rotiranja ćemo napokon označiti svaku točku na sferi samo jednom.

Osim, naravno, polova koje ćemo označiti više nego jednom. Ne možemo ih svrstati u početna četiri skupa već ih možemo staviti u zaseban skup P. Svaka ih kombinacija ima dva zbog čega je skup P također beskonačan. Uz skup početnih točaka PT dobijemo cijelu sferu. Ona se sada sastoji od šest skupova G,D,L,R,P i PT.

Rotacije će  biti pisane u suprotnom smjeru, s desna prema lijevo, kako bi završne rotacije bile na početku zapisa.

Uzmimo skup L:

L, LL, LLL, LLLL…                             LLG, LLGG, LLGGG…                      …

LD, LDD, LDDD, LDDDD…          LLLD, LLLDD…                                 …

LG, LGG, LGGG…                            LDG, LDGG…                                               …           

LLLG, LLLR, LLLD…                         LGD, LGDD…                                               …

LLD, LLDD…                                     LGR, LGRR…                                    …

Ovaj skup definira se kao skup koji završava s rotacijom L, ali što bi se dogodilo ako cijeli taj skup rotiramo u desno. To bi bilo jednako dodavanju slova R na kraj svakog zapisa:

RL, RLL, RLLL, RLLLL…                               RLLG, RLLGG, RLLGGG…              …

RLD, RLDD, RLDDD, RLDDDD…              RLLLD, RLLLDD…                            …

RLG, RLGG, RLGGG…                                RLDG, RLDGG…                              …

RLLLG, RLLLR, RLLLD…                             RLGD, RLGDD…                              …

RLLD, RLLDD…                                            RLGR, RLGRR…                               …

Rotacije R i L se međusobno poništavaju i ostavljaju nam, čini se, više nego s čime smo započeli. Ako uklonimo poništena slova iz zapisa dobijemo ovo:

(RL), L, LL, LLL…                              LG, LGG, LGGG…                …

D, DD, DDD, DDDD…                     LLD, LLDD…                         …

G, GG, GGG…                                  DG, DGG…                           …

LLG, LLR, LLD…                               GD, GDD…                           …

LD, LDD…                                         GR, GRR…                            …

To je opet cijeli skup L. Ali, i potpuni skup D, potpuni skup G i potpuni skup bez početnih rotacija (poništeni RL u zagradama) – to je cijeli skup početnih točaka. Samim rotiranjem jednim od skupova dobili smo četiri skupa. Od jedne šestine dobili smo dvije trećine. Trećina koja nedostaje su skup R i skup P. Dodavanjem preostala dva skupa dobili smo čitavu sferu, ali uz nekoliko stvari viška.

Preostali su skupovi D, G i PT.

Uzmimo sada skup G. Njega definiramo kao skup koji završava s rotacijom G:

G, GG, GGG, GGGG…        GRL, GRLL…                         …

GL, GLL, GLLL…                   GLR, GLRR…                        …

GR, GRR, GRRR…               GLD, GLLD…                        …

GGL, GGLL…                        GRD, GRRD…                      …

GGR, GGRR…                      GLD, GLDD…                                   …

Rotiramo li cijeli taj skup prema dolje dobili bi ovo:

DG, DGG, DGGG, DGGGG…        DGRL, DGRLL…                   …

DGL, DGLL, DGLLL…                      DGLR, DGLRR…                  …

DGR, DGRR, DGRRR…                  DGLD, DGLLD…                  …

DGGL, DGGLL…                              DGRD, DGRRD…                …

DGGR, DGGRR…                            DGLD, DGLDD…                 …

Opet poništimo rotacije:

(DG), G, GG, GGG…           RL, RLL…                   …

L, LL, LLL…                            LR, LRR…                  …

R, RR, RRR…                        LD, LLD…                  …

GL, GLL…                              RD, RRD…                 …

GR, GRR…                            LD, LDD…                  …

Ovime smo ponovno dobili cijeli skup G, skup L, skup R i cijeli skup PT. Ali ovaj put nije sve toliko jednostavno kao prethodno okretanje.  Ne treba nam novonastali skup PT jer još nismo iskoristili onaj izvorni.

Stoga trebamo ukloniti sve zapise koji poslije rotiranja daju početne točke. To su zapisi koji su sastavljeni od samo jednog G. Te zapise ćemo staviti sa strane. Ali, nakon poništavanja zapis GG postat će zapis G te ćemo imati dva takva zapisa. Stoga moramo staviti sa strane sve zapise sa samo G rotacijom(G, GG, GGG…).

Sada možemo poništiti rotacije:

RL, RLL…                                                      …

L, LL, LLL…                LR, LRR…                  …

R, RR, RRR…            LD, LLD…                  …

GL, GLL…                  RD, RRD…                 …

GR, GRR…                LD, LDD…                  …

To je cijeli skup G, cijeli skup R i cijeli skup L. Dodamo li tome one zapise G koje smo stavili sa strane, skup D i skup PT skoro smo dobili cijelu novu sferu. Još samo nedostaju polovi. Na toj sferi sada postoji beskonačno mnogo rupa na kojim mjestima su trebale biti točke polova. Ali postoji rješenje za to uz pomoć misaonog eksperimenta Hilbertovog hotela.

Hilbertov hotel ima beskonačno mnogo soba i beskonačno mnogo gostiju – ali još uvijek nije pun. Poželi li novi gost pristupiti hotelu, pomaknemo gosta iz sobe 1 u sobu 2, 2 u 3, 3 u 4 itd. Pošto imamo beskonačno mnogo soba nikad nam ih neće ponestati. Ali, ako novopridošli gost ipak poželi napustiti svoju sobu, hotelu ta soba neće ostati prazna. Samo, kao i prije, pomaknemo gosta iz sobe 2 u sobu 1, 3 u 2, 4 u 3 itd. Jer imamo beskonačno mnogo gostiju ni njih nam neće nikad ponestati.

Primijenimo to na našoj nepotpunoj sferi. Na njoj možemo pronaći određeni kut rotacije oko kojeg bi se okretale sve rupe. Tim bi se potezom svaka rupa našla na jednoj kružnici sfere. Kružnica ima onoliko točaka koliko i Hilbertov hotel soba i gostiju, stoga možemo primijeniti isti postupak. Pomalo neugodnim manevrom svaku kružnicu možemo rotirati kako bi se svaka točka pomakla za jedno mjesto unaprijed upotpunjujući tako prazno mjesto same rupe. Poput gostiju u hotelu.

Time su rotacije završene. Nismo ništa dodavali ni oduzimali, rastezali ili upotpunjavali, a od jednog početnog tijela dobili smo dva identična takva tijela.

5.2. što je to eter (u fizici)?

Riječ eter, poput mnogih drugih (npr. energija, elektron, itd.) ima grčko porijeklo, a u fizici se pojavljuje u 17. stoljeću s Descartesom (iliti Kartezijem, kako ga se ponegdje još naziva). On je smatrao da je osnovna značajka fizičkog svijeta ta da fizičke stvari zauzimaju neki prostor (za razliku od ne-fizičkoga, od onoga što mislimo, a što ne mora biti prostorno – tako npr. jednakost 2+7=9 ne zauzima neki prostor, ona je vrijedila i prije nego je itko to zapisao na nekoj površini ili čak formulirao negdje u prostoru mozga). Utoliko je smatrao da i sam prostor fizičkog svijeta nije prazan, nego je nešto tvarno. Taj ne prazni nego puni prostor nazvao je eterom. Eter nije opaziv vidom, dodirom, opipom, itd. ali, po Descartesu i mnogim fizičarima nakon njega, možemo zaključiti da postoji kao neki nevidljivi, tvarni medij.

Kako to možemo zaključiti? Na primjer: čest prigovor Newtonu za vrijeme njegovoga života bio je da svojom teorijom gravitacije iz 1687. uvodi magiju u fiziku! Naime skoro svi tadašnji prirodoznanstvenici smatrali su da na neko tijelo možemo djelovati silom jedino ako smo u dodiru s tim tijelom. Kako onda Zemlja može djelovati silom na Mjesec, ako se ne dodiruju, ako je između njih prazan prostor, dakle ništa? Odgovor kartezijanaca (sljedbenika Descartesa) bio bi: sila se prenosi eterom! Mjesec i Zemlja nisu u dodiru, ali eter dira i Mjesec i Zemlju (i sve ostale fizičke stvari), pa može prenijeti silu od Zemlje do Mjeseca.

Ali u Newtonovo doba već je ponovno postala popularna drevna Demokritova teorija o fizičkom svijetu kao praznom prostoru u kome se nalaze međusobno odvojene čestice. Zato se Newtonu zamjeralo da svojom silom gravitacije uvodi magijsko djelovanje na daljinu. Kao što u pričama čarobnjaci pomiču stvari bez da ih dodirnu, tako je mnogim prirodoznanstvenicima u Newtonovo doba izgledala ta sila koja između dva tijela djeluje na daljinu bez ikakvog posrednika, naime gravitacija. U odgovoru na takve primjedbe Newton je ustvrdio da je on dao pouzdan matematički zakon iz koga se može dobiti točan opis onoga što opažamo (npr. gibanja Mjeseca oko Zemlje) a da o mehanizmu kako se to događa nije rekao ništa. Ali ipak kaže:

to da jedno tijelo može djelovati na drugo na daljinu, kroz vakuum, bez da išta posreduje među njima, … za mene je toliki apsurd da ne vjerujem kako u njega može upasti ijedan čovjek koji u znanstvenim [philosophical] stvarima ima razvijenu sposobnost mišljenja.

Dakle, po pitanju gravitacije i Newton je bio sklon vjerovati u postojanje etera koji bi prenosio tu silu zrakopraznim prostorom, iako je smatrao da sama njegova teorija ne ovisi o tome postoji li eter. (Ipak, zar danas ne poučavamo Newtonovu teoriju gravitacije bez da spominjemo eter, baš kao da se kod gravitacije radi o djelovanju na daljinu? Pretpostavljamo li da učenici “u znanstvenim stvarima” nemaju “razvijenu sposobnost mišljenja”? 😉 )

Ali važnije za pojam etera bilo je pitanje o prirodi svjetlosti. Tu je Newton eter smatrao nevažnim. Njegova teorija o tome što je svjetlost je demokritovska, čestična: svjetlost je hrpa čestica koja se širi praznim prostorom. Različite boje svjetlosti posljedica su različitih čestica svjetlosti, a bijela svjetlost je smjesa tih čestica raznih boja (onako kako je npr. zrak smjesa različitih vrsta molekula).

Newtonovi suparnici (R. Hooke, Ch. Huyghens) držali su da je svjetlost val. Val nije ništa drugo nego rasprostiranje titranja: neka točka započne titrati, ostale koje su s njom povezane nekim silama također zatitraju i tako se širi to titranje, odnosno širi se val. Ali ako je svjetlost val, postavlja se pitanje: što titra dok se širi svjetlost? Na primjer, zvuk je val, i kad se zvuk rasprostire kroz zrak, titraju čestice zraka (odnosno molekule dušika, kisika, itd.). Kad se zvuk širi kroz vodu titraju molekule vode, kad se širi kroz željezničku tračnicu titraju atomi željeza, itd. Ali kad se svjetlost širi od Sunca do nas, što tu titra?

U to doba Toricelli je već pokazao postojanje vakuuma, zrakopraznog prostora (njegovog se pokusa sa živom zacijelo sjećate sa satova fizike), ali ne samo to: on je pokazao da svjetlost može prolaziti kroz vakuum, kroz zrakoprazni prostor. Što, dakle, titra kad val svjetlosti prolazi kroz vakuum?

Odgovor valne teorije svjetlosti u Newtonovo doba, pa sve do Einsteinove specijalne teorije relativnosti iz 1905. bio je: titra eter. Jedan nevidljivi, neopipljivi, elastični medij koji ispunja cijeli prostor (odnosno koji sam već jest tzv. „prazni” prostor) titra, i to titranje je svjetlost. Točnije u rasponu frekvencija od 3.8∙10¹⁴ Hz do 7.9∙10¹⁴ Hz, radi se o vidljivoj svjetlosti, koju možemo opaziti (vidjeti) dok se za titranja etera manje i veće frekvencije od tih radi o ultraljubičastoj i infracrvenoj svjetlosti (isto onako kako je zvuk titranje zraka ili vode itd. u rasponu frekvencija koje možemo čuti, a za manje i veće frekvencije radi se o ultrazvuku i infrazvuku). O frekvenciji titranja etera ovisi boja koju vidimo, baš kao što o frekvenciji titranja zraka (ili nekog drugog medija) ovisi ton kojega čujemo.

U 19. stoljeću valna teorija svjetlosti prevladala je nad Newtonovom čestičnom (vidi 6.1. valovi ili čestice?). Činilo se da je eter tu da ostane. Ali otprilike u isto doba u fiziku je uveden pojam polja (električnog i magnetskog, pa onda i po analogiji naknadno uvedenog i gravitacijskog polja). Ta polja se rasprostiru i kroz vakuum. S današnjeg gledišta čini nam se da je pojam polja dovoljan da odbacimo eter kao nepotrebnu hipotezu: ne treba nam neki medij koji titra, nego se u elektromagnetskim valovima mijenja jakost električnog i magnetskog polja, i to po jednom matematičkom obrascu koji je sličan jednadžbi vala, a svjetlost je elektromagnetski „val“ (odnosno svjetlost jest te promjene jakosti polja). Ali cijelo stoljeće nakon uvođenja pojma polja fizičari smatrali da je eter ona tvar koja prenosi polje. Ne samo svjetlost, nego bi i na primjer radio-valovi bili titranje etera, što se zadržalo kod naših radijskih i tv voditelja kad kažu „u eteru ste“, u značenju da se to što govore prenosi titranjem etera do slušatelja. Tek 1905. Einstein je pokazao da je hipoteza o eteru nepotrebna za objašnjenje rasprostiranja elektromagnetskih valova i tako dokrajčio eter. (Zanimljivo je da je Einstein od 1916. pa nadalje smatrao da bi za objašnjenje rasprostiranja gravitacijske sile čak bi bolje bilo da se pojam etera zadržao, ali već ga je bio nepovratno pokopao.) O tome vjerojatno u nekim budućim epizodama.       

28. zadatak na maturi iz fizike u ljetnom roku 2021./22.

Ovaj put se, za razliku od uobičajenih priloga na ovome blogu, nećemo baviti nekim višesmislenostima koje bi zahtijevale neko duboko promišljanje, nego jednim jednostavnim zadatkom iz fizike koji je naprosto pogrešno postavljen. Zašto bi to bilo zanimljivo? Zato što se takav zadatak, pogrešno postavljen, pojavio na maturi, a stručna skupina NCVVO-a (ustanove koja provodi mature) u tri navrata ili nije uspjela razumjeti da se radi o grešci (što je malo vjerojatno) ili nije uspjela priznati da se radi o grešci (što je vjerojatnije). Budući da se učenici za mature najčešće (i najučinkovitije) pripremaju rješavajući mature iz prethodnih godina ima smisla ovdje ukazati na tu grešku da bi u budućnosti netko tko bude zbunjen tim zadatkom mogao izguglati da je zadatak pogrešno postavljen.

Radi se o zadatku 28. s ljetnog roka mature školske godine 2021./22.

Što je pogrešno u tom zadatku? Da citiram jednu kolegicu: samo prva rečenica. 🙂 Najprije uočimo da se radi o idealnom plinu. Za idealni plin uvijek vrijedi jednadžba stanja idealnog plina. Ona glasi:

R je plinska konstanta, a ostale četiri veličine se u načelu mogu mijenjati. Odnosno: mogu se mijenjati

• ili sve četiri veličine,
• ili se mogu mijenjati bilo koje tri od tih veličina dok je preostala jedna konstantna,
• ili se mogu mijenjati bilo koje dvije od tih veličina dok su preostale dvije konstantne.

Ono što se ne može dogoditi, a što je važno za naš zadatak, jest da se mijenja samo jedna od tih veličina!

U zadatku se dalje kaže da se radi o izotermnoj promjeni stanja plina, odnosno da je temperatura T konstantna. Uz eksplicitno izrečenu konstantnost temperature, pojam izotermne promjene stanja plina, kako se uobičajeno uči u srednjim školama, podrazumijeva implicitno i da je broj molekula konstantan, odnosno da je n=const. Na to ukazuje i stručna skupina NCVVO-a za fiziku: „ Učenici koji u školi uče koncept izotermne promjene idealnog plina nauče da to podrazumijeva stalnost unutarnje energije tog plina, što se i ovdje podrazumijevalo.“ Naime, unutarnja energija idealnog plina je po definiciji umnožak broja molekula i prosječne kinetičke energije nasumičnog translacijskog gibanja molekula plina.

Prosječna kinetička energija nasumičnog translacijskog gibanja molekula plina ovisi samo o temperaturi, pa je konstantna ako je i temperatura konstantna. Zadatak kaže eksplicitno da je temperatura konstantna, a implicitno (prema NCVVO-u) da je i U konstantna veličina. To znači da je i N konstantna veličina, odnosno da je u našoj jednadžbi stanja plina T=const. i n=const. Što je uostalom i sasvim uobičajeno pri izotermnoj promjeni – tu nema ničeg čudnog. Konstantne su, dakle, dvije veličine iz jednadžbe stanja plina (n i T).

Prvi dio rješenja zadatka je, dakle, jednostavan i nesporan. Polazimo od prvog zakona termodinamike, kao što je navedeno u ključu za odgovore:

Budući da je proces izoterman, vrijedi ΔU=0, i imamo jednakost Q=W. Ako bismo znali izračunati rad W mogli bismo riješiti zadatak!

Za izotermni proces rad W se računa po formuli:

Međutim, ta se formula se ne uči u srednjoj školi pa je nema ni na popisu formula na maturi, i ne bi se smjela tražiti na maturi. I ne traži se u ovome zadatku! Jer se naš sastavljač zadatka, na žalost, dosjetio: ako se u srednjoj školi ne uči ta formula za rad pri izotermnom procesu uči se jedna druga formula za rad, pri izobarnom procesu. I tu formulu za rad pri izobarnom procesu ključ za odgovore, na žalost, nudi kao ispravno rješenje.

Naravno, mnogi su se pristupnici također dosjetili te formule i lijepo uvrstili baš onako kako je sastavljač zamislio. NCVVO kaže da je 44,79% pristupnika „točno“ riješilo taj zadatak, naime u skladu s ključem za odgovore, odnosno u skladu s intencijom sastavljača toga zadatka.  

Ali, ali, ali! 🙂 Ne ide to. Ta formula za rad vrijedi samo za izobarni proces, kad je p=const. A ako je i p=const. onda imamo tri od četiri veličine u jednadžbi stanja idealnog plina koje su konstantne: T, p i n. I dok su te tri veličine konstantne četvrta, V, se magično mijenja. Ali to ne može, barem ne za idealni plin. Ne može se mijenjati samo jedna veličina u jednadžbi stanja idealnog plina. Ne može samo volumen magično narasti!  

Što se dakle dogodilo? Sastavljač zadatka je namjeravao jedan jednostavan zadatak iz 1. zakona termodinamike (u kome je potrebno znati da za izotermnu promjenu stanja vrijedi ΔU=0), spojiti s jednim jednostavnim zadatkom iz rada idealnog plina (a u srednjoj školi se uči formula samo za izobarnu promjenu stanja plina). Ali nije uočio da to spajanje stvara proturječje budući da se idealni plin ne može istodobno mijenjati i izotermno i izobarno (uz stalan broj molekula). Nije točno da taj  „zadatak ima jedinstveno rješenje“ kako kaže stručno povjerenstvo za fiziku NCVVO-a – taj zadatak nema nijedno rješenje jer su u samom zadatku zadani proturječni uvjeti. [Edit: dobio sam primjedbu da iz proturječja slijedi sve, a ne ništa, pa je zapravo svaki odgovor na taj zadatak točan, a ne nijedan.]

Naravno, mnogi su učenici riješili taj zadatak jedino kako su mogli, naime onako kako je sastavljač zamislio. Ipak, neki su učenici uočili protuslovlje i izgubili dosta vremena razmišljajući o njemu (pa me jedan od njih odmah nakon ispita i pitao kako je moguće da je promjena stanja plina istodobno i izotermna i izobarna). Jedini ispravan postupak sa strane NCVVO-a bio bi poništenje tog pogrešno postavljenog zadatka. Za to je sada prekasno, ali u dva navrata je propuštena prilika da se ovi argumenti ozbiljno razmotre. Nakon što je stvar dospjela i u jedan medij, povjerenstvo je dalo besmisleno obrazloženje koje je dovoljno dugačko i općenito da može zbuniti dovoljan broj nedovoljno upućenih čitatelja toga medija. Ukratko, povjerenstvo kaže da za otvorene sustave (u kojima n nije nužno konstantna veličina) promjena stanja plina može biti i pri stalnoj temperaturi T i pri stalnom tlaku p, pa da zato nema greške, da bi potom nastavili kako se implicitno podrazumijeva da n jest konstantna veličina i da zato vrijedi ΔU=0. Ali ako n jest konstantna veličina onda se samo V magično povećava (dok ostale tri veličine ostaju konstantne). Ne znam bih li se trebao nadati da se radi o spoznajnoj grešci (ne znaju što čine) ili o moralnoj grešci (ne žele priznati što čine). Da citiram još jednog kolegu: „Errare humanum est. Samo je NCVVO nepogrešiv.“

Koliko NEPROBUŠENI balon ima rupa?

Na prvu bi većina ljudi rekla da je odgovor na pitanje navedeno u naslovu nula tj. da neprobušeni balon ima nula rupa. Valjalo bi prvo definirati što je to rupa u našem svakidašnjem životu, a kasnije ćemo analizirati matematički pogled.

Ako jedan komad A4 papira bez rupa škarama probušimo, tom papiru smo dodali jednu rupu. Za pitanje o broju rupa nebitno kolika je ta rupa, jer neovisno o njezinoj veličini taj papir će uvijek imati onoliko rupa koliko smo ga puta na različitim mjestima probušili. Također, ako umjesto papira imamo neki rastezljivi materijal možemo rastezati rupu na način da ne utječemo na broj samih rupa.

A4 papir ima nula rupa, a i ako bi bio elastičan, kad ga rastegnemo u neki drugi oblik i dalje ima nula rupa

Rastezanje ne utječe na broj rupa

S ovom činjenicom možemo pokušati riješiti problem balona. Uzmimo sad neprobušeni balon i probušimo ga. Počnemo li rastezati tu rupu razvući ćemo balon do stanja ravnine za koju smo utvrdili da ima nula rupa. Dakle, nakon što smo ga probušili balon ima nula rupa! Koliko je onda imao prije nego smo ga probušili? Recimo da neprobušeni balon ima x rupa te mu dodamo jednu rupu tako da ga probušimo. Ovim postupkom dobivamo jednadžbu x+1 = 0, i rješavajući za x dobivamo rezultat x = -1 tj. da balon u neprobušenom stanju ima minus jednu rupu.

Grana matematike koja se bavi problemima upravo ovakvog tipa je topologija. Karakteristika topologije, koja razlikuje nju od recimo euklidske geometrije, je ta što topologiju više zanima ono kvalitativno nego kvantitativno. Na primjer, krug i kvadrat su jednaki likovi u topološkom smislu jer su u topologiji stranice likova potpuno nebitne. Razlog tome je to što je moguće deformacijom (rastezanjem) jednog od ta dva lika, bez rezanja i lijepljenja, dovesti do onog oblika kakav je drugi lik.

Ovi likovi su topološki ekvivalentni

Upravo smo se tim postupkom deformacije služili u prvom dokazu teze da balon ima minus jednu rupu. Vratimo se sada na definiciju rupe kojoj ćemo pristupiti sa znanjem kojim imamo o topologiji. Obzirom da u topologiji ne uzimamo u obzir oblik kao razliku nekih likova, možemo utvrditi da je svaki lik nacrtan na jednom balonu u potpunosti isti te se može dovesti do minimalne veličine, odnosno jedne točke, deformacijom ravnine na kojoj taj lik leži (iste su homologne klase). Rupa je ono što onemogućava transformaciju takvog lika.

Ovi likovi nisu topološki ekvivalentni

To se najbolje može vidjeti na primjeru torusa ili takozvane “šuplje krafne” na kojoj ako nacrtamo lik koji prolazi kroz središnju vanjsku rupu torusa i zatvara se na njegovoj stranici vidjet ćemo da se takav lik ne može preoblikovati u točku. Rupa koja ima utjecaj, u tom slučaju, je ona koja prolazi kroz prazan dio torusa ispunjen zrakom.

Lik koji opasava rupu 2 ne može se deformirati u točku kao lik na stranici torusa upravo zbog rupe 2 koja to sprječava

Ideja rupe je mnogo kompliciranija kada uđemo u više dimenzije, ali na sreću za razumijevanje problema balona potrebno nam je razumijevanje rupa do dvije dimenzije. Najintuitivnije objašnjeno, razlika između jednodimenzionalne i dvodimenzionalne rupe je ta što kroz 1D rupu možemo provući konac, dok 2D rupu možemo napuniti vodom. Ovakvo objašnjenje nas dovodi do spoznaje da balon nema 1D, ali ima jednu 2D rupu.

Ako bismo sada učinili ono što smo napravili na samom početku, a to je jednostavno dodali rupu na balon, dobivamo ravnu plohu koja nema ni 1D ni 2D rupa tako da nam samo ostaje rupa nulte dimenzije. (Rupa nulte dimenzije se interpretira kao samo postojanje nekog tijela što znači da svako tijelo (također lik i točka) ima jednu rupu nulte dimenzije.) To nas dovodi do činjenice da dodavanjem 1D rupe na balon uklanjamo onu 2D rupu tj. prazninu unutar balona. Obzirom da neprobušeni balon ima jednu jedinu rupu, a to je ona 2D rupa možemo zaključiti da je ona u odnosu na 1D rupu negativne vrijednosti. Ukratko se može reći da negativna vrijednost 2D rupe balona utječe na ukupnu količinu rupa u balonu koja je posljedično minus jedan.

6.2. je li Newton znao za Newtonove prstene (kolobare)?

Godinama sam strepio, tumačeći valnu optiku, od jednog učeničkog pitanja. Naime, objašnjavao bih: od kraja 1600-ih bile su dvije teorije o naravi svjetlosti, valna (Huygensova) i čestična (Newtonova), a kad je Young 1801. pokazao interferenciju svjetlosti dokazano je da je svjetlost val, budući da čestice ne mogu interferirati. I sve u redu, osim što bismo koji tjedan kasnije kao jedan od primjera interferencije svjetlosti radili i Newtonove prstene („kolobare”, kako ih se još uvijek često naziva). A to znači da je već Newton 135 godina prije Younga vidio interferenciju svjetlosti! Zašto onda nije – tako je glasilo pitanje kojega sam se bojao – odbacio čestičnu teoriju? A strepio sam jer nisam znao odgovor: u udžbenicima nema ništa o tome, Supekova Povijest fizike također šuti, wiki isto tako, zapravo cijeli internet (barem tada) preskače to pitanje. Srećom, nitko nije dovoljno pozorno pratio moja predavanja iz valne optike da bi postavio to pitanje. Taman negdje u doba kad sam konačno došao do kakvog-takvog odgovora Newtonovi su se prsteni prestali pojavljivati u programu gimnazijske fizike (i teško da će nekome nedostajati).

Ipak, ta priča može biti zanimljiva kao primjer u kolikoj mjeri standardne povijesti fizike, kakve se redovito prenose s koljena na koljeno u školama i fakultetima te u popularnoj znanosti, zapravo malo odgovaraju stvarnim zapletenim događanjima.

Što su Newtonovi prsteni? Postavimo li leću na staklenu ploču u sredini leće vidjet ćemo niz koncentričnih raznobojnih kružnica s tamnim središtem. Ako se pri tome radi o jednobojnoj svjetlosti, tad će to biti niz svijetlih i tamnih kružnica („prstena”, „kolobara”). Objašnjenje pojave je ovakvo: zraka svjetlosti S pri prijelazu iz leće u zrak djelomično se reflektira (u točki B), a dio koji je prošao i dospio na granicu između zraka i staklene ploče također se djelomično reflektira (u točki D).

Te dvije reflektirane zrake (R1 i R2) mogu međusobno interferirati (npr. u našem oku) i pri destruktivnoj interferenciji stvoriti tamne pruge. Otud taj zanimljivi efekt.

Budući da to gdje će se dogoditi konstruktivna a gdje destruktivna interferencija ovisi o valnoj duljini, odnosno boji svjetlosti, za bijelu svjetlost koja je skup različitih boja na različitim udaljenostima od središta vidimo pojačanja i slabljenja različitih boja.

Newton je tu pojavu proučavao 1666., nakon sličnih pokusa Roberta Hookea, jednoga od svojih mnogih znanstvenih suparnika. Dakle, nije tek Youngov pokus iz 1801. pokazao interferenciju svjetlosti: 135 godina prije fizičari su mogli vidjeti interferenciju svjetlosti. Zašto je onda tek Youngov pokus presudio u korist valne teorije svjetlosti? Zašto Newton, kad je vidio interferenciju svjetlosti u Newtonovim prstenima, nije priznao da je svjetlost val (kao što je tvrdio između ostalih i Hooke)? Ali čak i ako se Newton osobno tvrdoglavio, zašto su ga ostali fizičari uvelike slijedili? I zašto su uglavnom prestali nakon Youngova pokusa, ako je on pokazao interferenciju koju su već odavno prije pokazivali i Newtonovi prsteni?

Povijest fizike kakvu pripovijedamo pri učenju fizike u pravilu se svodi na ono što blagonaklono nazivamo „racionalna rekonstrukcija povijesti” (a manje blagonaklono „mitska povijest znanosti”). Tu zanemarujemo mnogobrojne krive teorije, osobne tvrdoglavosti, trenutne mode, podilaženje autoritetima, sve ono „suviše ljudsko” što se zapravo događalo pri razvoju fizike, i uzimamo samo one vidove njene povijesti koji se s današnjeg gledišta mogu racionalno opravdati. Pa onda dobijemo takvu pripovijest: bile su dvije teorije (valna i čestična), i između njih je presudio pokus (Youngov). Ali zapravo je bilo i pokusa prije Youngovog koji su pokazivali interferenciju svjetlosti, a i desetljećima nakon toga pokusa bilo je fizičara koji su se držali čestične teorije svjetlosti. Kao što je rekao slavni fizičar Max Planck:

Nova znanstvena istina ne nadvladava uvjerivši svoje suparnike tako da bi je oni jasno uvidjeli, nego prije stoga što vremenom njeni suparnici umru, dok izniče nova generacija koja je prisna s njom.

I tu je razlog zašto je Youngov pokus doveo do preokreta od čestičnog prema valnom objašnjenju optičkih pojava: mnogo mladih fizičara je nakon tog pokusa došlo na zamisao da bi i sami mogli smisliti neki pokus koji bi pokazivao interferenciju, i time „steći ime” u svijetu fizike. Pa tako imamo Fresnelovu biprizmu (1819.), Frauhofferovu optičku rešetku (1821.), Lloydovo zrcalo (1834.), Billetovu dvostruku leću (1854.), itd. Valno tumačenje svjetlosti postalo je plodno tlo istraživanja za mlade fizičare i oni su se (puno više nakon Fresnelovih objašnjenja nego nakon samog Youngovog pokusa) pretežno uputili u tome smjeru, i tako došli do toliko mnogo potvrda valne teorije da je ona postala općeprihvaćenom negdje od 1830-ih nadalje. Youngov pokus nije bio „presudni pokus” u smislu da bi nakon njega odjednom svi racionalno prihvatili valnu prirodu svjetlosti kao jedino objašnjenje, nego u smislu da je pokrenuo niz sličnih pokusa i teorijskih razmatranja koji su onda zajedno doveli do toga prihvaćanja.

A zašto Newton nije još 1660-ih prihvatio da je to što vidi interferencija? Budući da je on tu pojavu gledao u bijeloj svjetlosti, vidio je raznobojne prstene i smatrao da je ta pojava srodna onoj koju je vidio u optičkoj prizmi, gdje se bijela svjetlost razlaže na razne boje. A to je objašnjavao kao raspršivanje različitih čestica svjetlosti. Međutim, Hooke ga je razuvjerio, pokazavši mu da kod prstena obrasci boja ne moraju odgovarati onima iz pokusa s prizmom (dakle redoslijedu duginih boja), zato što ovdje nemamo samo raspršenje boja, nego i pojačanje nekih boja a slabljenje nekih drugih (odnosno konstruktivnu i destruktivnu interferenciju). Naposljetku je Newton odlučio pričekati s objavljivanjem svoje knjige o optici sve do Hookeove smrti (Hooke je umro 1703. a Opticks je objavljena 1704.), a u njoj zapravo na određeni način kombinira valnu i čestičnu teoriju pri objašnjenju ove pojave. Otprilike je to objašnjenje išlo ovako: kad čestica svjetlosti naiđe na granicu dvaju sredstava (kod Newtonovih prstena to je pri prijelazu iz leće u zrak, i opet pri prijelazu iz zraka u staklenu ploču) može se reflektirati ili transmitirati. Postoje mjesta lakše refleksije i lakše transmisije (vidi sliku). Ali o čemu ovisi gdje je lakša refleksija a gdje je lakša transmisija?

Periodičnost te pojave uputila ga je da kombinira gibanje svjetlosne čestice s rasprostiranjem vala u sljedećoj hipotezi: pretpostavio je da utjecaj čestice svjetlosti na površinu prozirnog sredstva potiče titranja koja se njime rasprostiru, baš poput valova na vodi ili zvuka kad kamen udari o površinu vode. Tako bi čestica svjetlosti i val kojega je prouzročila zajedno prelazili u prozirno sredstvo. Val, budući da je brži od čestice, prestiže je: kad je čestica na onome dijelu vala koji pomaže njenom gibanju ona može lako proći kroz površinu tog sredstva, a kad je na onome dijelu vala koji se suprotstavlja njenom gibanju ona teško prolazi kroz površinu pa se lakše reflektira.*

Sam Newton nije objašnjenje formulirao matematički nego samo pomoću slike i takvoga opisa riječima. Moglo bi se tu postaviti mnoštvo pitanja, ali za njima nema potrebe budući da je to objašnjenje ionako propalo naspram jasnijeg i matematički egzaktnog valnog (koje je također ostvareno tek 1800-ih, jer ni Hooke ni Huygens nisu svoju valnu teoriju razvili dovoljno da matematički objasne Newtonove prstene).

---

* Navod iz S. Sakkopoulos, Newton’s Theory of Fits of Easy Reflection and Transmission, članak iz 1987.

3.4. drugi zakon termodinamike i vjerojatnost

Za razliku od mehaničkih pojava, kod toplinskih pojava obrtanje smjera vremena puštanjem snimke unatrag vodi nemogućim događajima. Ako toplinske pojave nisu bitno drugačije od mehaničkih, kako to da se toplinske pojave odvijaju jednosmjerno (”ireverzibilno”, nepovratno, s toplijeg na hladnije), a u mehaničkima nema ničega sličnoga? Termodinamika je, kako se to često kaže, odapela ”strijelu vremena” u dotadašnju mehaničku fiziku. Kako to da obrtanje smjera vremena u njutnovskoj mehanici ne mijenja ništa, a u termodinamici mijenja sve? Ne znači li to da termodinamika ipak nije svodiva na mehaniku?

Konačni odgovor na ta pitanja dao je Ludwig Boltzmann (nesretni, jer se ubio neshvaćen od kolega, da bi tek skoro nakon smrti bio prepoznat). Zamislite neprozirnu kutiju sa šest jednakih kuglica koje se gibaju nasumično, i s okomitom pregradom na sredini koja se može podignuti ili spustiti.

U jednom trenutku pregrada se spusti i podijeli kutiju na polovice, a vi se morate kladiti na broj kuglica u svakoj polovici. Ako malo razmislite o tome, zaključit ćete kako je najmanje vjerojatno da su sve kuglice na jednoj strani a nijedna na drugoj, a ishod u kojem je po tri kuglice na svakoj strani je vjerojatniji od ostalih mogućih ishoda.

To je zato što se takav ishod može ostvariti na najveći broj načina. Svi ostali ishodi se mogu ostvariti na manji broj načina i zato su manje vjerojatni.

Crveno je najvjerojatnije jer ima najviše načina da se ostvari, a ljubičasto najmanje vjerojatno jer se ostvaruje na samo jedan način.

Važno je primijetiti da ”makroskopsko” svojstvo broja kuglica u jednoj polovici (na gornjoj slici su to stanja označena istom bojom) ne ovisi o ”mikroskopskim” potankostima koja je točno kuglica na kojoj strani. Sad zamislite isti taj pokus s 1000 kuglica: ishod 0:1000 je još puno manje vjerojatan nego što je bio 0:6 u prethodnom slučaju, a vjerojatno je da će ishod biti negdje oko 500:500. Toplinske pojave se događaju s ogromnim brojem molekula, npr. oko 10²³ (to je jedinica i 23 nule). U istom onom pokusu sa tolikim ogromnim brojem molekula na svakoj će strani, skoro pa sigurno, biti pola od tog broja (koja milijarda molekula više-manje na jednoj od strana je, s obzirom na 10²³, zanemariva). Ako je u jednoj polovici kutije plin s 10²³ molekula dok je u drugoj vakuum, pa potom podignete pregradu, jasno je da će se uskoro uspostaviti ovo najvjerojatnije, ravnotežno stanje (pola-pola).

Pustite li snimku unatrag, vidjet ćete nešto vrlo nenormalno: da se sve molekule spontano okupljaju u jednoj polovici kutije, ostavljajući drugu praznom.

Dok je na ovoj simulaciji sve normalno, obrnuti proces se nikad ne događa. Dakle, i ovaj pokus je ireverzibilan, mada je posve mehanički. Time je termodinamička ireverzibilnost s nemogućnosti svedena na mehaničku nevjerojatnost. Ako je knjiga pala na stol i kinetička energija se pretvorila u toplinu, što je s obratnim procesom? Zapravo nije apsolutno nemoguće da se stol ohladi i preda toplinu knjizi koja potom spontano skoči uvis, ali je to toliko nevjerojatno da se nikad ne događa – baš kao što je nevjerojatno da sve molekule plina slučajno prijeđu na jednu stranu posude, mada bi načelno mogle jer im je gibanje nasumično.

3.3. nepovratnost (ireverzibilnost): mogu li se toplinske pojave svesti na mehaničke?

Drugi zakon termodinamike je jedini fizikalni zakon (prije kvantne mehanike) u kojemu je bitna razlika između prošlosti i budućnosti. Npr. u mehanici: ako pri bilo kojem hitcu (zanemarujemo otpor zraka) u bilo kojoj točki obrnemo smjer brzine, tijelo će se vratiti točno po istoj putanji na početni položaj, za jednako vremena, s brzinom koja je jednaka početnoj.

Obrnemo li smjer vremena kod kosog hitca, opet dobijemo kosi hitac

Drugim riječima, da snimimo neki takav hitac, i pustimo snimku unatrag, sve bi se i dalje odvijalo po istim fizikalnim zakonima. Obrtanje smjera vremena ne narušava te zakone. Isto je i sa savršeno elastičnim sudarom: ako se dvije kuglice sudare i odbiju, pa tu snimku pustimo unatrag, sve će se odvijati prema istim zakonima fizike – opet dvije kuglice idu jedna prema drugoj i savršeno se elastično odbijaju.

Dakle, pri mehaničkim procesima možemo obrnuti vrijeme i sve i dalje vrijedi: kažemo da su ti procesi povratni ili reverzibilni.

To vrijedi i za zakon o očuvanju energije: npr. dok tijelo slobodno pada smanjuje mu se gravitacijska potencijalna energija a povećava kinetička energija, ali tako da im zbroj (odnosno ukupna mehanička energija) ostane stalno jednak.

Obrnemo li vrijeme, slobodni pad prelazi u vertikalni hitac; fizikalni zakoni pri tome nisu narušeni

U obrnutom slučaju, kad tijelo bacimo u vis, smanjuje se kinetička a raste gravitacijska potencijalna energija, dok je ukupna energija i dalje stalno jednaka, očuvana.

No, što je s tom energijom kad tijelo padne na tlo, kad više nema ni kinetičku ni potencijalnu energiju? Gdje je nestala energija? Je li time narušen zakon o očuvanju energije? Ne. Tijelo i podloga su se pri udarcu malo zagrijali, a toplina koja se pri tom razvila točno je jednaka ”nestaloj” mehaničkoj energiji – dakle, mehanička je energija prešla u toplinu pa i tada vrijedi očuvanje energije.

Egp=Ek=Q

Međutim, taj zakon ne priječi ni obrnuti slučaj, da se npr. podloga na kojoj tijelo miruje spontano malo ohladi, tako da toplina prijeđe na tijelo koje time dobije energiju da odleti u vis! 😮 Time ne bi bio narušen zakon o očuvanju energije: kinetička energija tijela koje spontano skoči uvis sa stola bila bi jednaka toplini koju stol izgubi.

Ipak, to se ne događa. Mada vrijedi jednakost Q=Ek, ona se zapravo ponekad može odvijati samo u jednom smjeru. Dok se Ek->Q događa, obratno Q->Ek se uglavnom spontano NE događa.

Prvi zakon termodinamike je zapravo jedan oblik zakona o očuvanju energije pa je za ozakonjenje činjenice da se takve stvari ne događaju bio potreban jedan novi zakon. Drugi zakon termodinamike  kaže upravo to: toplina ne prelazi spontano s hladnijeg na toplije tijelo.

Dakle, toplinske pojave su nepovratne ili ireverzibilne: pustimo li unatrag snimku prijelaza topline sa toplijeg na hladnije tijelo, vidjet ćemo spontani prijelaz topline sa hladnijeg na toplije tijelo, odnosno nešto što se u prirodi ne događa i što se protivi drugom zakonu termodinamike. Ili, kad bismo pustili unatrag snimku nekog pada na tlo (pri kojemu je mehanička energija prešla u toplinsku), dobili bismo upravo ono što zabranjuje drugi zakon termodinamike: da se podloga ohladila, predala tu energiju tijelu i ono je spontano skočilo uvis.

Ali, tu se pojavljuje problem. Kod idealnih plinova smo sve toplinske pojave potpuno objasnili mehaničkim veličinama (npr. temperaturu kinetičkom energijom molekula). Slično, mada složenije, vrijedi i za ostale vrste tvari. Ako toplinske pojave nisu bitno drugačije od mehaničkih, kako to da se toplinske pojave odvijaju jednosmjerno (”ireverzibilno”, nepovratno, s toplijeg na hladnije), a u mehaničkima nema ničega sličnoga? Otkud nastaje ta razlika između nepovratnih i povratnih procesa? Zašto obrtanje vremena kod jednog elastičnog sudara ne narušava zakone fizike, a kod puno elastičnih sudara (u idealnom plinu) narušava drugi zakon termodinamike?

Svaki od sudara je reverzibilan, a toplinske pojave kod idealnog plina koje se svode na te sudare nisu reverzibilne. Otkud dolazi ireverzibilnost?

Kako to da obrtanje smjera vremena u mehanici ne mijenja ništa, a u termodinamici mijenja sve? Ne znači li to da termodinamika ipak nije svodiva na mehaniku?

(Odgovor u sljedećoj epizodi. 🙂 )

6.1. valovi ili čestice?

Od Huygensa i Newtona (kraj 17. stoljeća) trajala je dvojba radi li se kod svjetlosti o valovima ili hrpi čestica. Ta dvojba je u 19. stoljeću riješena u korist valova, otkrićem interferencije i ogiba svjetlosti, potom polarizacije svjetlosti, i konačno elektromagnetskih valova. Ali početkom 20. stoljeća u Einsteinovom objašnjenju fotoelektričnog učinka (i u nekim drugim pojavama) imamo povratak čestične teorije o svjetlosti, u pojmu „fotona“.

U čemu je zapravo dvojba? Zar i kod valova nisu prisutne neke čestice koje titraju? Zašto bi te dvije slike – valna ili čestična – bile neuskladive?

Ključna se razlika možda najbolje može objasniti na pojavi interferencije koja je karakteristična za valove a nije za čestice.

Zamislite dvije čestice koje idu jedna prema drugoj, i dva vala koji idu jedan prema drugome. Dvije čestice će se sudariti, možda odbiti jedna od druge. A dva vala?

Ako se susretnu brijeg i brijeg (ili dol i dol) val će se pojačati. Ako se susretnu brijeg i dol val će oslabiti (ili se čak potpuno poništiti ukoliko su im amplitude jednake). Ta pojava se naziva interferencija (konstruktivna kod pojačavanja, destruktivna kod slabljenja). U oba slučaja valovi će, za razliku od čestica, jednostavno proći jedan kroz drugoga.

Ako imamo jednu česticu i još jednu česticu, prirodno vrijedi 1 + 1 = 2. Ako imamo jedan val i još jedan val, oni zajedno, ovisno o položaju i trenutku, daju novi val koji ima za amplitudu bilo koji broj od 0 do 2. To je zato što se pri susretu dva vala mogu poklopiti brijeg i brijeg, pa imamo dvostruku amplitudu

ili se poklope brijeg i dol, pa je amplituda nula

ili neka druga kombinacija daje bilo koju vrijednost u rasponu od nula do dvostruke amplitude. 

Ukoliko imamo dva izvora vala, onda će se oko njih pojaviti karakteristični obrasci interferencije, sa pojačanjima (konstruktivna) i slabljenjima/poništenjima (destruktivna).

Kako možemo znati je li nešto – npr. svjetlost – hrpa čestica ili val? Tako da potražimo interferenciju. Ukoliko pokazuje interferenciju, radi se o valnoj pojavi.

Zamislimo pokus gdje kroz dva otvora na zidu šaljemo najprije neke makroskopske čestice (npr. loptice ili metke) a potom valove (npr. valove na vodi). U oba slučaja najprije je jedan otvor zatvoren a drugi otvoren, potom je drugi otvoren a prvi zatvoren, a potom su oba otvorena. Za čestice (i lopte/metke i elektrone) bilježimo broj udaraca na pojedinom mjestu zida/mete, a za valove mjerimo jakost vala na pojedinom mjestu zida/mete.

(1) Ako šaljemo makroskopske čestice te bilježimo gdje udaraju nakon prolaska i brojimo udarce na pojedinom mjestu, dobijemo neku ovakvu raspodjelu učestalosti udaraca.

P1 je raspodjela koliko čestica udari na koje mjesto na zidu kad je otvoren samo prvi otvor, P2 kad je otvoren samo drugi, a P12 je kad su otvorena oba. Za makroskopske čestice jednostavno vrijedi P12 = P1 + P2. Kad su oba otvora otvorena isto je kao zbroj prethodnih situacija kad je bio otvoren samo jedan i kad je bio otvoren samo drugi. Naravno, jedna čestica prolazi uvijek samo kroz jedan otvor.

(2) Ako šaljemo valove raspodjela je za prva dva slučaja, kad je samo jedan otvor otvoren, posve jednaka kao kod čestica. Jakost vala I1 na ovoj slici je ista kao raspodjela čestica P1 na prethodnoj (također je i I2 isto kao P2). Ali kad su oba otvora otvorena dobijemo posve različitu sliku – jakost valova I12 je sasvim drugačija od raspodjele udaraca čestica P12. Radi interferencije negdje je jakost vala pojačana, a negdje se valovi potpuno ponište:

Jakost vala kroz dva otvora nije naprosto zbroj I1 + I2 nego imamo karakterističan obrazac interferentnog pojačanja i slabljenja vala. Treba primijetiti da val (za razliku od čestica) može prolaziti istodobno kroz oba otvora. 

Da bi utvrdio je li svjetlost val ili hrpa čestica Thomas Young je početkom 19. stoljeća napravio taj pokus. Na igraćoj karti je načinio dva vrlo tanka i vrlo bliska proreza, kroz njih poslao svjetlost i na zidu dobio interferenciju: nije dobio dvije svijetle crte za dvije pukotine, kao što bismo očekivali prije učenja fizike, nego je dobio niz svijetlih i tamnih pruga – svijetle tamo gdje je interferencija konstruktivna, a tamne tamo gdje je interferencija destruktivna.

Time je konačno ( 😉 ) dokazano da je svjetlost val, a ne hrpa čestica. Hrpa čestica ne bi davala svijetle i tamne pruge (odnosno obrazac interferencije valova kao na drugoj slici) nego dvije svijetle crte (odnosno obrazac udaraca čestica kao na prvoj slici).

Fizičari su to pitanje mogli smatrati riješenim za sljedećih stotinjak godina, točnije do 1905. (a učenici ga mogu smatrati riješenim od učenja Youngovog pokusa pa do učenja fotoelektričnog učinka koji mjesec kasnije).