1.6. jesu li neke beskonačnosti veće od drugih? (neprebrojivost)

Ako parnih brojeva ili racionalnih brojeva ima koliko i prirodnih, odnosno {\displaystyle \aleph _{0}}, ima li toliko i realnih brojeva? I jednih i drugih ima beskonačno, dakle ima ih jednako? Zapravo ne. Cantor je pokazao da skup realnih brojeva nije prebrojiv, odnosno da realnih brojeva nema koliko i prirodnih.

Njegov tzv. „dijagonalni“ dokaz je zgodan. Zasnovan je na postupku reductio ad absurdum: najprije nešto pretpostavimo, potom u tome pronalazimo proturječje, i iz toga slijedi da je početna pretpostavka pogrešna.

Početna pretpostavka (koju želimo pobiti) jest da je skup realnih brojeva prebrojiv, odnosno, da realnih brojeva ima isto koliko i racionalnih (i prirodnih). Problem je kako poredati realne brojeve tako da ih možemo brojati. I racionalni brojevi i realni brojevi nemaju jasne prethodnike i sljedbenike; ipak za racionalne nije teško smisliti shemu, ali za realne je to pravi problem. No, pretpostavimo da smo uspjeli nekako poredati sve realne i ta ih stoga možemo brojati. To je, dakle, početna pretpostavka (koju želimo pobiti): poredali smo sve realne brojeve u neku shemu. To ne ovisi o shemi po kojoj smo poredali realne brojeve – naprosto zamislimo da su poredani, kako god da se to dogodilo.

Drugi korak dokaza je pokazati da je ta pretpostavka da su svi realni brojevi poredani pogrešna. Za to je potrebno konstruirati realni broj koji sigurno nije na popisu. To možemo napraviti ovako: pogledamo prvu znamenku iza decimalnog zareza prvoga broja. Naš broj će imati različitu prvu znamenku od prve znamenke prvog broja (da bi se razlikovao od njega). Dakle, uzmemo neku različitu vrijednost prve znamenke (na slici prva znamenka iza decimalnog zareza prvoga broja jest 2, uzimamo neku drugu vrijednost npr. 7).

Reductio ad absurdum: uzmemo pretpostavljeni popis svih realnih brojeva i potom konstruiramo realni broj koji sigurno nije na popisu (za ovaj popis to je npr. 0.746894310875…).

Potom idemo na drugu znamenku i ponavljamo taj postupak: moramo uzeti neku različitu od druge znamenke drugoga broja da bismo bili sigurni da se naš broj razlikuje i od drugoga broja na listi (na slici je to različito od 9, npr. 4). I taj postupak nastavljamo u beskonačno – svaki korak osigurava da je naš broj različit od sljedećeg realnog broja. Na taj način konstruiramo realni broj koji sigurno nije na listi, odnosno, kojemu nije pridružen nijedan prirodni broj.

Time smo pokazali da je početna pretpostavka pogrešna, odnosno, da nema načina da poredamo sve realne brojeve tako da bi ih mogli prebrojati. Uvijek možemo konsturirati neki koji nije na popisu.

(Vidite li zašto isti ovakav dokaz ne vrijedi za racionalne brojeve?)

Dakle, skup realnih brojeva je neprebrojiv. Znači li to da realnih brojeva ima više nego racionalnih? Jesu li neke beskonačnosti veće od drugih?

Oglasi

1.5. ima li više parnih ili prirodnih brojeva? (prebrojivost)

Ima li više parnih prirodnih brojeva ili prirodnih brojeva (dakle parnih i neparnih ukupno)? Naravno, ako brojimo do bilo koje konačne vrijednosti N, onda će prirodnih brojeva biti dvostruko više nego parnih. Pa se najprije može činiti da je time lako odgovoreno na naše pitanje. Ali, ako krenemo brojati parne brojeve, onda imamo nešto ovako

2   4   6   8   10   12  14  16 …

1   2   3   4     5     6    7    8 …

Dakle, svaki prirodni broj broji jedan parni te nema nijednog prirodnog broja kojemu ne bi odgovarao neki parni, po jednostavnoj formuli PARNI=2∙PRIRODNI. Koliko god ima članova s lijeve strane ove jednakosti, toliko ima i s desne. Odnosno, parnih brojeva ima jednako koliko i prirodnih.

Ali kako je to moguće? Prirodni brojevi se sastoje od parnih i ne-parnih. Kako je moguće da parnih i neparnih brojeva zajedno ima isto koliko i samo parnih? Ta stvar je zbunjivala i neke od napametnijih ljudi prošlog tisućljeća, poput Leibniza i Galilea.

Galileo je pisao o vrlo sličnom problemu s nizom prirodnih brojeva koji su kvadrati prirodnih brojeva, dakle 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64 … I ovdje se ponavlja isti obrazac – kad brojimo te brojeve nijedan prirodni broj neće biti preskočen, odnosno svakom prirodnom broju odgovara jedan kvadrat. Pa bi slijedilo da kvadratnih brojeva ima jednako koliko i prirodnih brojeva, mada su mnogi prirodni brojevi nisu kvadratni – to se naziva Galileov paradoks. Galileo zaključuje ovako:

Koliko vidim, možemo samo zaključiti da je ukupnost svih [prirodnih] brojeva beskonačna, da je broj kvadrata beskonačan, i da je broj njihovih korijena beskonačan; niti je broj kvadrata manji od ukupnosti svih brojeva, niti je ono prvo veće od drugoga; i konačno, oznake ‘veće’, ‘manje’ i ‘jednako’ nisu primjenjive na beskonačne nego samo na konačne veličine.

Leibniz je također smatrao da ih ne može biti jednako. To bi naime značilo da pravi podskup nekog skupa ima jednako članova koliko i sam taj skup, a to bi kršilo Euklidov aksiom: „Cjelina je veća od dijela.“

No, krajem 19. stoljeća Cantor je sve skupove koje možemo brojati na prethodno opisani način nazvao prebrojivim, i ustvrdio da svaki od njih ima točno jednako članova. Taj broj članova, koji je naravno beskonačan, označio je hebrejskim slovom „alef“ uz indeks nula, dakle „alef nula“, što se označava sa {\displaystyle \aleph _{0}}.

Zanimljivo je i da racionalnih brojeva ima točno toliko. To nije očito kao u prethodnim primjerima, jer u njima svi članovi skupova nakon prvoga imaju točno određene prethodnike i sljedbenike, pa je jasno kako ih brojati. Ali nije jasno kako brojati racionalne brojeve – neki racionalni broj, npr. 2/7, nema prethodnika ni sljedbenika. Ipak, moguće ih je poredati tako da svi budu obuhvaćeni pri brojanju, i tako pokazati da je skup racionalnih brojeva prebrojiv (mada beskonačan), odnosno da ima alef nula racionalnih brojeva.

rationals-countable

(Naravno, pri brojanju preskačemo one racionalne brojeve koje smo već brojali, npr. 2/4 budući da smo već brojali 1/2. Važno je samo da postoji poredak koji obuhvaća sve racionalne brojeve.)

A što vi mislite? Slažete li se s Galileom ili s Cantorom? Mislite li da su sve beskonačnosti jednako velike ili su neke veće od drugih? 🙂

2.2. Što fizika ne može znati?

Za početak jedan klasik dr. Sheldona Coopera:

Sheldon: I’m a physicist. I have a working knowledge of the entire universe and everything it contains
Penny: Who’s Radiohead?
Sheldon [after twitching for a minute]: I have a working knowledge of the important things

Ne radi se tek o osobnoj Sheldonovoj aroganciji: on vjeruje da zna ”čitav svemir i sve u njemu” ne zato što je jako pametni Sheldon Cooper, nego upravo zato što je fizičar! Otkud to? Ovo je njegova neizrečena pretpostavka: sve što se zbiva u svemiru u načelu se svodi na fiziku. Naša psihička stanja se svode na biologiju mozga, biologija na kemiju i fiziku, kemija na fiziku. I zaljubljenost i pjesništvo i nogometno umijeće na koncu se svode na funkcioniranje naših organizama, a oni se (barem u načelu) potpuno svode na fizikalne procese.

To se uvjerenje naziva ”fizikalizam”.

Općenito govoreći, fizikalizam je filozofska pozicija prema kojoj je sve što postoji
fizičke prirode. Točnije rečeno, to je pozicija prema kojoj postoji samo ono što priznaje
suvremena fizika. Ono što navodno nije fizičko, to zapravo ne postoji. Ista se pozicija često
naziva i materijalizam; ideja je da je sve što postoji u krajnjoj liniji materijalne prirode. Ne
smijemo se zabuniti, fizikalisti ne smatraju da mentalno ne postoji i da se tu nema što
objašnjavati. Mentalna stanja postoje, međutim, pitanje je kakva je njihova priroda. Fizikalist
smatra da su mentalna stanja zapravo samo jedna vrsta fizičkih – to su neurološka stanja naših
mozgova. Mentalna stanja su, isto kao i sve drugo što postoji, u krajnjoj liniji samo fizička stanja.
Ona su isto što i fizička stanja. Fizičko i mentalno jedno su te isto. Relacija između mentalnog i
fizičkog jest relacija identiteta. Pazite, fizikalist ne tvrdi da fizičko uzrokuje mentalno ili da ga
određuje. Kada bi to tvrdio, ne bi mogao tvrditi da su fizičko i mentalno jedno te isto, budući da
jedna stvar može uzrokovati ili određivati drugu samo ako se radi o dvije različite stvari, a prema
fizikalizmu, vidjeli smo, radi se o jednoj te istoj stvari. Za fizikalistu stanja mozga ujedno jesu
stanja svijesti. (Boran Berčić link)

Dakle, sve ono što se događa u bilo čijem iskustvu u načelu se na koncu svodi na fiziku. Tako kaže fizikalist (a neki fizičar ne mora biti fizikalist, kao što ni neki fizikalist ne mora biti fizičar).

Da se vratimo na prošli zapis, i na dva odgovora na pitanje što je zvuk. Naravno, zvuk jest mehanički longitudinalni val, rasprostiranje zgušnjenja i razrjeđenja kroz neko sredstvo. Tu je, jasno, sve sasvim fizičko. Što je s onim drugim odgovorom, da se zvuk zapravo odnosi na ono što mi doživljavamo (kad su frekvencije toga vala između 16 Hz i 20 kHz)? Je li taj mentalni doživljaj na koncu također nešto fizičko – niz stanja našega mozga, i ništa osim toga?

Evo jednog misaonog pokusa koji bi htio pokazati da je fizikalizam pogrešan.* Zamislimo znanstvenicu Jasnu, stručnjakinju za zvuk i za fiziologiju sluha i neurofiziologiju mozga. Jasna se bavi svime što je povezano sa zvukom i sluhom, i zna sva najnovija znanstvena istraživanja s tih područja. Ali, Jasna je gluha od rođenja.

U jednom trenutku, Jasna bude izliječena i čuje.

Pitanje je:

Je li Jasna time što je čula po prvi put naučila nešto novo?

Ako jest naučila nešto novo, treba reći da to nije mogla naučiti time da bi bila još bolja znanstvenica. Jedini način da to nauči bio je taj da sama doživi to iskustvo (da sama ima to ”mentalno stanje”). A to znači da ima u ”mentalnim stanjima” nešto što nije dostupno prirodnim znanostima (pa i na koncu fizici), nego je dostupno samo vlastitom iskustvu (naravno, čak i fizičarevom). Nečega čega ima samo ako netko čuje, dok ne postoji kad stablo padne u šumi i nema nikoga da ga čuje.

——

* Taj misaoni pokus je jedna varijanta ovoga.

2.1. Padne li stablo u šumi, a nema nikoga da ga čuje…

Učenici trećih razreda su nedavno rješavali jedan upitnik o pojmu zvuka, u kojemu su, između ostalih, postavljena i sljedeća tri pitanja (bilo je ponuđeno još odgovora, ali za našu temu su zanimljiva samo ova dva):

 1. Koja od donjih tvrdnji bolje opisuje rasprostiranje zvuka kroz zrak?

a) Čestice zraka se gibaju na određeni način. Ovo gibanje proizvodi zvuk kada čestice zraka udare u slušateljev bubnjić. Zvuk ne postoji dok čestice zraka ne udare u bubnjić.

b) Čestice zraka se gibaju na određeni način. Zvuk je ovo gibanje čestica zraka.

2. Dovršite sljedeću rečenicu: Gibanje odnosno mirovanje čestica zraka koje si opisao/la u prethodnim pitanjima…

a) …stvara zvuk u slušateljevom uhu jer zvuk ne postoji dok čestice zraka ne udare u slušateljev bubnjić.

b) …jest zvuk.

3. Dovršite sljedeću rečenicu: Gibanje odnosno mirovanje čestica zraka koje si opisao/la u prethodnim pitanjima…

a) …nastaje prije stvaranja zvuka. Zvuk nastaje kad čestice zraka udare u slušateljev bubnjić i ne postoji prije toga.

b) …nastaje u isto vrijeme dok se zvuk propagira jer opisano gibanje čestica zraka jest zvuk.

 

Naravno, točnim odgovorom smatrao sam u sva tri slučaja b). Ali, odgovori pod a) postavljaju jedno staro i zanimljivo pitanje: ”Padne li stablo u šumi, a nema nikoga da to čuje, je li proizvelo zvuk?”

Mislio sam da je to pitanje zapravo koan, pitanje u japanskom zen buddhizmu koje nije namijenjeno tome da nađemo ispravan odgovor nego tome da naletimo na granicu gdje racionalnost ne uspijeva. Ali nije, nema veze s Japanom, poteklo  je od Georgea Berkeleya. Njegov odgovor na pitanje bio je ”ne”: ako nitko ne čuje, zvuk ne postoji. Isto pitanje mučilo i Lisu i Barta.

Lisa: If a tree falls in the woods and no one’s around, does it make a sound?

Bart: Absolutely! [makes sound of a tree falling]

Lisa: But Bart, how can sound exist if there’s no one there to hear it.

Bart: Wooooooo…

Da ne zlorabim te slavne likove, nastavit ću dijalog pod drugačijim imenima.

Tvrtko: Zvuk je mehanički val frekvencija od 16 Hz do 20 kHz. Zvuk nastaje više ili manje periodičnim titranjem izvora zvuka koji u neposrednoj okolici mijenja tlak medija, poremećaj tlaka prenosi se na susjedne čestice medija i tako se širi u obliku valova. Nije valjda da misliš kako poremećaji tlaka koji nastanu padom stabla ovise o našim bubnjićima?

Jasna: OK,  u pravu si ako prihvatim tvoju definiciju zvuka.

Tvrtko: Nije to ”moja definicija”. Ova je iz enciklopedije, ali ista stvar piše bilo gdje da potražiš.

Jasna: Ali, zašto je definiran baš tako, u rasponu od 16 Hz do 20 kHz?

Tvrtko: To je raspon u kojem čuje ljudsko uho.

Jasna: Eto vidiš, ipak ovisi o našem uhu. Način na koji definiraš zvuk povezan je s ljudskim sluhom. Bez nas ljudi možda postoje ta zgušnjenja i razrjeđenja zraka, ali ne postoji zvuk – jer bez nas taj raspon od 16 Hz do 20 kHz preko kojega definiraš zvuk nema nikakvoga smisla. Zvuk je definiran u odnosu na našu sposobnost da čujemo.

Ne znači da je dijalog dovršen – možete ga nastaviti. Možete li dati još argumenata za Tvrtka ili za Jasnu? Tko je u pravu?

1.4. Je li 0.999… = 1?

Znamo da je 1/3 = 0.333… Pomnožimo li obje strane s 3 dobijemo (1/3) * 3 = (0.333…) * 3, drugim riječima 1 = 0.999…

Brojevi koji se javljaju u gornjem dokazu su racionalni brojevi. To su brojevi koji su dobivaju dijeljenjem cijelog broja s prirodnim brojem. Uvijek ih možemo zapisati s konačno mnogo decimala, jer ako ih i nemaju konačno mnogo, ponavljajući se dio decimala može označiti točkicama – npr. 0.123123123… možemo zapisati kao 0.123 s točkicama iznad 1 i 3.

Kako je moguće da su dva različita broja (0.999… i 1) isti broj? Treba razlikovati brojeve i zapise brojeva. Koliko je ljudi u učionici ili koliko je minuta preostalo do kraja sata – u tim pitanjima nas zanimaju brojevi. Što se nalazi ispred upitnika u nazivu ovog posta? Odgovor će govoriti o zapisu nekog broja (u nekoj drugoj kulturi jedinica ispred upitnika možda označava neku riječ).

Brojevi su, obično se vjeruje, nešto nedohvatljivo i apstraktno, dok su zapisi brojeva (poput položaja kazaljki na satu ili traga olovke na papiru) nešto vrlo konkretno i dohvatljivo.

Što decimale doista nama znače? Ako zapišemo racionalni broj u konačnom obliku (s točkicama) u praksi zamišljamo kako se te decimale ponavljaju i ponavljanju u beskonačnost. I taj beskonačni raspis interpretiramo na način da u glavi konstruiramo broj: uzmi cjelobrojni dio i potom za svaku decimalu nakon decimalne točke: uzmi tu decimalu, podijeli ju s 10 potenciran na redni broj decimale, dobiveno dodaj na rezultat.

terminologija brojeva

Ta je konstrukcija raspisanih zapisa (prelazak iz drugog u treće područje na slici) beskonačan proces. Uzmimo treći zapis sa slike. Uzimamo cjelobrojni dio (jedinicu) i potom za svaku decimalu u raspisanom zapisu (1, 2, 3, 2, 3, …) dodajemo redom 1/10, 2/100, 3/1000, 2/10000 itd. To je naša interpretacija beskonačnog raspisa, tako konstruiramo broj iz raspisanog zapisa.

Proces konstrukcije broja iz njegovog raspisanog zapisa moguće je promatrati kao sumiranje reda, gdje član (“pribrojnik”) reda izgleda ovako: (n-ta decimala ) / 10^n.

Mi doista na taj način razmišljamo o brojevima: uzimamo konačni zapis, u glavi ga “odmotavamo” i tako konstruiramo broj. Ako nema aktualne beskonačnosti, taj proces ne može imati kraja, odnosno broj nikad nije konstruiran. Ako nam zapis nekog broja nije u stanju reći koji broj zapisuje (jer je za dovršiti konstrukciju potrebno aktualno beskonačno mnogo koraka), ima li smisla govoriti da se radi o zapisu broja? Odustanemo li pak od (aktualno) beskonačno mnogo koraka i prekinemo postupak nakon konačno (ma koliko puno, ali konačno) mnogo koraka, konstrukcija broja iz zapisa 0.999… nas ne dovodi do 1.

1.3. Sastoji li se dužina od točaka?

Sastoji li se dužina od točaka?

”Dužina je skup točaka pravca, a sastoji se od dviju zadanih točaka A i B pravca i svih točaka pravca koje su između njih. Točke A i B su krajnje točke te dužine.” (link)

Ali, ako se dužina sastoji od točaka, a točka nema nikakvu duljinu, otkud dužini duljina?

Zenonov najdublji paradoks je u osnovi geometrijski. On zapravo pita imaju li krajnji sastojci neke dužine – dakle točke – duljinu različitu od nula, ili im
je duljina stvarno nula. Dužina je očigledno beskonačno djeljiva; dakle ima beskonačno mnogo krajnjih sastojaka. Ako imaju bilo koju duljinu veću od nula, tad, suprotno našoj pretpostavci, duljina dužine mora biti beskonačna. Bilo koji niz koji se sastoji od pozitivnih veličina jednakog iznosa ima beskonačnu sumu. No, ako je pak duljina doslovno nula, tad će, suprotno našoj pretpostavci, duljina segmenta biti nula.

Ovdje ne pomaže nikakvo sumiranje beskonačnog reda, jer se ne zbrajaju sve manji dijelovi, nego uvijek jednaki dijelovi, kao u 1 + 1 + 1 + 1+…

Za Aristotela, problema nema. Točka je granica dužine. Dužina ima točno dvije točke, A i B.

dužina AB

Naravno, moguće je (”potencijalno”) načiniti još bilo koliko točaka na toj dužini. Dužina se može dijeliti na potencijalno beskonačno mnogo manjih dužina (AA1, A1A2, A2A3, …, AnB) i tako načiniti beskonačno mnogo točaka na dužini.

duzina AB

Ali, to ne znači da se dužina već (”aktualno”) sastoji od beskonačno mnogo dijelova. Dužina se, naprosto, ne sastoji od dijelova, mada se može podijeliti na dijelove. Kao što se stablo nije sastojalo od cjepanica, mada je moglo biti podijeljeno na cjepanice.

Ipak, to gledište može biti problematično. Promotrimo neku dužinu na brojevnom pravcu, npr. s rubnim točkama 3 i 4.

brojevni pravac

Koliko ima realnih brojeva između 3 i 4? Beskonačno mnogo. Znači li to da na brojevnom pravcu već ima (”aktualno”) beskonačno mnogo točaka između 3 i 4? Jesu li one već tamo (”aktualno”), ili ih mi tek možemo (”potencijalno”) tamo dodati?

Dakle, ima li već (”aktualno”) beskonačno mnogo točaka na nekoj dužini (bila ona AB ili 34)? Ili točke dospijevaju na dužinu tek tako da tu dužinu dijelimo, što možemo činiti (”potencijalno”) u beskraj?

Ako ih već ima (”aktualno”) beskonačno mnogo, sastoji li se dužina od točaka? Je li dužina skup točaka i ništa osim toga? Ali otkud joj onda duljina?

1.2. Do koliko znaš brojati (potencijalna beskonačnost)?

Kad dijete kaže  ”Ja znam brojati do deset. A ti?”, što ćete mu odgovoriti? Ako odgovorite ”do beskonačno” pod tim ne mislite da možete stvarno izbrojati do ∞, nego da uvijek možete nastaviti još i dalje brojati. Odnosno, mislite na potencijalnu beskonačnost, a ne na ostvarenu (”aktualnu”) beskonačnost.

Što to znači? Riječ ”potencijalno” znači ”moguće”, a ”potencijalna beskonačnost” znači mogućnost da se nešto uvijek još i dalje poveća. Zbroj 1 + 1 +  1 +… po tom gledištu nije jednak ∞ i gotovo, kao da bi ∞ bio neki rezultat poput drugih. Rezultat znači nešto gotovo, dovršeno, a zbroj 1 + 1 +  1 +…  nikad nije dovršen. Zato je, prema tom gledištu, taj zbroj samo potencijalno beskonačan, jer se uvijek može još povećati, pa nije konačan, nije ograničen nego je bez-konačan, ne-ograničen. Od Aristotela (4. st. pr. Kr.) pa do 19. stoljeća većina je matematičara smatrala da beskonačnost treba shvatiti isključivo kao potencijalnu.

Što je sa zbrojem 1/2 + 1/4 + 1/8 +… ? Vidjeli smo kako slika sugerira da taj zbroj beskonačno mnogo članova ima konačan rezultat, i to 1.

infinite-series-square

Ipak, upitajmo se još jednom: koliko pravokutnikića moramo dodati da površina doista bude 1? Odgovor je: beskonačno mnogo. Možemo li dodati beskonačno mnogo (sve manjih) pravokutnika? Naravno, možemo reći ”očito je da na kraju ta površina mora biti 1”. Ali, ima li kraja, ako se radi o beskonačno (bez-krajno) mnogo članova?

Jesmo li dobili konačni rezultat zbroja beskonačno mnogo brojeva, ili smo dobili broj kojemu se svakim novim članom potencijalno približavamo ali ga nikad ne dostižemo?

Naš bivši učenik od prije par generacija, Luka M., zastupao ovo drugo gledište u komentaru:

Kod zbrajanja n brojeva (x1 + x2 + … + xn), uzmemo prvi broj i na njega dodajemo sve preostale, ono što dobijemo na kraju zovemo zbrojem. …

Kod zbroja beskonačno mnogo brojeva, ne znamo što napraviti. Jer: ako uzmemo prvi broj i krenemo dodavati ostale, nikad nećemo stati.

Zbog toga mi se čini da je zbrajanje beskonačno mnogo brojeva (sumiranje reda) nešto što je vrstom bitno različito od zbrajanja 2 (ili n) broja. Rekao bih da je sumiranje reda proces bez kraja. To tu operaciju bitno razlikuje od zbrajanja 2 (ili n) broja koja itekako ima kraj.

Ako mi ne možemo, može li računalo stvarno (a ne samo potencijalno) izbrojati do ∞?

Za današnja računala svakako vrijedi da za beskonačno mnogo ma kakvih koraka jest potrebno beskonačno mnogo vremena.

Aristotel je iskoristio zamisao o potencijalnoj beskonačnosti da riješi još jedan Zenonov paradoks (uz ”Ahila i kornjaču”) nazvan ”Dihotomija” (već smo ga spominjali u komentarima). Najprije paradoks:

Neko tijelo, da bi prešlo neki cijeli put mora prvo prijeći polovicu, zatim četvrtinu, pa osminu i tako neograničeno dalje… Dakle, opet imamo naš zbroj beskonačno mnogo članova 1/2 + 1/4 + 1/8 +… Od trkača bi se moglo tražiti, kaže Zenon, da broji svaki od tih koraka. No, to bi značilo da  ”kad je prijeđena cijela crta, izlazi da je izbrojen neograničen broj (∞), što je … nemoguće”.

Kako je Aristotel odgovorio na taj Zenonov izazov?

Aristotel kaže da ne postoji već beskonačno mnogo dijelova dužine, nego je dužina tek potencijalno uvijek još djeljiva. Neograničena podijeljenost vremena i prostora u Zenonovim dokazima nije nešto što je stvarno već sprovedeno, ostvareno, niti pak može biti ostvareno. Prostor i vrijeme mogu se dijeliti neograničeno, ali ti dijelovi prostora i vremena nastaju tek kao rezultat samoga dijeljenja. Prije dijeljenja prostor i vrijeme nemaju dijelove.

Stoga Aristotel zaključuje kako je moguće udaljenost od Ahila do kornjače dijeliti u beskraj (potencijalno), ali to ne znači da onaj tko prelazi tu udaljenost prelazi ∞ mnogo dijelova. Dijelovi nastaju tek kad netko dijeli tu udaljenost. Da bi netko imao problem kako prijeći udaljenost koja ima ∞ mnogo dijelova, najprije bi netko trebao podijeliti tu udaljenost na ∞ mnogo dijelova. Inače se ta udaljenost može prijeći, dakako, ako se jednostavno krene i ne stane.

Dodatak:

Isti rezultat sume beskonačnog reda kao i gornja slika daje formula za sumu beskonačnog reda koju smo izveli u prošlome zapisu. Ali, uz taj se izvod također može staviti jedan upitnik. Postupak izvođenja išao je ovako:

S = 1 + x + x2 + x3 + …

Sad pomnožimo obje strane jednakosti sa x.

S∙x = x + x2 + x3 + x4 + …

S desne strane to je isti izraz kao i ranije, samo bez 1! (Je li? 😉 )

Doista, je li? Recimo da se ne radi o beskonačnom redu, nego nekom konačnom, sa n članova.

S = 1 + x + x2 + x3 + … + xn.

Sad pomnožimo obje strane jednakosti sa x.

S∙x = x + x2 + x3 + x4 + …+ xn + xn+1

Ako oduzmemo te dvije jednakosti dobijemo S – S∙x = 1- xn+1. To vrijedi za bilo koji n, s time da ovaj član xn+1 postaje sve manji i manji kako n ide u beskonačnost (jer je iznos x manji od 1). Kad taj član postane 0 tad dobijemo onu formulu za sumu beskonačnog reda. Ali, kada taj član postaje nula? Tek kad n=∞, odnosno, gledano sa stajališta potencijalne beskonačnosti, nikad!

1.1. Mora li zbroj beskonačno mnogo članova imati beskonačan iznos?

Zenon kaže (1.) da je Ahilu potrebno beskonačno mnogo ”koraka”, što podrazumijeva (2.) da mu za njih treba beskonačno mnogo vremena. Slijedi li nužno (2.) iz (1.)? Je li moguće da mu je za beskonačno mnogo ”koraka” dovoljno konačno mnogo vremena?

Komentator na Ahilu i kornjači, pod nadimkom Kairos, kaže:

Ovo je problem zbrajanja beskonačne serije … Ovo je matematički način rješavanja ovakvih paradoksa gdje se zbrajaju sve manji dijelovi beskonačno mnogo puta.

Dakle, izgleda da nam treba neko znanje iz matematike. U hrvatskom je u ovome matematičkom značenju za englesko series uobičajena riječ ”red”. Zbroj beskonačnog reda se uči iz matematike u 4. razredu, pa ga velika većina čitatelja još nije učila. Ovdje ću pojednostavljeno objasniti one zamisli koje su nam (možda?) potrebne za pitanje o Ahilu i kornjači. Naravno, iz matematike ćete redove učiti na pravi, strogi način.

Mora li zbroj beskonačno mnogo članova biti beskonačan?

Recimo zbroj 1 + 1 + 1 + … očito ide u beskonačno. Isto tako i zbroj 1 + 2 + 4 + 8 +… Vrijedi li to za svaki zbroj beskonačno mnogo članova? Znalaoc kaže:

… ako počnemo dijeliti tu duljinu na sve manje dijelove dođemo do zaključka da je taj prostor beskonačno djeljiv, znači beskonačan je…

Dakle, ako neka duljina ima beskonačno mnogo dijelova, onda je beskonačna? Ili nije? Kairos naglašava da ”se zbrajaju sve manji dijelovi”. Na primjer, je li ovaj zbroj beskonačan?

beskonacni red

Ne! Slika dovoljno govori:

infinite-series-square

Površina gornjeg lika očito nije beskonačna, mada ima beskonačno mnogo dijelova. beskonacni redima beskonačno mnogo članova, ali, budući da su ti članovi sve manji i manji, suma je konačna. U ovom slučaju, kao što se vidi iz slike, iznos sume je 1.

(Ili je ipak malo manji od 1? 😉 )

Evo još jednog primjera:

beskonacni red1

Dokaz:

220px-GeometricSquares_svg

Budući da površina gornjeg kvadrata očito nije beskonačna, jasno je da je suma konačan broj, bez obzira što je članova beskonačno mnogo. Vidite li iz slike da je ta suma 1/3? (Ili je stalno sve manje, ali uvijek još malo, malo, malo,… manja od 1/3? ;))

Dakle, moguće je zbrojiti beskonačno mnogo (sve manjih!) dijelova i dobiti konačan broj.

Sad, neki kažu da je se zbroj beskonacni reduvijek sve više približava iznosu 1, ali da nikad nije 1! Sigurno je da taj zbroj nije veći od 1 (svakako nije beskonačan). Ali je li 1 ili je malo manji od 1? Svaki novi pravokutnikić na ovoj slici približava površinu iznosu 1, ali nakon koliko pravokutnika će ona zapravo biti 1?

infinite-series-square

Da bi površina bila upravo 1, a ne skoro 1, potrebno je dodati beskonačno mnogo pravokutnikića. Što vi mislite, je li OK reći: jasno se vidi da na kraju suma mora biti 1, ili ipak treba cjepidlačiti s time da nema kraja nego se površina uvijek samo približava 1?

I, glavno pitanje: rješava li ovo Ahila i kornjaču?

Ako zbrojimo sve manja vremena t1 + t2 + t3 +… dobijemo li konačan ili beskonačan rezultat? Ako je konačan, što mislite je li taj rezultat jednak rezultatu kojega dobijemo ispravnim fizikalnim računom? Ako nije jednak, je li puno veći ili malo manji od fizikalno ispravnoga?

hnjo kaže:

mislim da je problem u tome što ovim načinom se vrijeme sve više smanjuje, i kad zbrojimo sve t-ove (beskonačno ih je) nikad nećemo dobiti ono vrijeme u kojemu će se oni susresti, a to je 10 sekundi

Što vi kažete? 🙂

————————————————————————————————

Dodatak: Možemo izvesti formulu za računanje sume beskonačnog reda, kad su članovi po iznosu manji od 1. Općenito, suma 1 + x + x2 + x3 + … ima konačan rezultat ako je iznos x manji od 1. (Vidjeli smo da je npr. za vrijednosti x =1 ili x =2 ta suma beskonačna.) Kolika je ta suma? Recimo da je S. Dakle,

S = 1 + x + x2 + x3 + …

Sad pomnožimo obje strane jednakosti sa x.

S∙x = x + x2 + x3 + x4 + …

S desne strane to je isti izraz kao i ranije, samo bez 1! (Je li? 😉 ) Dakle

S = S∙x + 1

SS∙x = 1

S∙(1-x) = 1

i na kraju

suma geometrijskog reda.

(Dobijemo li za vrijednosti x = 1/2 i za x = 1/4 pomoću gornje formule iste rezultate kao što smo ranije dobili pomoću slika? Možemo li ovu formulu primijeniti na problem Ahila i kornjače?)

1.0. Ahil i kornjača

Započinjemo jednim slavnim paradoksom, o kojem sam nekima od vas već govorio na satu (neka vas to ne spriječi da komentirate).

Među zadatcima za pripremu državne mature iz fizike našao se i ovaj:

Ahil i kornjaca zadatak

Zadatak nije težak, dva jednolika pravocrtna gibanja. Od početka gibanja Ahila i kornjače do dostizanja prošlo je neko vrijeme t. Za to vrijeme su prešli putove:

skornjača = vkornjače · t,     sAhil = vAhil · t.

Ahil je prešao veći put, i to veći za njihovu međusobnu početnu udaljenost:

sAhil – skornjača =90 metara.

Slijedi

vkornjače · t  – vAhil · t = 90 metara

i kad se uvrste zadane brzine, dobije se da će Ahil će stići kornjaču za 10 sekundi; za to vrijeme će kornjača prijeći 1 m a Ahil 91 m. Grafički se to može prikazati ovako:

ahil i kornjaca 1

Naravno, tamo gdje se sijeku dva pravca, to je trenutak (na osi t) i mjesto (na osi x) dostizanja.

Što se tiče državne mature, to je točno rješenje, ono je jednoznačno, i tu nema ništa sporno. Ali, nije slučajno da su autori zadatka ovdje u glavne uloge postavili baš brzonogog Ahila i sporu kornjaču. Naime, to su glavni likovi jednog od slavnih Zenonovih paradoksa. (Paradoks čine iskazi koji su po svemu sudeći istiniti, ali međusobno proturječe). Zenon ovako nekako razmišlja:

Da bi Ahil stigao kornjaču, najprije mora doći do točke gdje je kornjača bila u trenutku kad je Ahil krenuo – nazovimo tu točku K1. Ahil je brzonog, pa će za kratko vrijeme prijeći tu udaljenost. No, u međuvremenu se kornjača pomaknula. Kornjača je spora pa nije mogla otići jako daleko – nazovimo tu točku K2. U svakom slučaju, Ahil sada (da bi stigao kornjaču) mora doći do dočke K2. No, dok Ahil dođe do točke K2, kornjača se pomaknula do neke točke K3, itd. Ahil svaki put (prije nego sustigne kornjaču) mora doći do mjesta gdje je kornjača prethodno bila, a kornjača će se svaki put u međuvremenu pomaknuti. Stoga Ahil nikad neće stići kornjaču.

Je li moguće naći grešku u Zenonovom razmatranju? Ja ne vidim grešku. Pa ipak, znamo (kao što je znao i Zenon) da Ahil hoće stići kornjaču. Dakle, imamo dva međusobno proturječna rezultata (”stići će ju za 10 s” i ”neće ju nikad stići”), bez da možemo pronaći pogrešku – to čini paradoks.

Ako se vratimo na naš maturalni zadatak, možemo ovaj problem prikazati i brojčano. Dok Ahil prijeđe 90 metara da bi došao do mjesta gdje je kornjača bila na početku, kornjača će se pomaknuti za 90/91 metara.

ahil i kornjaca 2

Dok Ahil prijeđe tih 90/91 metara, kornjača će se pomaknuti za 90/912 = 90/8281 metara. Zumirajmo na grafu dio nakon K1 – dakle, graf ne započinje od 0, nego od K1 i trenutka kad je Ahil stigao do K1 (kornjača je već stigla u K2).

ahil i kornjaca 3

Dok Ahil prijeđe tih 90/8281 metara kornjača će se pomaknuti za 90/913 = 90/753571 metara, itd. Zumirajmo na grafu dio nakon K2 – graf sad započinje od K2 i trenutka kad je Ahil stigao u K2 (kornjača je već stigla do K3).

ahil i kornjaca 4

Mogli bismo ponavljati te slike s početkom u K3, K4, K5, …, neograničeno, bez da ikad dođemo do točke susreta. Kad Ahil stigne do Kn kornjača je uvijek već u Kn+1. Očito je da se ta udaljenost (koju prijeđe kornjača dok Ahil stigne na mjesto gdje je ona maloprije bila) svaki put smanjuje za 91 puta, pa će nakon n ovakvih približavanja biti 90/91n . Ali, nakon koliko će puta udaljenost biti nula? Nikad.

Zamislimo da gledamo snimku te utrke snimljenu beskrajno sofisticiranom opremom. U trenutku kad Ahil prijeđe 90 metara, a kornjača se pomakne u točku K2, snimka se na čas zaustavi. Potom se snimka nastavi dok Ahil ne dođe u točku K2, a kornjača se pomakne u K3. Itd. Kad ćemo vidjeti da Ahil dostiže kornjaču? Nikad.

Ali, ako pustimo snimku da se odvija bez prekidanja, vidjet ćemo da Ahil dostiže kornjaču za 10 s.

Što mislite, u čemu je stvar? Zašto (naizgled?) ispravnim razmišljanjem dolazimo do očito pogrešnog rezultata, da Ahil neće stići kornjaču?