1.1. Mora li zbroj beskonačno mnogo članova imati beskonačan iznos?

Zenon kaže (1.) da je Ahilu potrebno beskonačno mnogo ”koraka”, što podrazumijeva (2.) da mu za njih treba beskonačno mnogo vremena. Slijedi li nužno (2.) iz (1.)? Je li moguće da mu je za beskonačno mnogo ”koraka” dovoljno konačno mnogo vremena?

Komentator na Ahilu i kornjači, pod nadimkom Kairos, kaže:

Ovo je problem zbrajanja beskonačne serije … Ovo je matematički način rješavanja ovakvih paradoksa gdje se zbrajaju sve manji dijelovi beskonačno mnogo puta.

Dakle, izgleda da nam treba neko znanje iz matematike. U hrvatskom je u ovome matematičkom značenju za englesko series uobičajena riječ ”red”. Zbroj beskonačnog reda se uči iz matematike u 4. razredu, pa ga velika većina čitatelja još nije učila. Ovdje ću pojednostavljeno objasniti one zamisli koje su nam (možda?) potrebne za pitanje o Ahilu i kornjači. Naravno, iz matematike ćete redove učiti na pravi, strogi način.

Mora li zbroj beskonačno mnogo članova biti beskonačan?

Recimo zbroj 1 + 1 + 1 + … očito ide u beskonačno. Isto tako i zbroj 1 + 2 + 4 + 8 +… Vrijedi li to za svaki zbroj beskonačno mnogo članova? Znalaoc kaže:

… ako počnemo dijeliti tu duljinu na sve manje dijelove dođemo do zaključka da je taj prostor beskonačno djeljiv, znači beskonačan je…

Dakle, ako neka duljina ima beskonačno mnogo dijelova, onda je beskonačna? Ili nije? Kairos naglašava da ”se zbrajaju sve manji dijelovi”. Na primjer, je li ovaj zbroj beskonačan?

beskonacni red

Ne! Slika dovoljno govori:

infinite-series-square

Površina gornjeg lika očito nije beskonačna, mada ima beskonačno mnogo dijelova. beskonacni redima beskonačno mnogo članova, ali, budući da su ti članovi sve manji i manji, suma je konačna. U ovom slučaju, kao što se vidi iz slike, iznos sume je 1.

(Ili je ipak malo manji od 1? 😉 )

Evo još jednog primjera:

beskonacni red1

Dokaz:

220px-GeometricSquares_svg

Budući da površina gornjeg kvadrata očito nije beskonačna, jasno je da je suma konačan broj, bez obzira što je članova beskonačno mnogo. Vidite li iz slike da je ta suma 1/3? (Ili je stalno sve manje, ali uvijek još malo, malo, malo,… manja od 1/3? ;))

Dakle, moguće je zbrojiti beskonačno mnogo (sve manjih!) dijelova i dobiti konačan broj.

Sad, neki kažu da je se zbroj beskonacni reduvijek sve više približava iznosu 1, ali da nikad nije 1! Sigurno je da taj zbroj nije veći od 1 (svakako nije beskonačan). Ali je li 1 ili je malo manji od 1? Svaki novi pravokutnikić na ovoj slici približava površinu iznosu 1, ali nakon koliko pravokutnika će ona zapravo biti 1?

infinite-series-square

Da bi površina bila upravo 1, a ne skoro 1, potrebno je dodati beskonačno mnogo pravokutnikića. Što vi mislite, je li OK reći: jasno se vidi da na kraju suma mora biti 1, ili ipak treba cjepidlačiti s time da nema kraja nego se površina uvijek samo približava 1?

I, glavno pitanje: rješava li ovo Ahila i kornjaču?

Ako zbrojimo sve manja vremena t1 + t2 + t3 +… dobijemo li konačan ili beskonačan rezultat? Ako je konačan, što mislite je li taj rezultat jednak rezultatu kojega dobijemo ispravnim fizikalnim računom? Ako nije jednak, je li puno veći ili malo manji od fizikalno ispravnoga?

hnjo kaže:

mislim da je problem u tome što ovim načinom se vrijeme sve više smanjuje, i kad zbrojimo sve t-ove (beskonačno ih je) nikad nećemo dobiti ono vrijeme u kojemu će se oni susresti, a to je 10 sekundi

Što vi kažete? 🙂


Dodatak: Možemo izvesti formulu za računanje sume beskonačnog reda, kad su članovi po iznosu manji od 1. Općenito, suma 1 + x + x2 + x3 + … ima konačan rezultat ako je iznos x manji od 1. (Vidjeli smo da je npr. za vrijednosti x =1 ili x =2 ta suma beskonačna.) Kolika je ta suma? Recimo da je S. Dakle,

S = 1 + x + x2 + x3 + …

Sad pomnožimo obje strane jednakosti sa x.

S∙x = x + x2 + x3 + x4 + …

S desne strane to je isti izraz kao i ranije, samo bez 1! (Je li? 😉 ) Dakle

S = S∙x + 1

SS∙x = 1

S∙(1-x) = 1

i na kraju

suma geometrijskog reda.

(Dobijemo li za vrijednosti x = 1/2 i za x = 1/4 pomoću gornje formule iste rezultate kao što smo ranije dobili pomoću slika? Možemo li ovu formulu primijeniti na problem Ahila i kornjače?)

8 misli o “1.1. Mora li zbroj beskonačno mnogo članova imati beskonačan iznos?

  1. u pravu ste profesore,suma beskonacno mnogo tih dijelova se zna i moze se izracunati,sto znaci da ahil moze prijeci 10 metara i 20 i 30 ,e ali ne znam bas je li to potpuno odgovara na ptanje hoce li ahil ikako stici kornjacu. ne mogu u potpunosti odgovoriti na to pitanje,ali mislim da se rezultat na ovaj nacin ne bi trebao razlikovati od fizikalnog nacina nacina ,jer znamo da je ova matematika geometrijskog redaopcenito tocna ali isto tako znamo da je tocno da je v=s/t i slicno,a kad bi pokazali drugacije rezultate to bi znacilo da je jedna od ovih teorija kriva a znamo da nije nego da su obe tocne

    Pozdrav!

    1. Petica iz zalaganja (ako je hoće) onome tko napiše dokaz da se pomoću gornje formule za sumu beskonačnog reda u slučaju Ahila i kornjače dobije točno isti rezultat kao kod fizikalnog rješenja iz prošlog zadatka.

  2. Ukupan put S koji Ahil prođe prije no što stigne kornjaču je jednak S=90 + 90/91+90/(91**2)+90/(91**3)… Tj. S=90(1+1/91+1/(91**2)+1/(91**3)…) Na sve ovo u zagradi možemo primijeniti formulu za sumu beskonačnog reda. Recimo da je ta suma jednaka S2.
    S2=1/(1-1/91)
    S2=1/(90/91)
    S2=91/90
    pa je S=S2*90=90*(91/90)=91
    tj. Ahil će stići kornjaču nakon što prijeđe 91 metar.

    1. Može. 🙂 Šaljem e-mail.

      Evo i s općim brojevima. Ako je početna udaljenost od Ahila do kornjače (K1) bila d, onda je vrijeme za koje Ahil stigne do K1 a kornjača do K2 jednako t1=d/v(Ahil). Za to vrijeme kornjača prijeđe put od K1 do K2 koji iznosi s1=v(korni)*t1=d*v(korni)/v(Ahil).

      Vrijeme potrebno da Ahil stigne od K1 do K2, a istodobno da kornjača stigne od K2 do K3 je t2=s1/v(Ahil)=d*v(korni)/[v(Ahil)]^2. Put koji kornjača pri tom prijeđe je s2=v(korni)*t2= d*[v(korni)/v(Ahil)]^2.

      Itd.

      Ukupno vrijeme koje prođe dok Ahil sustigne kornjaču je
      t1 + t2 + t3 +… = d/v(Ahil) + v(korni)*d/(vAhil)^2 + d*[v(korni)]^2 /[v(Ahil)]^3 + … = d/v(Ahil) [1 + v(korni)/v(Ahil) + [v(korni)/v(Ahil)]^2 + [v(korni)/v(Ahil)]^ 3 + …]
      Član u zagradi ima oblik 1 + x + x^2 + x^3 + …, gdje je x = v(korni)/v(Ahil). Suma tog izraza je konačna ako je kornjačina brzina manja od Ahilove, i iznosi 1/(1 – v(korni)/v(Ahil) = v(Ahil)/[v(korni)-v(Ahil)].
      Vrijeme potrebno Ahilu da (u beskonačno mnogo koraka!) dostigne kornjaču je t1 + t2 + t3 +… = d/[v(korni)-v(Ahil)].

      Ali to je upravo fizikalno točan rezultat: vrijeme potrebno za dostizanje je međusobna udaljenost d kroz relativna brzina v(korni)-v(Ahil).

  3. Kod zbrajanja dva broja znamo što napraviti, imamo npr. postupak iz osnovne koji nam za bilo koja dva broja daju njihov zbroj.

    Kod zbrajanja n brojeva (x1 + x2 + … + xn), uzmemo prvi broj i na njega dodajemo sve preostale, ono što dobijemo na kraju zovemo zbrojem.

    Zbrajanje dva broja i zbrajanje n brojeva (za n > 2) nisu jedno te isto, ali se očito radi o vrlo sličnim radnjama, postupak za zbrajanje n brojeva je najprirodnije proširenje postupka zbrajanja za 2 broja, za situacije kad imamo više od 2 broja.

    Kod zbroja beskonačno mnogo brojeva, ne znamo što napraviti. Jer: ako uzmemo prvi broj i krenemo dodavati ostale, nikad nećemo stati.

    Zbog toga mi se čini da je zbrajanje beskonačno mnogo brojeva (sumiranje reda) nešto što je vrstom bitno različito od zbrajanja 2 (ili n) broja. Rekao bih da je sumiranje reda proces bez kraja. To tu operaciju bitno razlikuje od zbrajanja 2 (ili n) broja koja itekako ima kraj.

    To da sumiranje reda nema kraja povlači da možemo govoriti samo o tome u kakvom će stanju biti naša suma u budućnosti, ne i kakva će ta suma biti kad proces završi. Možemo reći primjerice: suma reda iz primjera na blogu nikad neće preći 2. Jer koliko god koraka pribrajanja izvršili, suma je manja od 2. Također možemo reći: za bilo koji broj manji od 2, nakon nekog će koraka suma preći taj broj – npr. 1.9 ćemo preći u 4. koraku (u prvom dodajemo 1/2 na 1, u drugom na to dodajemo 1/4, u trećem dodajemo 1/8, u četvrtom 1/16, i u tom je trenutku suma veća od 1.9)

    Upitno je jesu li te operacije doista bitno različite, tj. je li zbrajanje beskonačno mnogo brojeva doista bitno različito od zbrajanja konačno mnogo brojeva. Primjedba se na takvu podjelu svodi na pitanje iz naslova: kad sam rekao da se proces zbrajanja nikad neće završiti, pretpostavio sam da “zbroj” vremena koja su mi trebala za svaki pojedini korak nije konačan broj, tj. pretpostavio sam da je zbroj beskonačno mnogo članova (vremena trajanja svakog pribrajanja) beskonačan. Za današnja računala svakako vrijedi da za beskonačno mnogo ma kakvih koraka jest potrebno beskonačno mnogo vremena. No, ako to nije nužno tako (računala su ipak samo jedna implementacija numeričkih postupaka), odnosno ako je moguća situacija u kojoj je zbroj beskonačno mnogo brojeva konačan broj, onda se možda i sumiranje reda može obaviti u konačnom vremenu.

    Moje mišljenje je da je u redu pričati o konačnom sumiranju (beskonačnog) reda kao o jednoj matematičkoj zamisli, no koja je možda posve neprimjenjiva u stvarnosti. Slično kao npr. drugi korijen iz -1, koji se javlja kao gotovo neizostavan dio u nekim teorijama, no u svijetu vjerojatno niti jedna mjera nema iznos poput “3 imaginarne jedinice”.

    Ono o čemu prilično sigurno možemo pričati kao o dijelu stvarnosti je kakvo će biti stanje procesa u budućnosti, i u tom smislu kad lociramo broj kojeg suma neće preći, a svaki od njega manji preći, onda je opravdano “skraćeno” reći da je suma reda naprosto “jednaka” tom lociranom broju.

Komentiraj

Popunite niže tražene podatke ili kliknite na neku od ikona za prijavu:

WordPress.com Logo

Ovaj komentar pišete koristeći vaš WordPress.com račun. Odjava /  Izmijeni )

Google photo

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Google račun. Odjava /  Izmijeni )

Twitter picture

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Twitter račun. Odjava /  Izmijeni )

Facebook slika

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Facebook račun. Odjava /  Izmijeni )

Spajanje na %s