1.2. Do koliko znaš brojati (potencijalna beskonačnost)?

Kad dijete kaže  ”Ja znam brojati do deset. A ti?”, što ćete mu odgovoriti? Ako odgovorite ”do beskonačno” pod tim ne mislite da možete stvarno izbrojati do ∞, nego da uvijek možete nastaviti još i dalje brojati. Odnosno, mislite na potencijalnu beskonačnost, a ne na ostvarenu (”aktualnu”) beskonačnost.

Što to znači? Riječ ”potencijalno” znači ”moguće”, a ”potencijalna beskonačnost” znači mogućnost da se nešto uvijek još i dalje poveća. Zbroj 1 + 1 +  1 +… po tom gledištu nije jednak ∞ i gotovo, kao da bi ∞ bio neki rezultat poput drugih. Rezultat znači nešto gotovo, dovršeno, a zbroj 1 + 1 +  1 +…  nikad nije dovršen. Zato je, prema tom gledištu, taj zbroj samo potencijalno beskonačan, jer se uvijek može još povećati, pa nije konačan, nije ograničen nego je bez-konačan, ne-ograničen. Od Aristotela (4. st. pr. Kr.) pa do 19. stoljeća većina je matematičara smatrala da beskonačnost treba shvatiti isključivo kao potencijalnu.

Što je sa zbrojem 1/2 + 1/4 + 1/8 +… ? Vidjeli smo kako slika sugerira da taj zbroj beskonačno mnogo članova ima konačan rezultat, i to 1.

infinite-series-square

Ipak, upitajmo se još jednom: koliko pravokutnikića moramo dodati da površina doista bude 1? Odgovor je: beskonačno mnogo. Možemo li dodati beskonačno mnogo (sve manjih) pravokutnika? Naravno, možemo reći ”očito je da na kraju ta površina mora biti 1”. Ali, ima li kraja, ako se radi o beskonačno (bez-krajno) mnogo članova?

Jesmo li dobili konačni rezultat zbroja beskonačno mnogo brojeva, ili smo dobili broj kojemu se svakim novim članom potencijalno približavamo ali ga nikad ne dostižemo?

Naš bivši učenik od prije par generacija, Luka M., zastupao ovo drugo gledište u komentaru:

Kod zbrajanja n brojeva (x1 + x2 + … + xn), uzmemo prvi broj i na njega dodajemo sve preostale, ono što dobijemo na kraju zovemo zbrojem. …

Kod zbroja beskonačno mnogo brojeva, ne znamo što napraviti. Jer: ako uzmemo prvi broj i krenemo dodavati ostale, nikad nećemo stati.

Zbog toga mi se čini da je zbrajanje beskonačno mnogo brojeva (sumiranje reda) nešto što je vrstom bitno različito od zbrajanja 2 (ili n) broja. Rekao bih da je sumiranje reda proces bez kraja. To tu operaciju bitno razlikuje od zbrajanja 2 (ili n) broja koja itekako ima kraj.

Ako mi ne možemo, može li računalo stvarno (a ne samo potencijalno) izbrojati do ∞?

Za današnja računala svakako vrijedi da za beskonačno mnogo ma kakvih koraka jest potrebno beskonačno mnogo vremena.

Aristotel je iskoristio zamisao o potencijalnoj beskonačnosti da riješi još jedan Zenonov paradoks (uz ”Ahila i kornjaču”) nazvan ”Dihotomija” (već smo ga spominjali u komentarima). Najprije paradoks:

Neko tijelo, da bi prešlo neki cijeli put mora prvo prijeći polovicu, zatim četvrtinu, pa osminu i tako neograničeno dalje… Dakle, opet imamo naš zbroj beskonačno mnogo članova 1/2 + 1/4 + 1/8 +… Od trkača bi se moglo tražiti, kaže Zenon, da broji svaki od tih koraka. No, to bi značilo da  ”kad je prijeđena cijela crta, izlazi da je izbrojen neograničen broj (∞), što je … nemoguće”.

Kako je Aristotel odgovorio na taj Zenonov izazov?

Aristotel kaže da ne postoji već beskonačno mnogo dijelova dužine, nego je dužina tek potencijalno uvijek još djeljiva. Neograničena podijeljenost vremena i prostora u Zenonovim dokazima nije nešto što je stvarno već sprovedeno, ostvareno, niti pak može biti ostvareno. Prostor i vrijeme mogu se dijeliti neograničeno, ali ti dijelovi prostora i vremena nastaju tek kao rezultat samoga dijeljenja. Prije dijeljenja prostor i vrijeme nemaju dijelove.

Stoga Aristotel zaključuje kako je moguće udaljenost od Ahila do kornjače dijeliti u beskraj (potencijalno), ali to ne znači da onaj tko prelazi tu udaljenost prelazi ∞ mnogo dijelova. Dijelovi nastaju tek kad netko dijeli tu udaljenost. Da bi netko imao problem kako prijeći udaljenost koja ima ∞ mnogo dijelova, najprije bi netko trebao podijeliti tu udaljenost na ∞ mnogo dijelova. Inače se ta udaljenost može prijeći, dakako, ako se jednostavno krene i ne stane.

Dodatak:

Isti rezultat sume beskonačnog reda kao i gornja slika daje formula za sumu beskonačnog reda koju smo izveli u prošlome zapisu. Ali, uz taj se izvod također može staviti jedan upitnik. Postupak izvođenja išao je ovako:

S = 1 + x + x2 + x3 + …

Sad pomnožimo obje strane jednakosti sa x.

S∙x = x + x2 + x3 + x4 + …

S desne strane to je isti izraz kao i ranije, samo bez 1! (Je li? 😉 )

Doista, je li? Recimo da se ne radi o beskonačnom redu, nego nekom konačnom, sa n članova.

S = 1 + x + x2 + x3 + … + xn.

Sad pomnožimo obje strane jednakosti sa x.

S∙x = x + x2 + x3 + x4 + …+ xn + xn+1

Ako oduzmemo te dvije jednakosti dobijemo S – S∙x = 1- xn+1. To vrijedi za bilo koji n, s time da ovaj član xn+1 postaje sve manji i manji kako n ide u beskonačnost (jer je iznos x manji od 1). Kad taj član postane 0 tad dobijemo onu formulu za sumu beskonačnog reda. Ali, kada taj član postaje nula? Tek kad n=∞, odnosno, gledano sa stajališta potencijalne beskonačnosti, nikad!

6 misli o “1.2. Do koliko znaš brojati (potencijalna beskonačnost)?

  1. jasno je da se nista beskonacno ne moze dogoditi u konacnim okvirima ,ali zato u matematici uvodimo pojmove kao “teži u ” ili “priblizava se” . Najveci misterij u matematici je beskonacnost jer se ona ne moze definirati niti objasniti na neki prihvatljiv nacin. Steta 😀

  2. 1)Nikad nebi mogli brojati do beskonacno, beskonačnost se smatra apstraktnim konceptom…jer uvijek postoji broj veci od prethodnog, brojevi nisu ograniceni.Kad bi osoba A pocela brojati od 0, a osoba B od nekog veceg broja- osoba B nije bliza beskonacnosti jer to nije granica nego pojam bezgranicnosti i nikad necemo biti blize beskonacnosti jer nemozemo se pribliziti necemu sto ne postoji, brojevi nemaju kraj i zato su nam omogucili svijet kakav danas imamo.
    2)Također je na 2. pitanje dan odgovor. Stroj, racunalo, covjek ili pak skupina ljudi nije u mogucnosti niti ce ikad biti ostvariti neostvarivo; dobiti taj konacni broj tzv. izbrojati do ∞. Mislim da brojanje do beskonacnosti zauzima zadnje mjesto na popisu vjerojatnosti dogadaja, jednostavno je nemoguce. I da se dogodi sve na svijetu sto se moze i nemoze dogoditi nebi se nikad dogodio broj beskonacnosti nego eto imamo taj znak koji opisuje taj pojam- ∞.
    3)Pa Zenon je postavio teoriju da Ahilej nikad nece prestici kornjacu, zapravo se radi o paradoksu jer tvrdnja da nikad nece prestici i da ce prestici kornjacu su istinite jer nema greske u tvrdnji.
    Svi znamo da je kornjaca sporija od Ahileja, ali dajmo kornjaci zato prednost…Utrka pocinje i oboje su krenuli. Ahilej trci za kornjacom da je prestigne i dolazi do mjesta gdje je bila kad je tek krenila, za to se vrijeme kornjaca pomakla, Ahilej tako opet dolazi do mjesta gdje je kornjaca prethodno bila, ali opet za to vrijeme kornjaca se pomakla ispred, i tako svaki put Ahilej dolazi na prethodno mjesto kornjace a kornjaca se pomakne za neku duljinu naprijed naprijed. Sto se događa? Tu se opet javlja beskonacnost jer taj put koji kornjaca prijede, paralelno sa Ahilejovim dolaskom do kornjacinog prethodnog mjesta, postaje sve kraci i kraci. Jer je broj u nedogled djeljiv.
    Krajnji zakljucak je da sam ostao zbunjen jer covjek ce prestici kornjacu u stvarnosti, ali to znaci da ce taj iznos puta u jednom trenutku iznositi 0, sto tada znaci da beskonacnost postoji, postoji ta granica. Beskonacnost je zapravo paradoks.

    1. kokzye, kažeš: “Stroj, racunalo, covjek ili pak skupina ljudi nije u mogucnosti niti ce ikad biti ostvariti neostvarivo; dobiti taj konacni broj tzv. izbrojati do ∞.”

      U matematici se ponekad koriste ideje za koje je upitno imaju li utemeljenja u stvarnom svijetu. Za primjer: U jednom matematičkom smislu, količina realnih brojeva koje možemo opisati (primjerice funkcijom u programskom jeziku DajDecimalu(n) koja izračunava i vraća n.-tu decimalu za proizvoljni n) je zanemariva. Također se može pokazati, racionalnih brojeva, te iracionalnih brojeva koje možemo opisati je neizmjerno manje od onih koje ne možemo opisati (sve racionalne brojeve možemo opisati, i mali dio iracionalnih, no i to dvoje zajedno je obujmom potpuno zanemarivo u usporedbi s divovskim skupom neopisivih brojeva). Mi iz određenih teorijskih razloga moramo tvrditi da ti vrlo bizarni i bar na prvi pogled neuvjerljivi entiteti (“neopisivi brojevi”) postoje ukoliko se želimo ugodno koristiti simpatičnijim iracionalnim brojevima poput PI ili korijena iz 2, i zbog tog ugodnog korištenja oni su gotovo neupitno prihvaćeni kao matematički alat. No to nas ne bi trebalo čvrsto uvjeriti da ti entiteti doista imaju veze sa stvarnošću.

      Imajući skeptičnost spram opravdanosti primjene matematičkih modela na umu, postoje matematički modeli strojeva (super-strojevi) koji izvode neke tipove beskonačnih vratolomija, brojanje do beskonačnosti je jedna od njih. Nije posve za odbaciti ideja da se nama, vrlo konačnim bićima, (aktualno) beskonačno čini nedostižno samo zato što smo konačni. (Jasno, nije za odbaciti ni ideja da aktualno-beskonačnog nema niti može biti.) Ono što je zanimljivo je da se čini da ako ima smisla pričati o aktualnoj beskonačnosti i ako postoje bića koja barataju super-strojevima, onda možemo bar donekle zaviriti u njihove misli već i našim konačnim modelima.

  3. po Zenonovom paradoxu i beskonacnost je paradoks.Jer brojit nemozemo do beskonacnosti, nema granice…U Zenonovom paradoksu put, izmedu kornjace i Ahileja, postaje sve kraci i kraci, mozemo kratiti u nedogled, ali u stvarnosti bi ahilej prestigao kornjacu sto znaci da bi put, udaljenost, izmedu njih dvoje iznosio “0”. To je istinita tvrdnja koja također ukazuje da postoji granica tog beskonacnog djeljenja ili kracenja u nedogled. zakljucak: Beskonacnost je paradox jer postoji 2 tvrdnje koje se protuslove a nijedna nema greske.

  4. Zbrajanje beskonacnih nizova koristenjem precalculus algebre moze krenuti u potpunosti pogresnom smjeru.

    Stvar je u tome sto je operacija zbrajanja definirana samo na konacno mnogo argumenata, te se pri vise od konacno mnogo njih javljaju problemi, jer tada svojstvo asocijativnosti zbrajanja daje kontradiktorne rezultate.

    Uzmimo samo jednostavan primjer:

    (1 + 2 + …) – (1 + 2 + …) = (1 – 1) + (2 – 2) + (3 – 3) + … = 0

    Tu smo koristili simetriju oko 0. Medjutim, evo kakav se kaos desava ako samo malo drugacije zbrajamo clanove prve i druge zagrade:

    (1 + 2 + 3 +…) – (0 + 1 + 2 + …) = (1 – 0) + (2 – 1) + (3 – 2) + … = 1 + 1 + 1 + … = infinity

    Evo jos cudniji primjer: http://en.wikipedia.org/wiki/1_%E2%88%92_2_%2B_3_%E2%88%92_4_%2B_%C2%B7_%C2%B7_%C2%B7

Komentiraj

Popunite niže tražene podatke ili kliknite na neku od ikona za prijavu:

WordPress.com Logo

Ovaj komentar pišete koristeći vaš WordPress.com račun. Odjava /  Izmijeni )

Google photo

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Google račun. Odjava /  Izmijeni )

Twitter picture

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Twitter račun. Odjava /  Izmijeni )

Facebook slika

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Facebook račun. Odjava /  Izmijeni )

Spajanje na %s