1.3. Sastoji li se dužina od točaka?

Sastoji li se dužina od točaka?

”Dužina je skup točaka pravca, a sastoji se od dviju zadanih točaka A i B pravca i svih točaka pravca koje su između njih. Točke A i B su krajnje točke te dužine.” (link)

Ali, ako se dužina sastoji od točaka, a točka nema nikakvu duljinu, otkud dužini duljina?

Zenonov najdublji paradoks je u osnovi geometrijski. On zapravo pita imaju li krajnji sastojci neke dužine – dakle točke – duljinu različitu od nula, ili im
je duljina stvarno nula. Dužina je očigledno beskonačno djeljiva; dakle ima beskonačno mnogo krajnjih sastojaka. Ako imaju bilo koju duljinu veću od nula, tad, suprotno našoj pretpostavci, duljina dužine mora biti beskonačna. Bilo koji niz koji se sastoji od pozitivnih veličina jednakog iznosa ima beskonačnu sumu. No, ako je pak duljina doslovno nula, tad će, suprotno našoj pretpostavci, duljina segmenta biti nula.

Ovdje ne pomaže nikakvo sumiranje beskonačnog reda, jer se ne zbrajaju sve manji dijelovi, nego uvijek jednaki dijelovi, kao u 1 + 1 + 1 + 1+…

Za Aristotela, problema nema. Točka je granica dužine. Dužina ima točno dvije točke, A i B.

dužina AB

Naravno, moguće je (”potencijalno”) načiniti još bilo koliko točaka na toj dužini. Dužina se može dijeliti na potencijalno beskonačno mnogo manjih dužina (AA1, A1A2, A2A3, …, AnB) i tako načiniti beskonačno mnogo točaka na dužini.

duzina AB

Ali, to ne znači da se dužina već (”aktualno”) sastoji od beskonačno mnogo dijelova. Dužina se, naprosto, ne sastoji od dijelova, mada se može podijeliti na dijelove. Kao što se stablo nije sastojalo od cjepanica, mada je moglo biti podijeljeno na cjepanice.

Ipak, to gledište može biti problematično. Promotrimo neku dužinu na brojevnom pravcu, npr. s rubnim točkama 3 i 4.

brojevni pravac

Koliko ima realnih brojeva između 3 i 4? Beskonačno mnogo. Znači li to da na brojevnom pravcu već ima (”aktualno”) beskonačno mnogo točaka između 3 i 4? Jesu li one već tamo (”aktualno”), ili ih mi tek možemo (”potencijalno”) tamo dodati?

Dakle, ima li već (”aktualno”) beskonačno mnogo točaka na nekoj dužini (bila ona AB ili 34)? Ili točke dospijevaju na dužinu tek tako da tu dužinu dijelimo, što možemo činiti (”potencijalno”) u beskraj?

Ako ih već ima (”aktualno”) beskonačno mnogo, sastoji li se dužina od točaka? Je li dužina skup točaka i ništa osim toga? Ali otkud joj onda duljina?

12 misli o “1.3. Sastoji li se dužina od točaka?

  1. Mislim da ovaj komentar nece puno pomoci u matematickom smislu, ali nema veze.
    Pravac je duzina u nekoj ravnini. Pri crtanju duzine mi je crtamo na nekoj ravnini koja se sastoji od atoma i molekula.

    1. Nisam uspio do kraja napisat. Heh.
      Time se onda i duzina mora sastojati od atoma te bi mogli gledati atome kao tocke te duzine. Sve sto mi znamo se sastoji od ogranicenog broja atoma i cestica i time bi pravac trebao imati ogranicen broj tocaka. Barem u praksi.

      1. Zanimljiva zamisao. Onda bi dužina imala ne samo duljinu nego i debljinu i volumen, pa čak i masu. Dužine jednake duljine mogle bi imati različite mase, ako su od različitih materijala. 😀 Mislim da matematičari ne bi bili sretni s tom zamisli da dužina ima volumen i oplošje.

        Postoji li dužina koja spaja neku točku u našoj i neku točku u drugoj galaksiji? Čak i ako u dijelu prostora između gustoća tvari pada na npr. par atoma u metru kubnom? Čini mi se da ne moramo fizički nacrtati dužinu da bi ona postojala.

        Problem bi mogao biti i brojevni pravac na kome (valjda?) ne bi bilo moguće nacrtati iracionalne brojeve, npr. korijen iz dva, jer bi takav broj pao negdje između atoma.

  2. duzina kao takva ne postoji,kao sto ne postoji ni krug ni trokut ni kvadrat … oni su samo misaona predodzba necega sto vidimo u prirodi,odnosno priroda je materijalno ostvarenje onoga sto zamisljamo kao trokut,krug i slicno. kao sto ni tocka zapravo ne postoji u stvarnosti tako ne postoji ni duzina vec samo taj pojam duzine uzimamo kako bi nam pomogao u opisivanju nekih stvari i pojava. ali zato postoji udaljenost,a da bi lakse definirali tu udaljenost stvorili smo tocke kao krajnje tocke neke udaljenosti i rekli da izmedu mozemo izabrati beskonacno mnogo tocaka ako nam je potrebno i svakoj tocki pridodati neko obiljezje,npr poziciju u koordinatnom sustavu i slicno. tocke same po sebi ne postoje,vec postoje samo kad im mi damo odredene osobine ,kao sto je polozaj

  3. Nema več (”aktualno”) beskonaćno mnogo toćaka na nekoj dužini (bila ona AB ili 34). Toćke dospijevaju na dužinu tek tako da tu dužinu dijelimo, što možemo ćiniti (”potencijalno”) beskonaćno.

  4. Mislim da dužinu treba percipirati kao konkretnu stvar. Pretpostavka da je dužina projekcija naših misli je pobijena samom činjenicom da ona može biti definirana tragom grafita na papiru. To bi značilo da ona stvarno postoji. Svaki dio te grafitne linije je stvaran.
    Dužina je tada zaista neka duljina koja je ograničena dvjema krajnjim točkama. Pri shvaćanju te dužine potrebno je ograničiti se samo na jednu dimenziju koju ta dužina predstavlja. Ograničeno jednodimenzionalno područje između krajnjih točaka može se podijeliti na određeni broj dijelova. Ako su ti dijelovi definirani kao točke, nužno je da te točke imaju neku svoju duljinu kako bi dužina uopće postojala. U protivnome bi duljina dužine bila nula jer je zbroj n pribrojnika jednakih nuli uvijek nula. Dakle, dužina se tako može podijeliti i na beskonačno mnogo točaka, ali moramo uzeti u obzir da će se daljnjim dijeljenjem i smanjivati duljina samih točaka. Zbog toga će i svaka točka imati manju ulogu u konačnoj sumi duljine.
    Ako zamislimo da je neka dužina suma i da su točke pribrojnici, možemo povećavati broj pribrojnika smanjivanjem njihove vrijednosti. Teoretski je to moguće napraviti beskonačan broj puta. Glavni zaključak se može izvući iz činjenice da neka konačna duljina dužine može biti sastavljena od beskonačno mnogo segmenata iliti točaka.

    1. Doppler,uz duzno postovanje,nisi u pravu. to sto olovka ostavlja trag na papiru nije nikakav dokaz, to je samo interpretacija duzine jer nemamo drugog nacina da ju prikazemo ,trag olovke na papiru je nekakav pravokutnik a ne duzina ,duzina sama po sebi ne postoji vec se mi koristimo duzinama kako bi mogli opisati sve sto nas okruzuje. one postoje samo u nasem umu kada zelimo nesto opisati, zapravo ne postoje ali bi bez njih opisivanje necega bilo jako tesko. duzine uzimamo samo kao krajnje linije nekog lika ili prostora. isto tako i tocke, one postoje samo kad im mi damo neka obiljezja kao npr polozaj u koordinatnom sustavu inace tocka sama po sebi ne postoji kao ni duzina. trokut se sastoji od duzina pa ni on ne postoji , postoji samo ideja trokuta koju mi mozemo vidjeti recimo kao jednu stranicu piramide, ali ne mozemo od te piramide odvojiti trokut jer on ne postoji,nema dimenzije. ako ti mislis da duzina i trokut postoje daj mi ih donesi da ih vidim 😉

      Pozdrav! 😀

      1. Upravo je to dio problema shvaćanja jednodimenzionalnih veličina. Ništa u praksi što možemo vidjeti golim okom nije jednodimenzionalno, ali je potrebno ograničiti se na jednu dimenziju kako bi ta podjela uopće imala smisla. Isto tako ne mora biti stvarno sve ono što se može uzeti u ruke. Pogledamo li na dužinu iz drukčije perspektive, vidjet ćemo da je ona prisutna u mnogim tijelima i kao jedna od glavnih sastavnica ima ulogu u sačinjavanju dotičnih tijela.

      2. Aristotel je govorio da je crta (jednodimenzionalna) granica površina (dvodimenzionalnih). Zamisli dvije površine, crnu i bijelu. Granica između tih dviju površina je jednodimenzionalna crta (nema debljinu, ne može se reći da je crna ili da je bijela).

  5. Aristotel je u pravu. duzina kao takva ne postoji samo ju mozemo uzeti kao neku granicu, zamisljenu liniju. recimo da otac ima polje i da uzme zrakoplovni snimak polja. i sad kako da podijeli na tocno dva dijela da svaki sin dobije jednako ? pa jednostavno ce zamisliti neku liniju na sredini polja ,koja nema debljinu, ne postoji u svijetu kakav znamo, ali ce ju on za svoje potrebe zamisliti i reći : “evo tu je granica gdje se dodiruju vaši dijelovi i ta granica je takva da nikome nista ne oduzima niti dodaje vec cete obojica imati jednako ” i stvar rjesena

    1. Teško je pitanje u kolikoj mjeri su matematičke stvari nešto što ”mi zamišljamo za svoje potrebe”, a koliko su neovisne o nama.

      Uzmimo slavni primjer kad je krajem 19. stoljeća nekakav parlament u američkoj saveznoj državi Indiani donio zakon da je iznos broja π kad se računa površina kruga 3.2. (Vidi link.) Naravno, to nam je smiješno. Zašto nam je smiješno? Možda je ”za njihove potrebe” sasvim najbolje da je π=3.2 jer je to približno točno a nije komplicirano za računati (to je doba prije elektronskih računala). Ipak, znamo da iznos broja π ne ovisi o volji parlamentaraca u nekoj američkoj zabiti, i smiješno je kad oni misle da je to stvar o kojoj bismo se moglo odlučiti većinom glasova. Dakle, matematika se baš ne prilagođava našim potrebama, nego je nekako neovisna o njima.

      Usporedimo to sa predstojećim referendumom. Većina ljudi smatra da se možemo dogovoriti o tome što je brak. O tome možemo odlučiti na referendumu. (Neki ipak misle da ne možemo, da je to što je brak stvar Božjeg zakona, ili ljudskih prava, pa ne ovisi o našim dogovorima. Ipak mislim da su oni manjina, da većina smatra da možemo ”za svoje potrebe” odlučiti da je brak jedno ili drugo.) No, ne bismo mogli na referendumu odlučiti da je π=3.2, to nije stvar dogovora, to je na neki način neovisno o ”našim potrebama”.

      Sasvim je smisleno reći ”otkrio sam koja je milijunta znamenka broja π”, a vjerojatno bi većini bilo čudno reći ”otkrio sam što je brak”. Obrnuto, čini mi se da nema smisla reći da smo se dogovorili oko toga koja će biti milijunta znamenka broja π, a da ima smisla reći da smo se dogovorili oko toga što je to brak. Većina matematičara ima osjećaj da ”otkriva” nešto, a ne da izmišlja nešto, ili da se dogovara oko nečega.

      Ukratko, matematički pojmovi na neki način ne ovise o našim potrebama (za razliku od nekih drugih apstraktnih pojmova, poput pojma ”brak”).

      1. pa i ne ovise o nasim potrebama. oni postoje tu kakvi jesu,u teoriji,ali ih mi za potrebe problema ili zadataka mozemo uzeti u bilo kojem obliku koji ne odstupa od matematicke ideje . matematika je znanost koja ne ovisi o nama vec je sama sebi dovoljna. matematika je sama po sebi apstraktna znanost,ona nema veze sa stvarnim svijetom. to je druga stvar sto mi matematicke alate koristimo u fizici,kemiji i bilo kojem problemu na koji naidemo u prirodi. ali to su sve primjene matematike. matematika sama po sebi nema primjeni nego je teorijska,bavi se teorijama,hipotezama itd

Komentiraj

Popunite niže tražene podatke ili kliknite na neku od ikona za prijavu:

WordPress.com Logo

Ovaj komentar pišete koristeći vaš WordPress.com račun. Odjava /  Izmijeni )

Google photo

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Google račun. Odjava /  Izmijeni )

Twitter picture

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Twitter račun. Odjava /  Izmijeni )

Facebook slika

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Facebook račun. Odjava /  Izmijeni )

Spajanje na %s