1.4. Je li 0.999… = 1?

Znamo da je 1/3 = 0.333… Pomnožimo li obje strane s 3 dobijemo (1/3) * 3 = (0.333…) * 3, drugim riječima 1 = 0.999…

Brojevi koji se javljaju u gornjem dokazu su racionalni brojevi. To su brojevi koji su dobivaju dijeljenjem cijelog broja s prirodnim brojem. Uvijek ih možemo zapisati s konačno mnogo decimala, jer ako ih i nemaju konačno mnogo, ponavljajući se dio decimala može označiti točkicama – npr. 0.123123123… možemo zapisati kao 0.123 s točkicama iznad 1 i 3.

Kako je moguće da su dva različita broja (0.999… i 1) isti broj? Treba razlikovati brojeve i zapise brojeva. Koliko je ljudi u učionici ili koliko je minuta preostalo do kraja sata – u tim pitanjima nas zanimaju brojevi. Što se nalazi ispred upitnika u nazivu ovog posta? Odgovor će govoriti o zapisu nekog broja (u nekoj drugoj kulturi jedinica ispred upitnika možda označava neku riječ).

Brojevi su, obično se vjeruje, nešto nedohvatljivo i apstraktno, dok su zapisi brojeva (poput položaja kazaljki na satu ili traga olovke na papiru) nešto vrlo konkretno i dohvatljivo.

Što decimale doista nama znače? Ako zapišemo racionalni broj u konačnom obliku (s točkicama) u praksi zamišljamo kako se te decimale ponavljaju i ponavljanju u beskonačnost. I taj beskonačni raspis interpretiramo na način da u glavi konstruiramo broj: uzmi cjelobrojni dio i potom za svaku decimalu nakon decimalne točke: uzmi tu decimalu, podijeli ju s 10 potenciran na redni broj decimale, dobiveno dodaj na rezultat.

terminologija brojeva

Ta je konstrukcija raspisanih zapisa (prelazak iz drugog u treće područje na slici) beskonačan proces. Uzmimo treći zapis sa slike. Uzimamo cjelobrojni dio (jedinicu) i potom za svaku decimalu u raspisanom zapisu (1, 2, 3, 2, 3, …) dodajemo redom 1/10, 2/100, 3/1000, 2/10000 itd. To je naša interpretacija beskonačnog raspisa, tako konstruiramo broj iz raspisanog zapisa.

Proces konstrukcije broja iz njegovog raspisanog zapisa moguće je promatrati kao sumiranje reda, gdje član (“pribrojnik”) reda izgleda ovako: (n-ta decimala ) / 10^n.

Mi doista na taj način razmišljamo o brojevima: uzimamo konačni zapis, u glavi ga “odmotavamo” i tako konstruiramo broj. Ako nema aktualne beskonačnosti, taj proces ne može imati kraja, odnosno broj nikad nije konstruiran. Ako nam zapis nekog broja nije u stanju reći koji broj zapisuje (jer je za dovršiti konstrukciju potrebno aktualno beskonačno mnogo koraka), ima li smisla govoriti da se radi o zapisu broja? Odustanemo li pak od (aktualno) beskonačno mnogo koraka i prekinemo postupak nakon konačno (ma koliko puno, ali konačno) mnogo koraka, konstrukcija broja iz zapisa 0.999… nas ne dovodi do 1.

4 misli o “1.4. Je li 0.999… = 1?

  1. Dokaz pomoću zbroja geometrijskog niza:

    9.999… = 9 * 1.111… = 9 * ( 1 + 1/10 + 1/100 + … ) = 9 * ( 1 + 1/10 + (1/10)^2 + (1/10)^3 + …) = 9 * (1/(1-1/10)) = 9*(10/9) = 10

    Jos jedna stvar koju je zgodno primijetiti jest da ne postoji pozitivan realan broj x za koji vrijedi:

    0.999… + x = 1

    Zasto? Koji kod x da uzmemo, mozemo uzeti dovoljno decimala 0.999… da lijeva strana bude veca od 1. Zato x mora biti 0, i onda je 0.999… = 1

    1. Uz tvoj prvi dokaz, ovdje je naravno diskutabilan prijelaz s 1.111… na geometrijski red u kojem se zbrajaju elementi oblika 1/10^n. Geometrijski red (danas formalno) promatramo kao nešto što ima sumu, kao što si i napisao, izračunljivu po formuli 1/(1 – 1/10). No, pitanje je odgovara li taj formalizam (suma geometrijskog reda) posve onom zapisu 1.111…

      Uz tvoj drugi dokaz (inače moj omiljen). Sam po sebi on pokazuje samo da “razlika” jedinice i 0.999… nije pozitivan realan broj. Ako zanemarimo standardna svojstva realnih brojeva (standardnu aksiomatizaciju koja osigurava smislenost nekih operacija nad realnim brojevima), imamo još barem dvije mogućnosti: tvrditi da je besmisleno pričati o “razlici” tih entiteta (ne da je ona jednaka nuli, već da je izraz “razlika 1 i 0.999…” poput izraza “okus brojeva”) ili tvrditi da njihova razlika nije uobičajen realni broj. Ono što želim reći: unutar uobičajenog okvira realnih brojeva (standardna aksiomatizacija) imamo dobre argumente za tvrdnju da je razlika 1 i 0.999… jednaka nuli, no taj okvir smo (1) doslovno izmislili, (2) mogući su alternativni i intuitivno podjednako uvjerljivi sustavi te (3) kad napišemo “1” i “0.999…” nismo se obvezali na to da pričamo o zapisima realnih brojeva jer s tim zapisima imamo iskustva i imali smo iskustva mnogo prije nego smo čuli za realne brojeve, pa je legitimno postaviti pitanje: imamo li pored konvencija koje su same sebi svrha tvrditi da ti zapisi predstavljaju isti entitet?

  2. 0.9999… je jednako 1,jer ako uzmemo 0.999999…=a i pomnozimo to s 2 dobit cemo 1.99999999….(a znamenka 8 koja bi se trebala pojaviti se nece nikad pojaviti zato jer s 9 ponavlja beskonacno puta)…Onda oduzmemo te dvije jednadzbe 1.9999…-0.9999…=2a-a i dobijemo a=1 ,sto znaci da je a=1=0.99999…

    1. Tu se oslanjaš na to da se standardni algoritam množenja – namijenjen konačnim zapisima – može prirodno prenijeti na situaciju kad imamo “beskonačne” zapise. Što funkcionira prilično dobro, no mislim da nije opravdano na temelju vjere u neprovjereno proširenje inače pouzdanog algoritma odlučivati o rubnim slučajevima.

Komentiraj

Popunite niže tražene podatke ili kliknite na neku od ikona za prijavu:

WordPress.com Logo

Ovaj komentar pišete koristeći vaš WordPress.com račun. Odjava /  Izmijeni )

Google photo

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Google račun. Odjava /  Izmijeni )

Twitter picture

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Twitter račun. Odjava /  Izmijeni )

Facebook slika

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Facebook račun. Odjava /  Izmijeni )

Spajanje na %s