1.5. ima li više parnih ili prirodnih brojeva? (prebrojivost)

Ima li više parnih prirodnih brojeva ili prirodnih brojeva (dakle parnih i neparnih ukupno)? Naravno, ako brojimo do bilo koje konačne vrijednosti N, onda će prirodnih brojeva biti dvostruko više nego parnih. Pa se najprije može činiti da je time lako odgovoreno na naše pitanje. Ali, ako krenemo brojati parne brojeve, onda imamo nešto ovako

2   4   6   8   10   12  14  16 …

1   2   3   4     5     6    7    8 …

Dakle, svaki prirodni broj broji jedan parni te nema nijednog prirodnog broja kojemu ne bi odgovarao neki parni, po jednostavnoj formuli PARNI=2∙PRIRODNI. Koliko god ima članova s lijeve strane ove jednakosti, toliko ima i s desne. Odnosno, parnih brojeva ima jednako koliko i prirodnih.

Ali kako je to moguće? Prirodni brojevi se sastoje od parnih i ne-parnih. Kako je moguće da parnih i neparnih brojeva zajedno ima isto koliko i samo parnih? Ta stvar je zbunjivala i neke od napametnijih ljudi prošlog tisućljeća, poput Leibniza i Galilea.

Galileo je pisao o vrlo sličnom problemu s nizom prirodnih brojeva koji su kvadrati prirodnih brojeva, dakle 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64 … I ovdje se ponavlja isti obrazac – kad brojimo te brojeve nijedan prirodni broj neće biti preskočen, odnosno svakom prirodnom broju odgovara jedan kvadrat. Pa bi slijedilo da kvadratnih brojeva ima jednako koliko i prirodnih brojeva, mada su mnogi prirodni brojevi nisu kvadratni – to se naziva Galileov paradoks. Galileo zaključuje ovako:

Koliko vidim, možemo samo zaključiti da je ukupnost svih [prirodnih] brojeva beskonačna, da je broj kvadrata beskonačan, i da je broj njihovih korijena beskonačan; niti je broj kvadrata manji od ukupnosti svih brojeva, niti je ono prvo veće od drugoga; i konačno, oznake ‘veće’, ‘manje’ i ‘jednako’ nisu primjenjive na beskonačne nego samo na konačne veličine.

Leibniz je također smatrao da ih ne može biti jednako. To bi naime značilo da pravi podskup nekog skupa ima jednako članova koliko i sam taj skup, a to bi kršilo Euklidov aksiom: „Cjelina je veća od dijela.“

No, krajem 19. stoljeća Cantor je sve skupove koje možemo brojati na prethodno opisani način nazvao prebrojivim, i ustvrdio da svaki od njih ima točno jednako članova. Taj broj članova, koji je naravno beskonačan, označio je hebrejskim slovom „alef“ uz indeks nula, dakle „alef nula“, što se označava sa {\displaystyle \aleph _{0}}.

Zanimljivo je i da racionalnih brojeva ima točno toliko. To nije očito kao u prethodnim primjerima, jer u njima svi članovi skupova nakon prvoga imaju točno određene prethodnike i sljedbenike, pa je jasno kako ih brojati. Ali nije jasno kako brojati racionalne brojeve – neki racionalni broj, npr. 2/7, nema prethodnika ni sljedbenika. Ipak, moguće ih je poredati tako da svi budu obuhvaćeni pri brojanju, i tako pokazati da je skup racionalnih brojeva prebrojiv (mada beskonačan), odnosno da ima alef nula racionalnih brojeva.

rationals-countable

(Naravno, pri brojanju preskačemo one racionalne brojeve koje smo već brojali, npr. 2/4 budući da smo već brojali 1/2. Važno je samo da postoji poredak koji obuhvaća sve racionalne brojeve.)

A što vi mislite? Slažete li se s Galileom ili s Cantorom? Mislite li da su sve beskonačnosti jednako velike ili su neke veće od drugih? 🙂

Jedna misao o “1.5. ima li više parnih ili prirodnih brojeva? (prebrojivost)

  1. Za dva skupa A i B cemo reci da su “jednakoborjni” ako postoji bijekcija f iz skupa A u B.To znaci |A|=|B| (jednak im je kardinalni broj).A za provjeriti dali su neki skupovi jednakobroji(ekvipotentni) mozemo koristiti Cantor-Bernsteinov teorem koji kaze ako postoji injekcija f:A->B i injekcija g:B->A onda mozemo zakljuciti |A|=|B|.To olaksava puno umisto da konstruiramo neku bijekciji.Moze se pokazati npr da je i N~NxN.Problem nastaje ako za neki [a,b] iz R pokusavamo naci bijekciju iz N->[a,b]..lako se pokaze da ne postoji.Ali i intuitivno bi tribalo biti npr.uzmemo jedan paran pa jedan prirodan,pa drugi paran pa drugi prirodan..itd.I sad ako prihvatimo to,onda mozemo pokazati da je to nemoguce napraviti za neki segment realnih brojeva i prirodnih..dakle neke besk su vece od drugih

Komentiraj

Popunite niže tražene podatke ili kliknite na neku od ikona za prijavu:

WordPress.com Logo

Ovaj komentar pišete koristeći vaš WordPress.com račun. Odjava /  Izmijeni )

Google photo

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Google račun. Odjava /  Izmijeni )

Twitter picture

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Twitter račun. Odjava /  Izmijeni )

Facebook slika

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Facebook račun. Odjava /  Izmijeni )

Spajanje na %s