Na prvu bi većina ljudi rekla da je odgovor na pitanje navedeno u naslovu nula tj. da neprobušeni balon ima nula rupa. Valjalo bi prvo definirati što je to rupa u našem svakidašnjem životu, a kasnije ćemo analizirati matematički pogled.
Ako jedan komad A4 papira bez rupa škarama probušimo, tom papiru smo dodali jednu rupu. Za pitanje o broju rupa nebitno kolika je ta rupa, jer neovisno o njezinoj veličini taj papir će uvijek imati onoliko rupa koliko smo ga puta na različitim mjestima probušili. Također, ako umjesto papira imamo neki rastezljivi materijal možemo rastezati rupu na način da ne utječemo na broj samih rupa.
S ovom činjenicom možemo pokušati riješiti problem balona. Uzmimo sad neprobušeni balon i probušimo ga. Počnemo li rastezati tu rupu razvući ćemo balon do stanja ravnine za koju smo utvrdili da ima nula rupa. Dakle, nakon što smo ga probušili balon ima nula rupa! Koliko je onda imao prije nego smo ga probušili? Recimo da neprobušeni balon ima x rupa te mu dodamo jednu rupu tako da ga probušimo. Ovim postupkom dobivamo jednadžbu x+1 = 0, i rješavajući za x dobivamo rezultat x = -1 tj. da balon u neprobušenom stanju ima minus jednu rupu.
Grana matematike koja se bavi problemima upravo ovakvog tipa je topologija. Karakteristika topologije, koja razlikuje nju od recimo euklidske geometrije, je ta što topologiju više zanima ono kvalitativno nego kvantitativno. Na primjer, krug i kvadrat su jednaki likovi u topološkom smislu jer su u topologiji stranice likova potpuno nebitne. Razlog tome je to što je moguće deformacijom (rastezanjem) jednog od ta dva lika, bez rezanja i lijepljenja, dovesti do onog oblika kakav je drugi lik.
Upravo smo se tim postupkom deformacije služili u prvom dokazu teze da balon ima minus jednu rupu. Vratimo se sada na definiciju rupe kojoj ćemo pristupiti sa znanjem kojim imamo o topologiji. Obzirom da u topologiji ne uzimamo u obzir oblik kao razliku nekih likova, možemo utvrditi da je svaki lik nacrtan na jednom balonu u potpunosti isti te se može dovesti do minimalne veličine, odnosno jedne točke, deformacijom ravnine na kojoj taj lik leži (iste su homologne klase). Rupa je ono što onemogućava transformaciju takvog lika.
To se najbolje može vidjeti na primjeru torusa ili takozvane “šuplje krafne” na kojoj ako nacrtamo lik koji prolazi kroz središnju vanjsku rupu torusa i zatvara se na njegovoj stranici vidjet ćemo da se takav lik ne može preoblikovati u točku. Rupa koja ima utjecaj, u tom slučaju, je ona koja prolazi kroz prazan dio torusa ispunjen zrakom.
Ideja rupe je mnogo kompliciranija kada uđemo u više dimenzije, ali na sreću za razumijevanje problema balona potrebno nam je razumijevanje rupa do dvije dimenzije. Najintuitivnije objašnjeno, razlika između jednodimenzionalne i dvodimenzionalne rupe je ta što kroz 1D rupu možemo provući konac, dok 2D rupu možemo napuniti vodom. Ovakvo objašnjenje nas dovodi do spoznaje da balon nema 1D, ali ima jednu 2D rupu.
Ako bismo sada učinili ono što smo napravili na samom početku, a to je jednostavno dodali rupu na balon, dobivamo ravnu plohu koja nema ni 1D ni 2D rupa tako da nam samo ostaje rupa nulte dimenzije. (Rupa nulte dimenzije se interpretira kao samo postojanje nekog tijela što znači da svako tijelo (također lik i točka) ima jednu rupu nulte dimenzije.) To nas dovodi do činjenice da dodavanjem 1D rupe na balon uklanjamo onu 2D rupu tj. prazninu unutar balona. Obzirom da neprobušeni balon ima jednu jedinu rupu, a to je ona 2D rupa možemo zaključiti da je ona u odnosu na 1D rupu negativne vrijednosti. Ukratko se može reći da negativna vrijednost 2D rupe balona utječe na ukupnu količinu rupa u balonu koja je posljedično minus jedan.
paradoksi i misaoni pokusi 