Znamo da je 1/3 = 0.333… Pomnožimo li obje strane s 3 dobijemo (1/3) * 3 = (0.333…) * 3, drugim riječima 1 = 0.999…
Brojevi koji se javljaju u gornjem dokazu su racionalni brojevi. To su brojevi koji su dobivaju dijeljenjem cijelog broja s prirodnim brojem. Uvijek ih možemo zapisati s konačno mnogo decimala, jer ako ih i nemaju konačno mnogo, ponavljajući se dio decimala može označiti točkicama – npr. 0.123123123… možemo zapisati kao 0.123 s točkicama iznad 1 i 3.
Kako je moguće da su dva različita broja (0.999… i 1) isti broj? Treba razlikovati brojeve i zapise brojeva. Koliko je ljudi u učionici ili koliko je minuta preostalo do kraja sata – u tim pitanjima nas zanimaju brojevi. Što se nalazi ispred upitnika u nazivu ovog posta? Odgovor će govoriti o zapisu nekog broja (u nekoj drugoj kulturi jedinica ispred upitnika možda označava neku riječ).
Brojevi su, obično se vjeruje, nešto nedohvatljivo i apstraktno, dok su zapisi brojeva (poput položaja kazaljki na satu ili traga olovke na papiru) nešto vrlo konkretno i dohvatljivo.
Što decimale doista nama znače? Ako zapišemo racionalni broj u konačnom obliku (s točkicama) u praksi zamišljamo kako se te decimale ponavljaju i ponavljanju u beskonačnost. I taj beskonačni raspis interpretiramo na način da u glavi konstruiramo broj: uzmi cjelobrojni dio i potom za svaku decimalu nakon decimalne točke: uzmi tu decimalu, podijeli ju s 10 potenciran na redni broj decimale, dobiveno dodaj na rezultat.
Ta je konstrukcija raspisanih zapisa (prelazak iz drugog u treće područje na slici) beskonačan proces. Uzmimo treći zapis sa slike. Uzimamo cjelobrojni dio (jedinicu) i potom za svaku decimalu u raspisanom zapisu (1, 2, 3, 2, 3, …) dodajemo redom 1/10, 2/100, 3/1000, 2/10000 itd. To je naša interpretacija beskonačnog raspisa, tako konstruiramo broj iz raspisanog zapisa.
Proces konstrukcije broja iz njegovog raspisanog zapisa moguće je promatrati kao sumiranje reda, gdje član (“pribrojnik”) reda izgleda ovako: (n-ta decimala ) / 10^n.
Mi doista na taj način razmišljamo o brojevima: uzimamo konačni zapis, u glavi ga “odmotavamo” i tako konstruiramo broj. Ako nema aktualne beskonačnosti, taj proces ne može imati kraja, odnosno broj nikad nije konstruiran. Ako nam zapis nekog broja nije u stanju reći koji broj zapisuje (jer je za dovršiti konstrukciju potrebno aktualno beskonačno mnogo koraka), ima li smisla govoriti da se radi o zapisu broja? Odustanemo li pak od (aktualno) beskonačno mnogo koraka i prekinemo postupak nakon konačno (ma koliko puno, ali konačno) mnogo koraka, konstrukcija broja iz zapisa 0.999… nas ne dovodi do 1.
paradoksi i misaoni pokusi 