3.2. što je zapravo ta entropija (termodinamička)?

Da bismo razumjeli termodinamičku definiciju entropije potrebno je poći od ove jednakosti koja vrijedi samo za idealni Carnotov kružni proces.

[Da ne preplašim dio potencijalnih čitatelja prebacujem  na dno izvod te jednakosti koji doduše zahtijeva malo strpljenja s matematikom, ali se isplati se radi potpunijeg razumijevanja.*]

Dakle omjer toplina koje Carnotov stroj primi i preda jednak je omjeru temperatura toplijeg i hladnijeg spremnika. Drugim riječima postoji neka veličina koja je za idealni, reverzibilni toplinski proces očuvana, stalno jednaka:

Lako je pokazati da za ne-idealne, manje korisne strojeve ta nejednakost ne vrijedi. Budući da je korisnost nekog takvog stroja

a korisnost Carnotovog stroja

onda je lako vidjeti da iz toga što je korisnost realnog stroja manja ili jednaka idealnome η_R ≤ η_C slijedi da za realne toplinske strojeve vrijedi

Dakle, ta veličina ostaje jednaka za idealne, reverzibilne toplinske procese, a povećava se za realne, ireverzibilne procese. Rudolf Clausius je tu veličinu nazvao entropija S. (Zapravo, ta veličina je jednaka promjeni entropije ΔS a razlog zašto je definirana tako preko promjene ima veze s integralima, što nas ovdje još ne treba zanimati.) Vrijedi, dakle, općenito

S_konačna ≥ S_početna

za bilo koji termodinamički proces izoliran od okoline (jednakost ako se radi o reverzibilnom a nejednakost ako se radi o ireverzibilnom procesu). Razlika između konačne i početne entropije pokazuje koliko proces odstupa od reverzibilnoga. To ne vrijedi samo za toplinske strojeve, nego općenito, zato što između bilo koje dvije različite temperature možemo zamisliti Carnotov reverzibilni proces (pri kojem entropija ostaje jednaka) i usporediti ga sa stvarnom promjenom (pri kojoj entropija raste).

(Osim ove definicije entropije postoje i druge, o čemu možda u budućim epizodama.)

---

* izvod formule:

Općenito, korisnost bilo kojeg (ne samo idealnoga Carnotovog) toplinskog stroja je, naravno, omjer uložene topline i dobivenog rada, odnosno:

Kod Carnotovog ciklusa omjer predane i primljene topline može ovisiti samo o temperaturama toplijeg i hladnijeg spremnika. Zato vrijedi:

Odnosno, taj omjer neiskorištene i primljene topline je neka funkcija tih dviju temperatura (još ne znamo koja je to funkcija). Zamislimo sad dva toplinska Carnotova stroja kao na slici:

 Možemo dobiti dva rezultata koji će nam biti važni za izvod. Prvi je ovaj:

Budući da ova dva toplinska stroja možemo prikazati kao jednoga koji ne ovisi o temperaturi T₂ to znači da se T₂ mora moći eliminirati iz formule za korisnost toga stroja, što je moguće ako je (još uvijek nepoznatu) funkciju f moguće izraziti preko neke druge (također još uvijek nepoznate) funkcije g na ovaj način:

Odnosno, g(T₂) će se pokratiti te dobijemo:

Podsjećam da još uvijek ne znamo što je funkcija g. Ali iz gornje sličice s dva Carnotova ciklusa možemo vidjeti da vrijedi i drugi važan rezultat:

Možemo zamisliti da dodajemo jedan iza drugoga još takvih Carnotovih strojeva sve niže temperature hladnijeg spremnika i svaki put bi se korisnost povećala na isti način. Iz toga zaključujemo da se radi o funkciji koja se jednoliko povećava, odnosno o proporcionalnom odnosu, pa je g(T)=c∙T, gdje je c neka nepoznata konstanta. Stoga

i kad pokratimo nepoznatu konstantu c dobijemo omjer koji vrijedi za Carnotov ciklus (a ne vrijedi za druge toplinske strojeve):

---

 

3.1. zašto je Carnotov ciklus najkorisniji?

Početkom 19. stoljeća razvoj toplinskih strojeva je bio u punom jeku, i inženjeri su se stalno domišljali kako ih popravljati da budu sve korisniji, pa se postavljalo pitanje granice, dokle je moguće povećavati korisnost takvih strojeva. Mladi Sadi Carnot je 1821. načelno riješio problem.

Sadi Carnot (1796.-1832.)

Svi učenici zapamte opću shemu toplinskog stroja:

Ono crveno se naziva “topliji spremnik” i kod realnih toplinskih strojeva se zapravo radi o gorivu koje izgara. Ali sad se bavimo idealnim, najkorisnijim kružnim procesom. Što je “topliji spremnik”? To je neki izvor topline koji daje toplinu a pritom ostaje na stalnoj jednakoj temperaturi. Jasno je da je to neki idealni izvor, budući da se ne hladi mada predaje toplinu. (To nije suviše nerealna situacija, ako je takav izvor puno veći od onoga čemu predaje toplinu, tad će njegovo hlađenje biti zanemarivo malo.) Dakle, prvi dio idealnog toplinskog ciklusa je izoterman: sustav prima toplinu (Q₁) uslijed kontakta s izvorom koji ima stalno jednaku temperaturu (T₁).

Da bi se uopće radilo o nekakvom stroju, on mora moći stalno na isti način ponavljati to što radi, dakle treba nam neki kružni proces, odnosno, trebamo se vratiti u točku A na grafu. Najjednostavnije bi bilo da se nakon izotermnog prijelaza iz A u B opet izotermno vrati iz B u A, tako da preda toplinu natrag spremniku. Ali, tad bi obavljeni rad bio jednak nula. (Rad je jednak površini ispod grafa, i za rast volumena je pozitivan a za smanjenje volumena negativan – ovdje bi pozitivni rad od A do B bio jednak negativnom radu od B do A, odnosno ukupni rad bi bio jednak nula). Dakle, povratak u početnu točku A treba ići drugačijim putem.

U svakom slučaju, da bi se sustav vratio u A potrebno je odvesti toplinu. Za odvođenje topline poslužit će nam još jedan idealni spremnik: onaj koji prima toplinu bez da se pri tom zagrije. Odnosno, i odvođenje topline bit će izotermno. Ali, da bismo imali neki rad, neku površinu unutar kružnog procesa, ta temperatura mora biti manja od početne. Ne želimo da sustav prima ili predaje toplinu na neki drugi način osim ovih idealnih (od toplijeg odnosno hladnijeg spremnika), pa se spoj između ta dva izotermna procesa treba odvijati izolirano i bez trenja s okolinom, odnosno treba biti adijabatski (bez izmjene topline s okolinom). Tako imamo ovakav idealni, Carnotov kružni proces (dvije izoterme i dvije adijabate).

Rad koji je obavljen pri tom procesu jednak je površini unutar grafa. Budući da se sve odvija bez trenja s okolinom, taj proces je reverzibilan, moguć je i u obratnom smjeru s jednakim vrijednostima, odnosno:

Pritom, naravno, umjesto da sustav obavlja rad, potrebno je od izvan obaviti rad na sustavu da bi toplina išla od hladnijeg prema toplijem spremniku. Kad bismo imali dva Carnotova toplinska stroja koji rade u suprotnim smjerovima, mogli bismo rad koji proizvede prvi iskoristiti za povratak u početno stanje.

Ukupan rad takva dva stroja bi, naravno, bio nula. Smisao ovoga primjera s dva Carnotova stroja je pokazati da se radi o potpuno reverzibilnom stroju.

Carnotovo načelo sad kaže:

Nijedan toplinski stroj ne može imati veću korisnost od Carnotovog toplinskog stroja.

Nema neke misterije u tome – stroj radi bez trenja s okolinom. Dokaz ide preko postupka koji se naziva reductio ad absurdum, gdje najprije pretpostavimo da je istina ono što želimo dokazati da je nemoguće, potom pokažemo da ta pretpostavka vodi u proturječje, čime smo dokazali da je to nije istina. Dakle, pretpostavimo da imamo toplinski stroj korisniji od Carnotovog. Tad bismo dio rada dobivenog takvim strojem mogli koristiti da pomoću obrnutog Carnotovog stroja bez obavljanja rada vratimo u topliji spremnik više topline nego smo uzeli.

Ili, još bolje, da vratimo sustav u početno stanje, a višak nam ostaje na raspolaganju. Taj postupak bismo mogli ponavljati da dobijemo bilo koliko energije bez ikakvog utroška (jer se sustav stalno vraća u početno stanje). Odnosno, dobili bismo nešto iz ničega. Takav toplinski stroj, korisniji od Carnotovog, ne može postojati.

[O entropiji u sljedećem nastavku.]

1.5. ima li više parnih ili prirodnih brojeva? (prebrojivost)

Ima li više parnih prirodnih brojeva ili prirodnih brojeva (dakle parnih i neparnih ukupno)? Naravno, ako brojimo do bilo koje konačne vrijednosti N, onda će prirodnih brojeva biti dvostruko više nego parnih. Pa se najprije može činiti da je to jedan sasvim lak odgovor na ne baš pametno naslovno pitanje. Ali, ako krenemo brojati parne brojeve, onda imamo nešto ovako

2   4   6   8   10   12  14  16 …

1   2   3   4     5     6    7    8 …

Dakle, svaki prirodni broj broji jedan parni te nema nijednog prirodnog broja kojemu ne bi odgovarao neki parni, po jednostavnoj formuli PARNI=2∙PRIRODNI. Koliko god ima članova s lijeve strane ove jednakosti, toliko ima i s desne. Odnosno, parnih brojeva ima jednako koliko i prirodnih.

Ali kako je to moguće? Prirodni brojevi se sastoje od parnih i ne-parnih. Kako je moguće da parnih i neparnih brojeva zajedno ima isto koliko i samo parnih? Ta stvar je zbunjivala i neke od napametnijih ljudi prošlog tisućljeća, poput Leibniza i Galilea.

Galileo je pisao o vrlo sličnom problemu s nizom prirodnih brojeva koji su kvadrati prirodnih brojeva, dakle 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64 … I ovdje se ponavlja isti obrazac – kad brojimo te brojeve nijedan prirodni broj neće biti preskočen, odnosno svakom prirodnom broju odgovara jedan kvadrat. Pa bi slijedilo da kvadratnih brojeva ima jednako koliko i prirodnih brojeva, mada su mnogi prirodni brojevi nisu kvadratni – to se naziva Galileov paradoks. Galileo zaključuje ovako:

Koliko vidim, možemo samo zaključiti da je ukupnost svih [prirodnih] brojeva beskonačna, da je broj kvadrata beskonačan, i da je broj njihovih korijena beskonačan; niti je broj kvadrata manji od ukupnosti svih brojeva, niti je ono prvo veće od drugoga; i konačno, oznake ‘veće’, ‘manje’ i ‘jednako’ nisu primjenjive na beskonačne nego samo na konačne veličine.

Leibniz je također smatrao da ih ne može biti jednako. To bi naime značilo da pravi podskup nekog skupa ima jednako članova koliko i sam taj skup, a to bi kršilo Euklidov aksiom: „Cjelina je veća od dijela.“

No, krajem 19. stoljeća Cantor je sve skupove koje možemo brojati na prethodno opisani način nazvao prebrojivim, i ustvrdio da svaki od njih ima točno jednako članova. Taj broj članova, koji je naravno beskonačan, označio je hebrejskim slovom „alef“ uz indeks nula, dakle „alef nula“, što se označava sa .

Zanimljivo je i da racionalnih brojeva ima točno toliko. To nije očito kao u prethodnim primjerima, jer u njima svi članovi skupova nakon prvoga imaju točno određene prethodnike i sljedbenike, pa je jasno kako ih brojati. Ali nije jasno kako brojati racionalne brojeve – neki racionalni broj, npr. 2/7, nema prethodnika ni sljedbenika. Ipak, moguće ih je poredati tako da svi budu obuhvaćeni pri brojanju, i tako pokazati da je skup racionalnih brojeva prebrojiv (mada beskonačan), odnosno da ima alef nula racionalnih brojeva.

(Naravno, pri brojanju preskačemo one racionalne brojeve koje smo već brojali, npr. 2/4 budući da smo već brojali 1/2. Važno je samo da postoji poredak koji obuhvaća sve racionalne brojeve.)

A što vi mislite? Slažete li se s Galileom ili s Cantorom? Mislite li da su sve beskonačnosti jednako velike ili su neke veće od drugih? 🙂

2.2. Što fizika ne može znati?

Za početak jedan klasik dr. Sheldona Coopera:

Sheldon: I’m a physicist. I have a working knowledge of the entire universe and everything it contains
Penny: Who’s Radiohead?
Sheldon [after twitching for a minute]: I have a working knowledge of the important things

Ne radi se tek o osobnoj Sheldonovoj aroganciji: on vjeruje da zna ”čitav svemir i sve u njemu” ne zato što je jako pametni Sheldon Cooper, nego upravo zato što je fizičar! Otkud to? Ovo je njegova neizrečena pretpostavka: sve što se zbiva u svemiru u načelu se svodi na fiziku. Naša psihička stanja se svode na biologiju mozga, biologija na kemiju i fiziku, kemija na fiziku. I zaljubljenost i pjesništvo i nogometno umijeće na koncu se svode na funkcioniranje naših organizama, a oni se (barem u načelu) potpuno svode na fizikalne procese.

To se uvjerenje naziva ”fizikalizam”.

Općenito govoreći, fizikalizam je filozofska pozicija prema kojoj je sve što postoji
fizičke prirode. Točnije rečeno, to je pozicija prema kojoj postoji samo ono što priznaje
suvremena fizika. Ono što navodno nije fizičko, to zapravo ne postoji. Ista se pozicija često
naziva i materijalizam; ideja je da je sve što postoji u krajnjoj liniji materijalne prirode. Ne
smijemo se zabuniti, fizikalisti ne smatraju da mentalno ne postoji i da se tu nema što
objašnjavati. Mentalna stanja postoje, međutim, pitanje je kakva je njihova priroda. Fizikalist
smatra da su mentalna stanja zapravo samo jedna vrsta fizičkih – to su neurološka stanja naših
mozgova. Mentalna stanja su, isto kao i sve drugo što postoji, u krajnjoj liniji samo fizička stanja.
Ona su isto što i fizička stanja. Fizičko i mentalno jedno su te isto. Relacija između mentalnog i
fizičkog jest relacija identiteta. Pazite, fizikalist ne tvrdi da fizičko uzrokuje mentalno ili da ga
određuje. Kada bi to tvrdio, ne bi mogao tvrditi da su fizičko i mentalno jedno te isto, budući da
jedna stvar može uzrokovati ili određivati drugu samo ako se radi o dvije različite stvari, a prema
fizikalizmu, vidjeli smo, radi se o jednoj te istoj stvari. Za fizikalistu stanja mozga ujedno jesu
stanja svijesti. (Boran Berčić link)

Dakle, sve ono što se događa u bilo čijem iskustvu u načelu se na koncu svodi na fiziku. Tako kaže fizikalist (a neki fizičar ne mora biti fizikalist, kao što ni neki fizikalist ne mora biti fizičar).

Da se vratimo na prošli zapis, i na dva odgovora na pitanje što je zvuk. Naravno, zvuk jest mehanički longitudinalni val, rasprostiranje zgušnjenja i razrjeđenja kroz neko sredstvo. Tu je, jasno, sve sasvim fizičko. Što je s onim drugim odgovorom, da se zvuk zapravo odnosi na ono što mi doživljavamo (kad su frekvencije toga vala između 16 Hz i 20 kHz)? Je li taj mentalni doživljaj na koncu također nešto fizičko – niz stanja našega mozga, i ništa osim toga?

Evo jednog misaonog pokusa koji bi htio pokazati da je fizikalizam pogrešan.* Zamislimo znanstvenicu Jasnu, stručnjakinju za zvuk i za fiziologiju sluha i neurofiziologiju mozga. Jasna se bavi svime što je povezano sa zvukom i sluhom, i zna sva najnovija znanstvena istraživanja s tih područja. Ali, Jasna je gluha od rođenja.

U jednom trenutku, Jasna bude izliječena i čuje.

Pitanje je:

Je li Jasna time što je čula po prvi put naučila nešto novo?

Ako jest naučila nešto novo, treba reći da to nije mogla naučiti time da bi bila još bolja znanstvenica. Jedini način da to nauči bio je taj da sama doživi to iskustvo (da sama ima to ”mentalno stanje”). A to znači da ima u ”mentalnim stanjima” nešto što nije dostupno prirodnim znanostima (pa i na koncu fizici), nego je dostupno samo vlastitom iskustvu (naravno, čak i fizičarevom). Nečega čega ima samo ako netko čuje, dok ne postoji kad stablo padne u šumi i nema nikoga da ga čuje.

——

* Taj misaoni pokus je jedna varijanta ovoga.

2.1. Padne li stablo u šumi a nema nikoga da ga čuje…

Učenici trećih razreda su nedavno rješavali jedan upitnik o pojmu zvuka, u kojemu su, između ostalih, postavljena i sljedeća tri pitanja (bilo je ponuđeno još odgovora, ali za našu temu su zanimljiva samo ova dva):

 1. Koja od donjih tvrdnji bolje opisuje rasprostiranje zvuka kroz zrak?

a) Čestice zraka se gibaju na određeni način. Ovo gibanje proizvodi zvuk kada čestice zraka udare u slušateljev bubnjić. Zvuk ne postoji dok čestice zraka ne udare u bubnjić.

b) Čestice zraka se gibaju na određeni način. Zvuk je ovo gibanje čestica zraka.

2. Dovršite sljedeću rečenicu: Gibanje odnosno mirovanje čestica zraka koje si opisao/la u prethodnim pitanjima…

a) …stvara zvuk u slušateljevom uhu jer zvuk ne postoji dok čestice zraka ne udare u slušateljev bubnjić.

b) …jest zvuk.

3. Dovršite sljedeću rečenicu: Gibanje odnosno mirovanje čestica zraka koje si opisao/la u prethodnim pitanjima…

a) …nastaje prije stvaranja zvuka. Zvuk nastaje kad čestice zraka udare u slušateljev bubnjić i ne postoji prije toga.

b) …nastaje u isto vrijeme dok se zvuk propagira jer opisano gibanje čestica zraka jest zvuk.

 

Naravno, točnim odgovorom smatrao sam u sva tri slučaja b). Ali, odgovori pod a) postavljaju jedno staro i zanimljivo pitanje: ”Padne li stablo u šumi, a nema nikoga da to čuje, je li proizvelo zvuk?”

Mislio sam da je to pitanje zapravo koan, pitanje u japanskom zen buddhizmu koje nije namijenjeno tome da nađemo ispravan odgovor nego tome da naletimo na granicu gdje racionalnost ne uspijeva. Ali nije, nema veze s Japanom, poteklo  je od Georgea Berkeleya. Njegov odgovor na pitanje bio je ”ne”: ako nitko ne čuje, zvuk ne postoji. Isto pitanje mučilo i Lisu i Barta.

Lisa: If a tree falls in the woods and no one’s around, does it make a sound?

Bart: Absolutely! [makes sound of a tree falling]

Lisa: But Bart, how can sound exist if there’s no one there to hear it.

Bart: Wooooooo…

Da ne zlorabim te slavne likove, nastavit ću dijalog pod drugačijim imenima.

Tvrtko: Zvuk je mehanički val frekvencija od 16 Hz do 20 kHz. Zvuk nastaje više ili manje periodičnim titranjem izvora zvuka koji u neposrednoj okolici mijenja tlak medija, poremećaj tlaka prenosi se na susjedne čestice medija i tako se širi u obliku valova. Nije valjda da misliš kako poremećaji tlaka koji nastanu padom stabla ovise o našim bubnjićima?

Jasna: OK,  u pravu si ako prihvatim tvoju definiciju zvuka.

Tvrtko: Nije to ”moja definicija”. Ova je iz enciklopedije, ali ista stvar piše bilo gdje da potražiš.

Jasna: Ali, zašto je definiran baš tako, u rasponu od 16 Hz do 20 kHz?

Tvrtko: To je raspon u kojem čuje ljudsko uho.

Jasna: Eto vidiš, ipak ovisi o našem uhu. Način na koji definiraš zvuk povezan je s ljudskim sluhom. Bez nas ljudi možda postoje ta zgušnjenja i razrjeđenja zraka, ali ne postoji zvuk – jer bez nas taj raspon od 16 Hz do 20 kHz preko kojega definiraš zvuk nema nikakvoga smisla. Zvuk je definiran u odnosu na našu sposobnost da čujemo.

Ne znači da je dijalog dovršen – možete ga nastaviti. Možete li dati još argumenata za Tvrtka ili za Jasnu? Tko je u pravu?

1.3. Sastoji li se dužina od točaka?

Sastoji li se dužina od točaka?

”Dužina je skup točaka pravca, a sastoji se od dviju zadanih točaka A i B pravca i svih točaka pravca koje su između njih. Točke A i B su krajnje točke te dužine.” (link)

Ali, ako se dužina sastoji od točaka, a točka nema nikakvu duljinu, otkud dužini duljina?

Zenonov najdublji paradoks je u osnovi geometrijski. On zapravo pita imaju li krajnji sastojci neke dužine – dakle točke – duljinu različitu od nula, ili im
je duljina stvarno nula. Dužina je očigledno beskonačno djeljiva; dakle ima beskonačno mnogo krajnjih sastojaka. Ako imaju bilo koju duljinu veću od nula, tad, suprotno našoj pretpostavci, duljina dužine mora biti beskonačna. Bilo koji niz koji se sastoji od pozitivnih veličina jednakog iznosa ima beskonačnu sumu. No, ako je pak duljina doslovno nula, tad će, suprotno našoj pretpostavci, duljina segmenta biti nula.

Ovdje ne pomaže nikakvo sumiranje beskonačnog reda, jer se ne zbrajaju sve manji dijelovi, nego uvijek jednaki dijelovi, kao u 1 + 1 + 1 + 1+…

Za Aristotela, problema nema. Točka je granica dužine. Dužina ima točno dvije točke, A i B.

dužina AB

Naravno, moguće je (”potencijalno”) načiniti još bilo koliko točaka na toj dužini. Dužina se može dijeliti na potencijalno beskonačno mnogo manjih dužina (AA₁, A₁A₂, A₂A₃, …, A_nB) i tako načiniti beskonačno mnogo točaka na dužini.

Ali, to ne znači da se dužina već (”aktualno”) sastoji od beskonačno mnogo dijelova. Dužina se, naprosto, ne sastoji od dijelova, mada se može podijeliti na dijelove. Kao što se stablo nije sastojalo od cjepanica, mada je moglo biti podijeljeno na cjepanice.

Ipak, to gledište može biti problematično. Promotrimo neku dužinu na brojevnom pravcu, npr. s rubnim točkama 3 i 4.

Koliko ima realnih brojeva između 3 i 4? Beskonačno mnogo. Znači li to da na brojevnom pravcu već ima (”aktualno”) beskonačno mnogo točaka između 3 i 4? Jesu li one već tamo (”aktualno”), ili ih mi tek možemo (”potencijalno”) tamo dodati?

Dakle, ima li već (”aktualno”) beskonačno mnogo točaka na nekoj dužini (bila ona AB ili 34)? Ili točke dospijevaju na dužinu tek tako da tu dužinu dijelimo, što možemo činiti (”potencijalno”) u beskraj?

Ako ih već ima (”aktualno”) beskonačno mnogo, sastoji li se dužina od točaka? Je li dužina skup točaka i ništa osim toga? Ali otkud joj onda duljina?

1.2. Do koliko znaš brojati (potencijalna beskonačnost)?

Kad dijete kaže  ”Ja znam brojati do deset. A ti?”, što ćete mu odgovoriti? Ako odgovorite ”do beskonačno” pod tim ne mislite da možete stvarno izbrojati do ∞, nego da uvijek možete nastaviti još i dalje brojati. Odnosno, mislite na potencijalnu beskonačnost, a ne na ostvarenu (”aktualnu”) beskonačnost.

Što to znači? Riječ ”potencijalno” znači ”moguće”, a ”potencijalna beskonačnost” znači mogućnost da se nešto uvijek još i dalje poveća. Zbroj 1 + 1 +  1 +… po tom gledištu nije jednak ∞ i gotovo, kao da bi ∞ bio neki rezultat poput drugih. Rezultat znači nešto gotovo, dovršeno, a zbroj 1 + 1 +  1 +…  nikad nije dovršen. Zato je, prema tom gledištu, taj zbroj samo potencijalno beskonačan, jer se uvijek može još povećati, pa nije konačan, nije ograničen nego je bez-konačan, ne-ograničen. Od Aristotela (4. st. pr. Kr.) pa do 19. stoljeća većina je matematičara smatrala da beskonačnost treba shvatiti isključivo kao potencijalnu.

Što je sa zbrojem 1/2 + 1/4 + 1/8 +… ? Vidjeli smo kako slika sugerira da taj zbroj beskonačno mnogo članova ima konačan rezultat, i to 1.

Ipak, upitajmo se još jednom: koliko pravokutnikića moramo dodati da površina doista bude 1? Odgovor je: beskonačno mnogo. Možemo li dodati beskonačno mnogo (sve manjih) pravokutnika? Naravno, možemo reći ”očito je da na kraju ta površina mora biti 1”. Ali, ima li kraja, ako se radi o beskonačno (bez-krajno) mnogo članova?

Jesmo li dobili konačni rezultat zbroja beskonačno mnogo brojeva, ili smo dobili broj kojemu se svakim novim članom potencijalno približavamo ali ga nikad ne dostižemo?

Naš bivši učenik od prije par generacija, Luka M., zastupao ovo drugo gledište u komentaru:

Kod zbrajanja n brojeva (x1 + x2 + … + xn), uzmemo prvi broj i na njega dodajemo sve preostale, ono što dobijemo na kraju zovemo zbrojem. …

Kod zbroja beskonačno mnogo brojeva, ne znamo što napraviti. Jer: ako uzmemo prvi broj i krenemo dodavati ostale, nikad nećemo stati.

Zbog toga mi se čini da je zbrajanje beskonačno mnogo brojeva (sumiranje reda) nešto što je vrstom bitno različito od zbrajanja 2 (ili n) broja. Rekao bih da je sumiranje reda proces bez kraja. To tu operaciju bitno razlikuje od zbrajanja 2 (ili n) broja koja itekako ima kraj.

Ako mi ne možemo, može li računalo stvarno (a ne samo potencijalno) izbrojati do ∞?

Za današnja računala svakako vrijedi da za beskonačno mnogo ma kakvih koraka jest potrebno beskonačno mnogo vremena.

Aristotel je iskoristio zamisao o potencijalnoj beskonačnosti da riješi još jedan Zenonov paradoks (uz ”Ahila i kornjaču”) nazvan ”Dihotomija” (već smo ga spominjali u komentarima). Najprije paradoks:

Neko tijelo, da bi prešlo neki cijeli put mora prvo prijeći polovicu, zatim četvrtinu, pa osminu i tako neograničeno dalje… Dakle, opet imamo naš zbroj beskonačno mnogo članova 1/2 + 1/4 + 1/8 +… Od trkača bi se moglo tražiti, kaže Zenon, da broji svaki od tih koraka. No, to bi značilo da  ”kad je prijeđena cijela crta, izlazi da je izbrojen neograničen broj (∞), što je … nemoguće”.

Kako je Aristotel odgovorio na taj Zenonov izazov?

Aristotel kaže da ne postoji već beskonačno mnogo dijelova dužine, nego je dužina tek potencijalno uvijek još djeljiva. Neograničena podijeljenost vremena i prostora u Zenonovim dokazima nije nešto što je stvarno već sprovedeno, ostvareno, niti pak može biti ostvareno. Prostor i vrijeme mogu se dijeliti neograničeno, ali ti dijelovi prostora i vremena nastaju tek kao rezultat samoga dijeljenja. Prije dijeljenja prostor i vrijeme nemaju dijelove.

Stoga Aristotel zaključuje kako je moguće udaljenost od Ahila do kornjače dijeliti u beskraj (potencijalno), ali to ne znači da onaj tko prelazi tu udaljenost prelazi ∞ mnogo dijelova. Dijelovi nastaju tek kad netko dijeli tu udaljenost. Da bi netko imao problem kako prijeći udaljenost koja ima ∞ mnogo dijelova, najprije bi netko trebao podijeliti tu udaljenost na ∞ mnogo dijelova. Inače se ta udaljenost može prijeći, dakako, ako se jednostavno krene i ne stane.

Dodatak:

Isti rezultat sume beskonačnog reda kao i gornja slika daje formula za sumu beskonačnog reda koju smo izveli u prošlome zapisu. Ali, uz taj se izvod također može staviti jedan upitnik. Postupak izvođenja išao je ovako:

S = 1 + x + x² + x³ + …

Sad pomnožimo obje strane jednakosti sa x.

S∙x = x + x² + x³ + x⁴ + …

S desne strane to je isti izraz kao i ranije, samo bez 1! (Je li? 😉 )

Doista, je li? Recimo da se ne radi o beskonačnom redu, nego nekom konačnom, sa n članova.

S = 1 + x + x² + x³ + … + xⁿ.

Sad pomnožimo obje strane jednakosti sa x.

S∙x = x + x² + x³ + x⁴ + …+ xⁿ + xⁿ⁺¹

Ako oduzmemo te dvije jednakosti dobijemo S – S∙x = 1- xⁿ⁺¹. To vrijedi za bilo koji n, s time da ovaj član xⁿ⁺¹ postaje sve manji i manji kako n ide u beskonačnost (jer je iznos x manji od 1). Kad taj član postane 0 tad dobijemo onu formulu za sumu beskonačnog reda. Ali, kada taj član postaje nula? Tek kad n=∞, odnosno, gledano sa stajališta potencijalne beskonačnosti, nikad!

1.1. Mora li zbroj beskonačno mnogo članova imati beskonačan iznos?

Zenon kaže (1.) da je Ahilu potrebno beskonačno mnogo ”koraka”, što podrazumijeva (2.) da mu za njih treba beskonačno mnogo vremena. Slijedi li nužno (2.) iz (1.)? Je li moguće da mu je za beskonačno mnogo ”koraka” dovoljno konačno mnogo vremena?

Komentator na Ahilu i kornjači, pod nadimkom Kairos, kaže:

Ovo je problem zbrajanja beskonačne serije … Ovo je matematički način rješavanja ovakvih paradoksa gdje se zbrajaju sve manji dijelovi beskonačno mnogo puta.

Dakle, izgleda da nam treba neko znanje iz matematike. U hrvatskom je u ovome matematičkom značenju za englesko series uobičajena riječ ”red”. Zbroj beskonačnog reda se uči iz matematike u 4. razredu, pa ga velika većina čitatelja još nije učila. Ovdje ću pojednostavljeno objasniti one zamisli koje su nam (možda?) potrebne za pitanje o Ahilu i kornjači. Naravno, iz matematike ćete redove učiti na pravi, strogi način.

Mora li zbroj beskonačno mnogo članova biti beskonačan?

Recimo zbroj 1 + 1 + 1 + … očito ide u beskonačno. Isto tako i zbroj 1 + 2 + 4 + 8 +… Vrijedi li to za svaki zbroj beskonačno mnogo članova? Znalaoc kaže:

… ako počnemo dijeliti tu duljinu na sve manje dijelove dođemo do zaključka da je taj prostor beskonačno djeljiv, znači beskonačan je…

Dakle, ako neka duljina ima beskonačno mnogo dijelova, onda je beskonačna? Ili nije? Kairos naglašava da ”se zbrajaju sve manji dijelovi”. Na primjer, je li ovaj zbroj beskonačan?

Ne! Slika dovoljno govori:

Površina gornjeg lika očito nije beskonačna, mada ima beskonačno mnogo dijelova. ima beskonačno mnogo članova, ali, budući da su ti članovi sve manji i manji, suma je konačna. U ovom slučaju, kao što se vidi iz slike, iznos sume je 1.

(Ili je ipak malo manji od 1? 😉 )

Evo još jednog primjera:

Dokaz:

Budući da površina gornjeg kvadrata očito nije beskonačna, jasno je da je suma konačan broj, bez obzira što je članova beskonačno mnogo. Vidite li iz slike da je ta suma 1/3? (Ili je stalno sve manje, ali uvijek još malo, malo, malo,… manja od 1/3? ;))

Dakle, moguće je zbrojiti beskonačno mnogo (sve manjih!) dijelova i dobiti konačan broj.

Sad, neki kažu da je se zbroj uvijek sve više približava iznosu 1, ali da nikad nije 1! Sigurno je da taj zbroj nije veći od 1 (svakako nije beskonačan). Ali je li 1 ili je malo manji od 1? Svaki novi pravokutnikić na ovoj slici približava površinu iznosu 1, ali nakon koliko pravokutnika će ona zapravo biti 1?

Da bi površina bila upravo 1, a ne skoro 1, potrebno je dodati beskonačno mnogo pravokutnikića. Što vi mislite, je li OK reći: jasno se vidi da na kraju suma mora biti 1, ili ipak treba cjepidlačiti s time da nema kraja nego se površina uvijek samo približava 1?

I, glavno pitanje: rješava li ovo Ahila i kornjaču?

Ako zbrojimo sve manja vremena t1 + t2 + t3 +… dobijemo li konačan ili beskonačan rezultat? Ako je konačan, što mislite je li taj rezultat jednak rezultatu kojega dobijemo ispravnim fizikalnim računom? Ako nije jednak, je li puno veći ili malo manji od fizikalno ispravnoga?

hnjo kaže:

mislim da je problem u tome što ovim načinom se vrijeme sve više smanjuje, i kad zbrojimo sve t-ove (beskonačno ih je) nikad nećemo dobiti ono vrijeme u kojemu će se oni susresti, a to je 10 sekundi

Što vi kažete? 🙂

---

Dodatak: Možemo izvesti formulu za računanje sume beskonačnog reda, kad su članovi po iznosu manji od 1. Općenito, suma 1 + x + x² + x³ + … ima konačan rezultat ako je iznos x manji od 1. (Vidjeli smo da je npr. za vrijednosti x =1 ili x =2 ta suma beskonačna.) Kolika je ta suma? Recimo da je S. Dakle,

S = 1 + x + x² + x³ + …

Sad pomnožimo obje strane jednakosti sa x.

S∙x = x + x² + x³ + x⁴ + …

S desne strane to je isti izraz kao i ranije, samo bez 1! (Je li? 😉 ) Dakle

S = S∙x + 1

S – S∙x = 1

S∙(1-x) = 1

i na kraju

.

(Dobijemo li za vrijednosti x = 1/2 i za x = 1/4 pomoću gornje formule iste rezultate kao što smo ranije dobili pomoću slika? Možemo li ovu formulu primijeniti na problem Ahila i kornjače?)

1.0. Ahil i kornjača

Započinjemo jednim slavnim paradoksom, o kojem sam nekima od vas već govorio na satu (neka vas to ne spriječi da komentirate).

Među zadatcima za pripremu državne mature iz fizike našao se i ovaj:

Zadatak nije težak, dva jednolika pravocrtna gibanja. Od početka gibanja Ahila i kornjače do dostizanja prošlo je neko vrijeme t. Za to vrijeme su prešli putove:

s_kornjača = v_kornjače · t,     s_Ahil = v_Ahil · t.

Ahil je prešao veći put, i to veći za njihovu međusobnu početnu udaljenost:

s_Ahil – s_kornjača =90 metara.

Slijedi

v_kornjače · t  – v_Ahil · t = 90 metara

i kad se uvrste zadane brzine, dobije se da će Ahil će stići kornjaču za 10 sekundi; za to vrijeme će kornjača prijeći 1 m a Ahil 91 m. Grafički se to može prikazati ovako:

Naravno, tamo gdje se sijeku dva pravca, to je trenutak (na osi t) i mjesto (na osi x) dostizanja.

Što se tiče državne mature, to je točno rješenje, ono je jednoznačno, i tu nema ništa sporno. Ali, nije slučajno da su autori zadatka ovdje u glavne uloge postavili baš brzonogog Ahila i sporu kornjaču. Naime, to su glavni likovi jednog od slavnih Zenonovih paradoksa. (Paradoks čine iskazi koji su po svemu sudeći istiniti, ali međusobno proturječe). Zenon ovako nekako razmišlja:

Da bi Ahil stigao kornjaču, najprije mora doći do točke gdje je kornjača bila u trenutku kad je Ahil krenuo – nazovimo tu točku K1. Ahil je brzonog, pa će za kratko vrijeme prijeći tu udaljenost. No, u međuvremenu se kornjača pomaknula. Kornjača je spora pa nije mogla otići jako daleko – nazovimo tu točku K2. U svakom slučaju, Ahil sada (da bi stigao kornjaču) mora doći do dočke K2. No, dok Ahil dođe do točke K2, kornjača se pomaknula do neke točke K3, itd. Ahil svaki put (prije nego sustigne kornjaču) mora doći do mjesta gdje je kornjača prethodno bila, a kornjača će se svaki put u međuvremenu pomaknuti. Stoga Ahil nikad neće stići kornjaču.

Je li moguće naći grešku u Zenonovom razmatranju? Ja ne vidim grešku. Pa ipak, znamo (kao što je znao i Zenon) da Ahil hoće stići kornjaču. Dakle, imamo dva međusobno proturječna rezultata (”stići će ju za 10 s” i ”neće ju nikad stići”), bez da možemo pronaći pogrešku – to čini paradoks.

Ako se vratimo na naš maturalni zadatak, možemo ovaj problem prikazati i brojčano. Dok Ahil prijeđe 90 metara da bi došao do mjesta gdje je kornjača bila na početku, kornjača će se pomaknuti za 90/91 metara.

Dok Ahil prijeđe tih 90/91 metara, kornjača će se pomaknuti za 90/91² = 90/8281 metara. Zumirajmo na grafu dio nakon K1 – dakle, graf ne započinje od 0, nego od K1 i trenutka kad je Ahil stigao do K1 (kornjača je već stigla u K2).

Dok Ahil prijeđe tih 90/8281 metara kornjača će se pomaknuti za 90/91³ = 90/753571 metara, itd. Zumirajmo na grafu dio nakon K2 – graf sad započinje od K2 i trenutka kad je Ahil stigao u K2 (kornjača je već stigla do K3).

Mogli bismo ponavljati te slike s početkom u K3, K4, K5, …, neograničeno, bez da ikad dođemo do točke susreta. Kad Ahil stigne do Kn kornjača je uvijek već u Kn+1. Očito je da se ta udaljenost (koju prijeđe kornjača dok Ahil stigne na mjesto gdje je ona maloprije bila) svaki put smanjuje za 91 puta, pa će nakon n ovakvih približavanja biti 90/91ⁿ . Ali, nakon koliko će puta udaljenost biti nula? Nikad.

Zamislimo da gledamo snimku te utrke snimljenu beskrajno sofisticiranom opremom. U trenutku kad Ahil prijeđe 90 metara, a kornjača se pomakne u točku K2, snimka se na čas zaustavi. Potom se snimka nastavi dok Ahil ne dođe u točku K2, a kornjača se pomakne u K3. Itd. Kad ćemo vidjeti da Ahil dostiže kornjaču? Nikad.

Ali, ako pustimo snimku da se odvija bez prekidanja, vidjet ćemo da Ahil dostiže kornjaču za 10 s.

Što mislite, u čemu je stvar? Zašto (naizgled?) ispravnim razmišljanjem dolazimo do očito pogrešnog rezultata, da Ahil neće stići kornjaču?

plinski zakoni: po čovjeku koji se zvao …

Budući da se uz izotermni, izobarni i izohorni proces navodi kako se odgovarajući zakoni nazivaju Boyle-Mariotteov, Gay-Lussacov i Charlesov zakon, postavilo se opravdano pitanje tko bijahu ta gospoda. Odlučih svoje neprimjereno neznanje po tom pitanju umanjiti jednosatnim proučavanjem wikipedije.

Tehnički preduvjet otkrivanja zakona izotermne promjene stanja plina bila je mogućnost mjerenja tlaka, odnosno Torricellijev izum barometra 1643. u Pisi. Robert Boyle, britanski fizičar, kemičar i teolog, član slavnoga Royal Society, prvi je, 1662., objavio eksperimentalnu potvrdu hipoteze da se pri konstantnoj temperaturi tlak i volumen plina stalne mase odnose obrnuto proporcionalno. (Radi vremenske orijentacije, Newtonovi zakoni objavljeni su 1687.) Evo njegovih rezultata:

Zanimljivo je da je Boyle hipotezu koju je eksperimentom potvrdio nazivao ”hipotezom gospodina Towneleya”. Tko je, pak, taj Towneley? Richard Towneley je manje poznati amater znanstvenik iz tog razdoblja koji se dopisivao s Boyleom. Njegov amaterizam je bio posljedica toga što je kao katolik tada u Engleskoj bio isključen iz javnog života pa nije mogao objavljivati. Srećom prodao je neku zemlju koju je naslijedio od familije, te nije morao ništa raditi nego se lijepo bavio fizikom, matematikom, astronomijom,… Tako da bi se zakon možda trebao zvati Boyle-Towneleyev zakon. Ali, ne zove se tako, nego Boyle-Mariotteov. Edme Mariotte bio je francuski fizičar i svećenik koji je 1676., neovisno o Boyleu, ponovo otkrio isti zakon. U engleskom govornom području taj se zakon naziva Boyleov zakon, a u ostatku svijeta, valjda uslijed djelovanja francuskog lobija, Boyle-Mariotteov.

Daljnji napredak je omogućen izumom i usavršavanjem termometra (Fahrenheit 1714.). Od ona tri naziva plinskih zakona učenicima je iz očitih razloga najzanimljiviji Gay-Lussacov zakon. Najprije, radi se o jednom čovjeku s dvostrukim prezimenom (različito od Boylea i Mariottea, koji su dvojica). Drugo, odgovor na najčešće pitanje je: vjerojatno nije. Joseph Louis Gay-Lussac oženio je 1809. Geneviève-Marie-Joseph, i imali su petero djece. Upoznali su se u prodavaonici tekstila gdje naš Gay-Lussac primijetio da mlada prodavačica ispod pulta drži udžbenik kemije, kojega čita u pauzama. Naravno, tada djevojke nisu učile prirodne znanosti, tako da ga je zainteresiralo njeno zanimanje za kemiju (a možda je nasjeo na namještaljku, tko zna). To je taj francuski fizičar i kemičar:

Važniji od njegovog prezimena je zakon po kojem su u plinu stalne mase i volumena tlak i temperatura proporcionalni. On ga je objavio 1802., ali je imenovanje zakona u ovom slučaju još spornije nego u prethodnome. Naime, izgleda da je još 1699. francuski fizičar Guillame Amontons objavio isti taj rezultat. Zašto je to bilo zaboravljeno, nisam uspio dokučiti.

Da je Gay-Lussac bio poštenjačina koja vjerojatno nije znala za Amontonsov rad, mogli bismo zaključiti stoga što je u istom izdanju iz 1802. objavio i zakon po su kojem u plinu stalne mase i stalnog tlaka temperatura i volumen proporcionalni, te ga nazvao ”Charlesov zakon”. Naime, on je taj zakon našao u neobjavljenom rukopisu francuskog izumitelja Jacquesa Charlesa napisanom dvadesetak godina prije. Dotični se Charles inače bavio balonima, pa je primijetio tu vezu temperature i volumena pri stalnom tlaku (tlak u balonu se stalno izjednačava s atmosferskim). Ali razlog za Gay-Lussacovo pošteno priznanje zasluga Charlesu moglo bi biti i to što je isti zakon otkrio slavni engleski kemičar John Dalton 1801., pa ionako ne bi bio pripisan njemu.

Dalton ipak nije ostao bez ”svoga” zakona zaslugom njegovog eksperimentalnog otkrića da je tlak mješavine plinova jednak zbroju ”parcijalnih” tlakova pojedinih komponenti – to se naziva Daltonovim zakonom. Gay-Lussac je ipak nešto i prvi otkrio, i to ništa manje nego da je omjer volumena vodika i kisika koji reagiraju u vodu upravo 2:1. Iz toga se, pomoću  Avogadrovog zakona, moglo zaključiti da dvije molekule vodika i jedna molekula kisika daju dvije molekule vode. (Talijanski prirodoslovac Amedeo Avogadro je, znate iz kemije, prvi pretpostavio da pri jednakim tlakovima i temperaturama jednaki volumeni različitih plinova sadrže jednaki broj molekula.) Ali, mada je Avogadrov zakon objavljen 1811., konsensus znanstvene zajednice oko njegovog prihvaćanja uspostavio se tek nakon 1860. Evo simpatičnog Amedea:

Kombiniranjem triju “plinskih zakona” o kojima ovdje govorimo s Avogadrovim zakonom francuski inženjer i fizičar Emile Clapeyron je 1834. formulirao jednadžbu stanja plina. Da se ta jednadžba može izvesti iz kinetičko-molekularne teorije plinova (kako smo to mi, doduše vrlo pojednostavljeno, izveli na satu) otkriveno je tek u drugoj polovini 19. stoljeća.