Newtonova jabuka – izgubljena poanta?

Netko će vjerojatno pomisliti da je ta priča o Newtonovoj jabuci valjda najmanje važna stvar na svijetu… Ako nastavnik fizike i ispriča neku priču, to je više radi razonode – ne može se fizika poučavati pričanjem priča, nije to vjeronauk. I ja se odmah slažem. Ali, radio sam jednom anketicu među učenicima prvih razreda i oko dvije trećine je već čulo tu priču (prije nego im je ja ispričam). Dakle, učenici tu priču znaju, bilo iz škole, bilo iz obrazovnih medija. No, kad ih pitam da je ispričaju, ona je redovito potpuno besmislena. Na primjer, citiram: ”Newton je shvatio da je jabuka pala na tlo, ali se nije opet podignula u zrak nego je ostala na zemlji. Poanta priče je da sva tijela koja padnu s nečega ostaju na tlu.” To su stvari koje djeca spoznaju u prvim mjesecima života, i doista bi bilo čudno da je Newton to shvatio tek poslije svoje dvadesete godine. I ostali su odgovori u pravilu slični.

To me podsjeća na jednu epizodu serije Život na sjeveru. Tamo indijanski vrač pokušava shvatiti bijelce, pa zato sluša koje priče oni pripovijedaju u društvu. I priče su tipa ”Mate se okliznuo i pao”, ”Isaacu pala jabuka na glavu”, ”Ana je vidjela nešto neobično” i tome slično. Onda je Indijanac pokušao shvatiti koju pouku imaju te priče – jer se u njegovom plemenu priče pripovijedaju tako da pouče ljude nekim životnim mudrostima, međugeneracijskom iskustvu. Ali nakon dugog istraživanja ustanovio je da priče bijelaca nemaju nikakvu pouku – one služe samo za razonodu. Takva je i priča o Newtonu kako je meni ispričaju učenici u prvom razredu.

Ipak, ako se ta priča već redovito pripovijeda pri poučavanju fizike, bilo bi poželjno da ima neku pouku, i to po mogućnosti fizikalnu.

Najprije, je li priča uopće istinita?

Sigurno je da mu jabuka nije pala na glavu. Taj detalj se prvi put uopće spominje više od sto godina nakon Newtonove smrti, i može se prihvatiti ocjena da se radi o ”vulgarnom mitu” na razini crtića. Prethodne verzije priče kažu samo da je Newton univerzalnost gravitacije uvidio u trenutku kad je prilikom šetnje u vrtu vidio pad jabuke.

Zanimljivo, tu je priču popularizirao Voltaire:

Sir Isaac Newton je šetao svojim vrtom kad je prvi put pomislio na svoj sustav gravitacije, nakon što je ugledao jabuku kako pada sa stabla.

Kad sam pročitao da je Voltaire najzaslužniji za popularizaciju te priče bilo mi je sve jasno: zacijelo je Voltaire izmislio priču! Naime, u doba Voltaireove mladosti trajala je oštra prepirka o tome tko je prvi otkrio diferencijalni račun, Newton ili Leibniz. Voltaire je bio antileibnizovac, jer je Leibniz tada bio jedan od najuglednijih znanstvenika koji je nastojao za pomirenjem znanosti i religije, a Voltaire je bio izrazito antireligiozan. Sjećamo se iz srednjoškolske lektire Voltaireovog Candidea, nepopravljivog optimista koji vjeruje da živimo u najboljem od svih mogućih svjetova, a možda se neki sjećaju i toga da Voltaire tu zapravo ismijava Leibnizovu teoriju.  Tako da je vjerojatno Voltairovo populariziranje Newtonove teorije također motivirano borbom protiv Leibniza i njegovih ideja.

Razlog zbog kojeg sam pomislio da je Voltaire ne samo popularizirao nego izmislio priču je to da se radilo upravo o stablu jabuke. Naime, u doba prosvjetiteljstva je postojala svijest o tome da je započelo novo znanstveno doba, koje se dijelom suprotstavlja a dijelom nastavlja na prethodne tradicije Zapada – to su antička i kršćanska tradicija. Antička grčka tradicija započinje Ilijadom, a tu je pokretač rata bila slavna ”jabuka razdora” koju je Paris dao najljepšoj među božicama (i time izazvao mržnju ostalih božica).

Peter Paul Rubens prikazuje “jabuku razdora” na svojoj slici iz 1638.

Judeo-kršćanska tradicija započinje pričom o izgonu iz Raja zbog ”zabranjenog voća”, a koje se u umjetnosti najčešće prikazuje baš kao jabuka.

Nakon tih dviju jabuka koje su značile mitski početak, sada i treća, Newtonova, pokreće Novi vijek, doba znanosti i prosvjetiteljstva. Činilo mi se da je jasno da je to razlog zbog kojeg je Voltaire ubacio jabuku u priču o Newtonu.

Ipak, izgleda da Voltaire nije izmislio priču. Postoje dva svjedočanstva da je sam Newton, kad je već imao osamdeset godina, ispričao tu priču. Ali prvi Newtonovi biografi ne spominju nikakvu jabuku. Zašto bi je ispričao tek tada, pod stare dane, jednom novinaru i svojoj nećakinji? Slavni matematičar Gauss je ovako odgovorio na to pitanje:

Zacijelo se radilo o nečemu ovakvom: Newtonu dođe neki glup i nametljiv čovjek, i pita ga kako je došao do svog velikog otkrića. Da ga se riješi, Newton reče da mu je pala jabuka na nos. To je onome čovjeku sve razjasnilo, i on ode sasvim zadovoljan.

Vjerojatno je Gaussovo objašnjenje ispravno. Ipak, kad već pričamo tu priču, ispričajmo je tako da ima smisla. A to se može postići tako da se u priču uvede i Mjesec. Dakle, Sir Isaac Newton je šetao svojim vrtom, ugledao jabuku kako pada sa stabla, ali i Mjesec koji ostaje na nebu. I upitao se: zašto jabuka pada a Mjesec ne pada? Ta priča ima smisla, to jest pitanje koje je važno za razumijevanje Newtonove gravitacije.

(Ovdje valja dodati i pitanje: kako to da je tek Newtonu palo na pamet to pitanje? Zašto nije palo na pamet Aristotelu ili Ptolemeju itd.? Pretpostavljam da je odgovor u tome da je tek nakon otkrića teleskopa prepoznato da je Mjesec po svemu sudeći tvarno tijelo baš kao i jabuka. Prije toga se nebeska tijela u pravilu smatralo nečim bitno različitim od zemaljskih tijela. Dakle, za npr. Aristotela odgovor na pitanje zašto jabuka pada a Mjesec ne pada? bio bi otprilike zato što je jabuka od zemaljske tvari koja pada a Mjesec od nebeske koja ne pada. Tek otkriće teleskopa pokazuje da je Mjesec nešto što, poput Zemlje, ima brda i doline, dakle nešto što nije bitno različito od jabuke. I tada je postalo relevantno to pitanje: zašto jabuka pada a Mjesec ne pada?)

4.1. Laplaceov (ili Boškovićev) demon (ili genij)?

U fizici su zbivanja općenito predodređena silama koje djeluju i početnim uvjetima – npr. pri horizontalnom hicu potrebno je znati početnu visinu, početnu brzinu i sile koje djeluju (ako je trenje sa zrakom zanemarivo, onda je to sila teža).

Znamo li sile i početne uvjete, tad možemo točno predodrediti gdje će tijelo pasti.

Slavni matematičar i astronom Pierre-Simon Laplace smatrao je da se takva predodredivost (ili determinizam) u načelu može proširiti na sve što se zbiva u svijetu.

Sadašnje stanje svemira možemo smatrati učinkom njegove prošlosti i uzrokom njegove budućnosti. Neki razum koji bi u određenom trenutku znao sve sile koje pokreću prirodu, i sve položaje svih stvari od kojih je priroda složena, i ako bi taj razum bio dovoljno velik da podvrgne te podatke analizi, obuhvatio bi u jednoj formuli gibanja od najvećih svemirskih tijela do najsićušnijih atoma; za takav razum ništa ne bi bilo neizvjesno i budućnost bi mu bila pred očima podjednako kao i prošlost.

Taj “razum” koji bi sve to znao kasnije je nazvan Laplaceovim demonom (ili, ponegdje, Laplaceovim genijem, da se izbjegnu zloćudni prizvuci riječi demon). Mada bi taj razum očito bio nadmoćan našemu, valja uočiti da ne bi imao neke drugačije moći od nas, nego bi radio samo ono što fizičari rade, samo puno bolje. Po Laplaceovoj tezi sve što se zbiva potpuno je predodređeno prirodnim zakonima i početnim uvjetima. Ako bacim ovaj novčić u zrak ne znam doduše hoće li on pasti na lice ili naličje, ali pouzdano znam da je to potpuno predodređeno početnom brzinom i položajem novčića, te silama koje djeluju na njega. Čitav svemir, živa bića, ljudska svijest, sve to su tek vrlo složeni mehanizmi… Pa čak i ako ne znamo sve prirodne zakone, pa i ako možda ne možemo dovoljno točno saznati početne uvjete za svaki sustav kojega bismo mogli proučavati, ipak, po determinističkoj tezi, znamo da je sve determinirano tim prirodnim zakonima i početnim uvjetima. Nema ničega zapravo ”slučajnog”, i nema zapravo nikakve ”slobode odabira” – i jedno i drugo su tek prividi, odnosno, posljedice našeg nepotpunog poznavanja stanja stvari, a ne posljedice samog stanja stvari.

Mada se uobičajilo navoditi Laplacea kao prvog zastupnika determinističke teze, njemu u tome prethodi naš Ruđer Bošković.

Spoznavši pak zakon sila, zatim položaj i brzinu, smjer svih točaka u zadanom vremenu, takav bi um mogao predvidjeti sva nužna buduća stanja i sve nužne pojave u prirodi koje o njima ovise i tako prorokovati, i jednim jedinim lukom opisanim od bilo koje točke u kontinuiranom vremenu, pa ma kako kratkom, koji bi bio dovoljno razumljiv nekom ljudskom umu, taj isti um mogao bi odrediti svaki ostali potez te iste kontinuirane krivulje koja se s jedne i druge strane proteže u beskonačnost. (ThPN §385)

Kao što odavno reče Ksenofan, ništa čudno da fizičari boga zamišljaju kao uvećanog fizičara. 🙂

Etiopljani tvrde da su im bogovi tuponosi i crni, Tračani da su plavooki i riđokosi, a kad bi volovi, konji i lavovi imali ruke i mogli njima slikati i stvarati djela kao ljudi, slikali bi likove bogova i davali im tijelo kakvo upravo i sami imaju: konji nalik na konje, volovi na volove, [a lavovi na lavove]. (fr. 15)

Ali da bi takav “bog-fizičar”, koji ne djeluje nego samo promatra, mjeri i računa, mogao iz početnih uvjeta i prirodnih zakona unaprijed sve proračunati, deterministička teza morala bi biti točna: boja kombajna u 22. stoljeću, ili vaše mišljenje o ovome tekstiću, bili bi zapravo predodređeni već u trenutku Velikog praska.

---

Anketica:

3.2. što je zapravo ta entropija (termodinamička)?

Da bismo razumjeli termodinamičku definiciju entropije potrebno je poći od ove jednakosti koja vrijedi samo za idealni Carnotov kružni proces.

[Da ne preplašim dio potencijalnih čitatelja prebacujem  na dno izvod te jednakosti koji doduše zahtijeva malo strpljenja s matematikom, ali se isplati se radi potpunijeg razumijevanja.*]

Dakle omjer toplina koje Carnotov stroj primi i preda jednak je omjeru temperatura toplijeg i hladnijeg spremnika. Drugim riječima postoji neka veličina koja je za idealni, reverzibilni toplinski proces očuvana, stalno jednaka:

Lako je pokazati da za ne-idealne, manje korisne strojeve ta nejednakost ne vrijedi. Budući da je korisnost nekog takvog stroja

a korisnost Carnotovog stroja

onda je lako vidjeti da iz toga što je korisnost realnog stroja manja ili jednaka idealnome η_R ≤ η_C slijedi da za realne toplinske strojeve vrijedi

Dakle, ta veličina ostaje jednaka za idealne, reverzibilne toplinske procese, a povećava se za realne, ireverzibilne procese. Rudolf Clausius je tu veličinu nazvao entropija S. (Zapravo, ta veličina je jednaka promjeni entropije ΔS a razlog zašto je definirana tako preko promjene ima veze s integralima, što nas ovdje još ne treba zanimati.) Vrijedi, dakle, općenito

S_konačna ≥ S_početna

za bilo koji termodinamički proces izoliran od okoline (jednakost ako se radi o reverzibilnom a nejednakost ako se radi o ireverzibilnom procesu). Razlika između konačne i početne entropije pokazuje koliko proces odstupa od reverzibilnoga. To ne vrijedi samo za toplinske strojeve, nego općenito, zato što između bilo koje dvije različite temperature možemo zamisliti Carnotov reverzibilni proces (pri kojem entropija ostaje jednaka) i usporediti ga sa stvarnom promjenom (pri kojoj entropija raste).

(Osim ove definicije entropije postoje i druge, o čemu možda u budućim epizodama.)

---

* izvod formule:

Općenito, korisnost bilo kojeg (ne samo idealnoga Carnotovog) toplinskog stroja je, naravno, omjer uložene topline i dobivenog rada, odnosno:

Kod Carnotovog ciklusa omjer predane i primljene topline može ovisiti samo o temperaturama toplijeg i hladnijeg spremnika. Zato vrijedi:

Odnosno, taj omjer neiskorištene i primljene topline je neka funkcija tih dviju temperatura (još ne znamo koja je to funkcija). Zamislimo sad dva toplinska Carnotova stroja kao na slici:

 Možemo dobiti dva rezultata koji će nam biti važni za izvod. Prvi je ovaj:

Budući da ova dva toplinska stroja možemo prikazati kao jednoga koji ne ovisi o temperaturi T₂ to znači da se T₂ mora moći eliminirati iz formule za korisnost toga stroja, što je moguće ako je (još uvijek nepoznatu) funkciju f moguće izraziti preko neke druge (također još uvijek nepoznate) funkcije g na ovaj način:

Odnosno, g(T₂) će se pokratiti te dobijemo:

Podsjećam da još uvijek ne znamo što je funkcija g. Ali iz gornje sličice s dva Carnotova ciklusa možemo vidjeti da vrijedi i drugi važan rezultat:

Možemo zamisliti da dodajemo jedan iza drugoga još takvih Carnotovih strojeva sve niže temperature hladnijeg spremnika i svaki put bi se korisnost povećala na isti način. Iz toga zaključujemo da se radi o funkciji koja se jednoliko povećava, odnosno o proporcionalnom odnosu, pa je g(T)=c∙T, gdje je c neka nepoznata konstanta. Stoga

i kad pokratimo nepoznatu konstantu c dobijemo omjer koji vrijedi za Carnotov ciklus (a ne vrijedi za druge toplinske strojeve):

---

 

3.1. zašto je Carnotov ciklus najkorisniji?

Početkom 19. stoljeća razvoj toplinskih strojeva je bio u punom jeku, i inženjeri su se stalno domišljali kako ih popravljati da budu sve korisniji, pa se postavljalo pitanje granice, dokle je moguće povećavati korisnost takvih strojeva. Mladi Sadi Carnot je 1821. načelno riješio problem.

Sadi Carnot (1796.-1832.)

Svi učenici zapamte opću shemu toplinskog stroja:

Ono crveno se naziva “topliji spremnik” i kod realnih toplinskih strojeva se zapravo radi o gorivu koje izgara. Ali sad se bavimo idealnim, najkorisnijim kružnim procesom. Što je “topliji spremnik”? To je neki izvor topline koji daje toplinu a pritom ostaje na stalnoj jednakoj temperaturi. Jasno je da je to neki idealni izvor, budući da se ne hladi mada predaje toplinu. (To nije suviše nerealna situacija, ako je takav izvor puno veći od onoga čemu predaje toplinu, tad će njegovo hlađenje biti zanemarivo malo.) Dakle, prvi dio idealnog toplinskog ciklusa je izoterman: sustav prima toplinu (Q₁) uslijed kontakta s izvorom koji ima stalno jednaku temperaturu (T₁).

Da bi se uopće radilo o nekakvom stroju, on mora moći stalno na isti način ponavljati to što radi, dakle treba nam neki kružni proces, odnosno, trebamo se vratiti u točku A na grafu. Najjednostavnije bi bilo da se nakon izotermnog prijelaza iz A u B opet izotermno vrati iz B u A, tako da preda toplinu natrag spremniku. Ali, tad bi obavljeni rad bio jednak nula. (Rad je jednak površini ispod grafa, i za rast volumena je pozitivan a za smanjenje volumena negativan – ovdje bi pozitivni rad od A do B bio jednak negativnom radu od B do A, odnosno ukupni rad bi bio jednak nula). Dakle, povratak u početnu točku A treba ići drugačijim putem.

U svakom slučaju, da bi se sustav vratio u A potrebno je odvesti toplinu. Za odvođenje topline poslužit će nam još jedan idealni spremnik: onaj koji prima toplinu bez da se pri tom zagrije. Odnosno, i odvođenje topline bit će izotermno. Ali, da bismo imali neki rad, neku površinu unutar kružnog procesa, ta temperatura mora biti manja od početne. Ne želimo da sustav prima ili predaje toplinu na neki drugi način osim ovih idealnih (od toplijeg odnosno hladnijeg spremnika), pa se spoj između ta dva izotermna procesa treba odvijati izolirano i bez trenja s okolinom, odnosno treba biti adijabatski (bez izmjene topline s okolinom). Tako imamo ovakav idealni, Carnotov kružni proces (dvije izoterme i dvije adijabate).

Rad koji je obavljen pri tom procesu jednak je površini unutar grafa. Budući da se sve odvija bez trenja s okolinom, taj proces je reverzibilan, moguć je i u obratnom smjeru s jednakim vrijednostima, odnosno:

Pritom, naravno, umjesto da sustav obavlja rad, potrebno je od izvan obaviti rad na sustavu da bi toplina išla od hladnijeg prema toplijem spremniku. Kad bismo imali dva Carnotova toplinska stroja koji rade u suprotnim smjerovima, mogli bismo rad koji proizvede prvi iskoristiti za povratak u početno stanje.

Ukupan rad takva dva stroja bi, naravno, bio nula. Smisao ovoga primjera s dva Carnotova stroja je pokazati da se radi o potpuno reverzibilnom stroju.

Carnotovo načelo sad kaže:

Nijedan toplinski stroj ne može imati veću korisnost od Carnotovog toplinskog stroja.

Nema neke misterije u tome – stroj radi bez trenja s okolinom. Dokaz ide preko postupka koji se naziva reductio ad absurdum, gdje najprije pretpostavimo da je istina ono što želimo dokazati da je nemoguće, potom pokažemo da ta pretpostavka vodi u proturječje, čime smo dokazali da je to nije istina. Dakle, pretpostavimo da imamo toplinski stroj korisniji od Carnotovog. Tad bismo dio rada dobivenog takvim strojem mogli koristiti da pomoću obrnutog Carnotovog stroja bez obavljanja rada vratimo u topliji spremnik više topline nego smo uzeli.

Ili, još bolje, da vratimo sustav u početno stanje, a višak nam ostaje na raspolaganju. Taj postupak bismo mogli ponavljati da dobijemo bilo koliko energije bez ikakvog utroška (jer se sustav stalno vraća u početno stanje). Odnosno, dobili bismo nešto iz ničega. Takav toplinski stroj, korisniji od Carnotovog, ne može postojati.

[O entropiji u sljedećem nastavku.]

1.6. Cantorov dijagonalni dokaz: jesu li neke beskonačnosti veće od drugih? (neprebrojivost)

Ako parnih brojeva ili racionalnih brojeva ima koliko i prirodnih, odnosno , pa su stoga prebrojivi (mada ih je beskonačno), ima li toliko i realnih brojeva? I jednih i drugih ima beskonačno, dakle ima ih jednako? Zapravo ne. Cantor je pokazao da skup realnih brojeva nije prebrojiv, odnosno da realnih brojeva nema koliko i prirodnih.

Njegov tzv. „dijagonalni“ dokaz je zgodan. Zasnovan je na postupku reductio ad absurdum: najprije nešto pretpostavimo, potom u tome pronalazimo proturječje, i iz toga slijedi da je početna pretpostavka pogrešna.

Početna pretpostavka (koju želimo pobiti) jest da je skup realnih brojeva prebrojiv, odnosno, da realnih brojeva ima isto koliko i racionalnih (i prirodnih). Problem je kako poredati realne brojeve tako da ih možemo brojati. I racionalni brojevi i realni brojevi nemaju jasne prethodnike i sljedbenike; ipak za racionalne nije teško smisliti shemu, ali za realne je to pravi problem. No, pretpostavimo da smo uspjeli nekako poredati sve realne pa ih stoga možemo brojati. To je, dakle, početna pretpostavka (koju želimo pobiti): poredali smo sve realne brojeve u neku shemu. To ne ovisi o shemi po kojoj smo poredali realne brojeve – naprosto zamislimo da su poredani, kako god da se to dogodilo.

Drugi korak dokaza je pokazati da je ta pretpostavka da su svi realni brojevi poredani pogrešna. Za to je potrebno konstruirati realni broj koji sigurno nije na popisu. To možemo napraviti ovako: pogledamo prvu znamenku iza decimalnog zareza prvoga broja. Naš broj će imati različitu prvu znamenku od prve znamenke prvog broja (da bi se razlikovao od njega). Dakle, uzmemo neku različitu vrijednost prve znamenke (na slici prva znamenka iza decimalnog zareza prvoga broja jest 2, uzimamo neku drugu vrijednost npr. 7).

Reductio ad absurdum: uzmemo pretpostavljeni popis svih realnih brojeva i potom konstruiramo realni broj koji sigurno nije na popisu (za ovaj popis to je npr. 0.746894310875…).

Potom idemo na drugu znamenku i ponavljamo taj postupak: moramo uzeti neku različitu od druge znamenke drugoga broja da bismo bili sigurni da se naš broj razlikuje i od drugoga broja na listi (na slici je to različito od 9, npr. 4). I taj postupak nastavljamo u beskonačno – svaki korak osigurava da je naš broj različit od sljedećeg realnog broja. Na taj način konstruiramo realni broj koji sigurno nije na listi, odnosno, kojemu nije pridružen nijedan prirodni broj.

Time smo pokazali da je početna pretpostavka pogrešna, odnosno, da nema načina da poredamo sve realne brojeve tako da bi ih mogli prebrojati. Uvijek možemo konsturirati neki koji nije na popisu.

(Vidite li zašto isti ovakav dokaz ne vrijedi za racionalne brojeve?)

Dakle, skup realnih brojeva je neprebrojiv. Znači li to da realnih brojeva ima više nego racionalnih? Jesu li neke beskonačnosti veće od drugih?

1.5. ima li više parnih ili prirodnih brojeva? (prebrojivost)

Ima li više parnih prirodnih brojeva ili prirodnih brojeva (dakle parnih i neparnih ukupno)? Naravno, ako brojimo do bilo koje konačne vrijednosti N, onda će prirodnih brojeva biti dvostruko više nego parnih. Pa se najprije može činiti da je to jedan sasvim lak odgovor na ne baš pametno naslovno pitanje. Ali, ako krenemo brojati parne brojeve, onda imamo nešto ovako

2   4   6   8   10   12  14  16 …

1   2   3   4     5     6    7    8 …

Dakle, svaki prirodni broj broji jedan parni te nema nijednog prirodnog broja kojemu ne bi odgovarao neki parni, po jednostavnoj formuli PARNI=2∙PRIRODNI. Koliko god ima članova s lijeve strane ove jednakosti, toliko ima i s desne. Odnosno, parnih brojeva ima jednako koliko i prirodnih.

Ali kako je to moguće? Prirodni brojevi se sastoje od parnih i ne-parnih. Kako je moguće da parnih i neparnih brojeva zajedno ima isto koliko i samo parnih? Ta stvar je zbunjivala i neke od napametnijih ljudi prošlog tisućljeća, poput Leibniza i Galilea.

Galileo je pisao o vrlo sličnom problemu s nizom prirodnih brojeva koji su kvadrati prirodnih brojeva, dakle 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64 … I ovdje se ponavlja isti obrazac – kad brojimo te brojeve nijedan prirodni broj neće biti preskočen, odnosno svakom prirodnom broju odgovara jedan kvadrat. Pa bi slijedilo da kvadratnih brojeva ima jednako koliko i prirodnih brojeva, mada su mnogi prirodni brojevi nisu kvadratni – to se naziva Galileov paradoks. Galileo zaključuje ovako:

Koliko vidim, možemo samo zaključiti da je ukupnost svih [prirodnih] brojeva beskonačna, da je broj kvadrata beskonačan, i da je broj njihovih korijena beskonačan; niti je broj kvadrata manji od ukupnosti svih brojeva, niti je ono prvo veće od drugoga; i konačno, oznake ‘veće’, ‘manje’ i ‘jednako’ nisu primjenjive na beskonačne nego samo na konačne veličine.

Leibniz je također smatrao da ih ne može biti jednako. To bi naime značilo da pravi podskup nekog skupa ima jednako članova koliko i sam taj skup, a to bi kršilo Euklidov aksiom: „Cjelina je veća od dijela.“

No, krajem 19. stoljeća Cantor je sve skupove koje možemo brojati na prethodno opisani način nazvao prebrojivim, i ustvrdio da svaki od njih ima točno jednako članova. Taj broj članova, koji je naravno beskonačan, označio je hebrejskim slovom „alef“ uz indeks nula, dakle „alef nula“, što se označava sa .

Zanimljivo je i da racionalnih brojeva ima točno toliko. To nije očito kao u prethodnim primjerima, jer u njima svi članovi skupova nakon prvoga imaju točno određene prethodnike i sljedbenike, pa je jasno kako ih brojati. Ali nije jasno kako brojati racionalne brojeve – neki racionalni broj, npr. 2/7, nema prethodnika ni sljedbenika. Ipak, moguće ih je poredati tako da svi budu obuhvaćeni pri brojanju, i tako pokazati da je skup racionalnih brojeva prebrojiv (mada beskonačan), odnosno da ima alef nula racionalnih brojeva.

(Naravno, pri brojanju preskačemo one racionalne brojeve koje smo već brojali, npr. 2/4 budući da smo već brojali 1/2. Važno je samo da postoji poredak koji obuhvaća sve racionalne brojeve.)

A što vi mislite? Slažete li se s Galileom ili s Cantorom? Mislite li da su sve beskonačnosti jednako velike ili su neke veće od drugih? 🙂

2.2. Što fizika ne može znati?

Za početak jedan klasik dr. Sheldona Coopera:

Sheldon: I’m a physicist. I have a working knowledge of the entire universe and everything it contains
Penny: Who’s Radiohead?
Sheldon [after twitching for a minute]: I have a working knowledge of the important things

Ne radi se tek o osobnoj Sheldonovoj aroganciji: on vjeruje da zna ”čitav svemir i sve u njemu” ne zato što je jako pametni Sheldon Cooper, nego upravo zato što je fizičar! Otkud to? Ovo je njegova neizrečena pretpostavka: sve što se zbiva u svemiru u načelu se svodi na fiziku. Naša psihička stanja se svode na biologiju mozga, biologija na kemiju i fiziku, kemija na fiziku. I zaljubljenost i pjesništvo i nogometno umijeće na koncu se svode na funkcioniranje naših organizama, a oni se (barem u načelu) potpuno svode na fizikalne procese.

To se uvjerenje naziva ”fizikalizam”.

Općenito govoreći, fizikalizam je filozofska pozicija prema kojoj je sve što postoji
fizičke prirode. Točnije rečeno, to je pozicija prema kojoj postoji samo ono što priznaje
suvremena fizika. Ono što navodno nije fizičko, to zapravo ne postoji. Ista se pozicija često
naziva i materijalizam; ideja je da je sve što postoji u krajnjoj liniji materijalne prirode. Ne
smijemo se zabuniti, fizikalisti ne smatraju da mentalno ne postoji i da se tu nema što
objašnjavati. Mentalna stanja postoje, međutim, pitanje je kakva je njihova priroda. Fizikalist
smatra da su mentalna stanja zapravo samo jedna vrsta fizičkih – to su neurološka stanja naših
mozgova. Mentalna stanja su, isto kao i sve drugo što postoji, u krajnjoj liniji samo fizička stanja.
Ona su isto što i fizička stanja. Fizičko i mentalno jedno su te isto. Relacija između mentalnog i
fizičkog jest relacija identiteta. Pazite, fizikalist ne tvrdi da fizičko uzrokuje mentalno ili da ga
određuje. Kada bi to tvrdio, ne bi mogao tvrditi da su fizičko i mentalno jedno te isto, budući da
jedna stvar može uzrokovati ili određivati drugu samo ako se radi o dvije različite stvari, a prema
fizikalizmu, vidjeli smo, radi se o jednoj te istoj stvari. Za fizikalistu stanja mozga ujedno jesu
stanja svijesti. (Boran Berčić link)

Dakle, sve ono što se događa u bilo čijem iskustvu u načelu se na koncu svodi na fiziku. Tako kaže fizikalist (a neki fizičar ne mora biti fizikalist, kao što ni neki fizikalist ne mora biti fizičar).

Da se vratimo na prošli zapis, i na dva odgovora na pitanje što je zvuk. Naravno, zvuk jest mehanički longitudinalni val, rasprostiranje zgušnjenja i razrjeđenja kroz neko sredstvo. Tu je, jasno, sve sasvim fizičko. Što je s onim drugim odgovorom, da se zvuk zapravo odnosi na ono što mi doživljavamo (kad su frekvencije toga vala između 16 Hz i 20 kHz)? Je li taj mentalni doživljaj na koncu također nešto fizičko – niz stanja našega mozga, i ništa osim toga?

Evo jednog misaonog pokusa koji bi htio pokazati da je fizikalizam pogrešan.* Zamislimo znanstvenicu Jasnu, stručnjakinju za zvuk i za fiziologiju sluha i neurofiziologiju mozga. Jasna se bavi svime što je povezano sa zvukom i sluhom, i zna sva najnovija znanstvena istraživanja s tih područja. Ali, Jasna je gluha od rođenja.

U jednom trenutku, Jasna bude izliječena i čuje.

Pitanje je:

Je li Jasna time što je čula po prvi put naučila nešto novo?

Ako jest naučila nešto novo, treba reći da to nije mogla naučiti time da bi bila još bolja znanstvenica. Jedini način da to nauči bio je taj da sama doživi to iskustvo (da sama ima to ”mentalno stanje”). A to znači da ima u ”mentalnim stanjima” nešto što nije dostupno prirodnim znanostima (pa i na koncu fizici), nego je dostupno samo vlastitom iskustvu (naravno, čak i fizičarevom). Nečega čega ima samo ako netko čuje, dok ne postoji kad stablo padne u šumi i nema nikoga da ga čuje.

——

* Taj misaoni pokus je jedna varijanta ovoga.

2.1. Padne li stablo u šumi a nema nikoga da ga čuje…

Učenici trećih razreda su nedavno rješavali jedan upitnik o pojmu zvuka, u kojemu su, između ostalih, postavljena i sljedeća tri pitanja (bilo je ponuđeno još odgovora, ali za našu temu su zanimljiva samo ova dva):

 1. Koja od donjih tvrdnji bolje opisuje rasprostiranje zvuka kroz zrak?

a) Čestice zraka se gibaju na određeni način. Ovo gibanje proizvodi zvuk kada čestice zraka udare u slušateljev bubnjić. Zvuk ne postoji dok čestice zraka ne udare u bubnjić.

b) Čestice zraka se gibaju na određeni način. Zvuk je ovo gibanje čestica zraka.

2. Dovršite sljedeću rečenicu: Gibanje odnosno mirovanje čestica zraka koje si opisao/la u prethodnim pitanjima…

a) …stvara zvuk u slušateljevom uhu jer zvuk ne postoji dok čestice zraka ne udare u slušateljev bubnjić.

b) …jest zvuk.

3. Dovršite sljedeću rečenicu: Gibanje odnosno mirovanje čestica zraka koje si opisao/la u prethodnim pitanjima…

a) …nastaje prije stvaranja zvuka. Zvuk nastaje kad čestice zraka udare u slušateljev bubnjić i ne postoji prije toga.

b) …nastaje u isto vrijeme dok se zvuk propagira jer opisano gibanje čestica zraka jest zvuk.

 

Naravno, točnim odgovorom smatrao sam u sva tri slučaja b). Ali, odgovori pod a) postavljaju jedno staro i zanimljivo pitanje: ”Padne li stablo u šumi, a nema nikoga da to čuje, je li proizvelo zvuk?”

Mislio sam da je to pitanje zapravo koan, pitanje u japanskom zen buddhizmu koje nije namijenjeno tome da nađemo ispravan odgovor nego tome da naletimo na granicu gdje racionalnost ne uspijeva. Ali nije, nema veze s Japanom, poteklo  je od Georgea Berkeleya. Njegov odgovor na pitanje bio je ”ne”: ako nitko ne čuje, zvuk ne postoji. Isto pitanje mučilo i Lisu i Barta.

Lisa: If a tree falls in the woods and no one’s around, does it make a sound?

Bart: Absolutely! [makes sound of a tree falling]

Lisa: But Bart, how can sound exist if there’s no one there to hear it.

Bart: Wooooooo…

Da ne zlorabim te slavne likove, nastavit ću dijalog pod drugačijim imenima.

Tvrtko: Zvuk je mehanički val frekvencija od 16 Hz do 20 kHz. Zvuk nastaje više ili manje periodičnim titranjem izvora zvuka koji u neposrednoj okolici mijenja tlak medija, poremećaj tlaka prenosi se na susjedne čestice medija i tako se širi u obliku valova. Nije valjda da misliš kako poremećaji tlaka koji nastanu padom stabla ovise o našim bubnjićima?

Jasna: OK,  u pravu si ako prihvatim tvoju definiciju zvuka.

Tvrtko: Nije to ”moja definicija”. Ova je iz enciklopedije, ali ista stvar piše bilo gdje da potražiš.

Jasna: Ali, zašto je definiran baš tako, u rasponu od 16 Hz do 20 kHz?

Tvrtko: To je raspon u kojem čuje ljudsko uho.

Jasna: Eto vidiš, ipak ovisi o našem uhu. Način na koji definiraš zvuk povezan je s ljudskim sluhom. Bez nas ljudi možda postoje ta zgušnjenja i razrjeđenja zraka, ali ne postoji zvuk – jer bez nas taj raspon od 16 Hz do 20 kHz preko kojega definiraš zvuk nema nikakvoga smisla. Zvuk je definiran u odnosu na našu sposobnost da čujemo.

Ne znači da je dijalog dovršen – možete ga nastaviti. Možete li dati još argumenata za Tvrtka ili za Jasnu? Tko je u pravu?

1.4. Je li 0.999… = 1?

Znamo da je 1/3 = 0.333… Pomnožimo li obje strane s 3 dobijemo (1/3) * 3 = (0.333…) * 3, drugim riječima 1 = 0.999…

Brojevi koji se javljaju u gornjem dokazu su racionalni brojevi. To su brojevi koji su dobivaju dijeljenjem cijelog broja s prirodnim brojem. Uvijek ih možemo zapisati s konačno mnogo decimala, jer ako ih i nemaju konačno mnogo, ponavljajući se dio decimala može označiti točkicama – npr. 0.123123123… možemo zapisati kao 0.123 s točkicama iznad 1 i 3.

Kako je moguće da su dva različita broja (0.999… i 1) isti broj? Treba razlikovati brojeve i zapise brojeva. Koliko je ljudi u učionici ili koliko je minuta preostalo do kraja sata – u tim pitanjima nas zanimaju brojevi. Što se nalazi ispred upitnika u nazivu ovog posta? Odgovor će govoriti o zapisu nekog broja (u nekoj drugoj kulturi jedinica ispred upitnika možda označava neku riječ).

Brojevi su, obično se vjeruje, nešto nedohvatljivo i apstraktno, dok su zapisi brojeva (poput položaja kazaljki na satu ili traga olovke na papiru) nešto vrlo konkretno i dohvatljivo.

Što decimale doista nama znače? Ako zapišemo racionalni broj u konačnom obliku (s točkicama) u praksi zamišljamo kako se te decimale ponavljaju i ponavljanju u beskonačnost. I taj beskonačni raspis interpretiramo na način da u glavi konstruiramo broj: uzmi cjelobrojni dio i potom za svaku decimalu nakon decimalne točke: uzmi tu decimalu, podijeli ju s 10 potenciran na redni broj decimale, dobiveno dodaj na rezultat.

Ta je konstrukcija raspisanih zapisa (prelazak iz drugog u treće područje na slici) beskonačan proces. Uzmimo treći zapis sa slike. Uzimamo cjelobrojni dio (jedinicu) i potom za svaku decimalu u raspisanom zapisu (1, 2, 3, 2, 3, …) dodajemo redom 1/10, 2/100, 3/1000, 2/10000 itd. To je naša interpretacija beskonačnog raspisa, tako konstruiramo broj iz raspisanog zapisa.

Proces konstrukcije broja iz njegovog raspisanog zapisa moguće je promatrati kao sumiranje reda, gdje član (“pribrojnik”) reda izgleda ovako: (n-ta decimala ) / 10^n.

Mi doista na taj način razmišljamo o brojevima: uzimamo konačni zapis, u glavi ga “odmotavamo” i tako konstruiramo broj. Ako nema aktualne beskonačnosti, taj proces ne može imati kraja, odnosno broj nikad nije konstruiran. Ako nam zapis nekog broja nije u stanju reći koji broj zapisuje (jer je za dovršiti konstrukciju potrebno aktualno beskonačno mnogo koraka), ima li smisla govoriti da se radi o zapisu broja? Odustanemo li pak od (aktualno) beskonačno mnogo koraka i prekinemo postupak nakon konačno (ma koliko puno, ali konačno) mnogo koraka, konstrukcija broja iz zapisa 0.999… nas ne dovodi do 1.

1.3. Sastoji li se dužina od točaka?

Sastoji li se dužina od točaka?

”Dužina je skup točaka pravca, a sastoji se od dviju zadanih točaka A i B pravca i svih točaka pravca koje su između njih. Točke A i B su krajnje točke te dužine.” (link)

Ali, ako se dužina sastoji od točaka, a točka nema nikakvu duljinu, otkud dužini duljina?

Zenonov najdublji paradoks je u osnovi geometrijski. On zapravo pita imaju li krajnji sastojci neke dužine – dakle točke – duljinu različitu od nula, ili im
je duljina stvarno nula. Dužina je očigledno beskonačno djeljiva; dakle ima beskonačno mnogo krajnjih sastojaka. Ako imaju bilo koju duljinu veću od nula, tad, suprotno našoj pretpostavci, duljina dužine mora biti beskonačna. Bilo koji niz koji se sastoji od pozitivnih veličina jednakog iznosa ima beskonačnu sumu. No, ako je pak duljina doslovno nula, tad će, suprotno našoj pretpostavci, duljina segmenta biti nula.

Ovdje ne pomaže nikakvo sumiranje beskonačnog reda, jer se ne zbrajaju sve manji dijelovi, nego uvijek jednaki dijelovi, kao u 1 + 1 + 1 + 1+…

Za Aristotela, problema nema. Točka je granica dužine. Dužina ima točno dvije točke, A i B.

dužina AB

Naravno, moguće je (”potencijalno”) načiniti još bilo koliko točaka na toj dužini. Dužina se može dijeliti na potencijalno beskonačno mnogo manjih dužina (AA₁, A₁A₂, A₂A₃, …, A_nB) i tako načiniti beskonačno mnogo točaka na dužini.

Ali, to ne znači da se dužina već (”aktualno”) sastoji od beskonačno mnogo dijelova. Dužina se, naprosto, ne sastoji od dijelova, mada se može podijeliti na dijelove. Kao što se stablo nije sastojalo od cjepanica, mada je moglo biti podijeljeno na cjepanice.

Ipak, to gledište može biti problematično. Promotrimo neku dužinu na brojevnom pravcu, npr. s rubnim točkama 3 i 4.

Koliko ima realnih brojeva između 3 i 4? Beskonačno mnogo. Znači li to da na brojevnom pravcu već ima (”aktualno”) beskonačno mnogo točaka između 3 i 4? Jesu li one već tamo (”aktualno”), ili ih mi tek možemo (”potencijalno”) tamo dodati?

Dakle, ima li već (”aktualno”) beskonačno mnogo točaka na nekoj dužini (bila ona AB ili 34)? Ili točke dospijevaju na dužinu tek tako da tu dužinu dijelimo, što možemo činiti (”potencijalno”) u beskraj?

Ako ih već ima (”aktualno”) beskonačno mnogo, sastoji li se dužina od točaka? Je li dužina skup točaka i ništa osim toga? Ali otkud joj onda duljina?