1.1. Mora li zbroj beskonačno mnogo članova imati beskonačan iznos?

Zenon kaže (1.) da je Ahilu potrebno beskonačno mnogo ”koraka”, što podrazumijeva (2.) da mu za njih treba beskonačno mnogo vremena. Slijedi li nužno (2.) iz (1.)? Je li moguće da mu je za beskonačno mnogo ”koraka” dovoljno konačno mnogo vremena?

Komentator na Ahilu i kornjači, pod nadimkom Kairos, kaže:

Ovo je problem zbrajanja beskonačne serije … Ovo je matematički način rješavanja ovakvih paradoksa gdje se zbrajaju sve manji dijelovi beskonačno mnogo puta.

Dakle, izgleda da nam treba neko znanje iz matematike. U hrvatskom je u ovome matematičkom značenju za englesko series uobičajena riječ ”red”. Zbroj beskonačnog reda se uči iz matematike u 4. razredu, pa ga velika većina čitatelja još nije učila. Ovdje ću pojednostavljeno objasniti one zamisli koje su nam (možda?) potrebne za pitanje o Ahilu i kornjači. Naravno, iz matematike ćete redove učiti na pravi, strogi način.

Mora li zbroj beskonačno mnogo članova biti beskonačan?

Recimo zbroj 1 + 1 + 1 + … očito ide u beskonačno. Isto tako i zbroj 1 + 2 + 4 + 8 +… Vrijedi li to za svaki zbroj beskonačno mnogo članova? Znalaoc kaže:

… ako počnemo dijeliti tu duljinu na sve manje dijelove dođemo do zaključka da je taj prostor beskonačno djeljiv, znači beskonačan je…

Dakle, ako neka duljina ima beskonačno mnogo dijelova, onda je beskonačna? Ili nije? Kairos naglašava da ”se zbrajaju sve manji dijelovi”. Na primjer, je li ovaj zbroj beskonačan?

beskonacni red

Ne! Slika dovoljno govori:

infinite-series-square

Površina gornjeg lika očito nije beskonačna, mada ima beskonačno mnogo dijelova. beskonacni redima beskonačno mnogo članova, ali, budući da su ti članovi sve manji i manji, suma je konačna. U ovom slučaju, kao što se vidi iz slike, iznos sume je 1.

(Ili je ipak malo manji od 1? 😉 )

Evo još jednog primjera:

beskonacni red1

Dokaz:

220px-GeometricSquares_svg

Budući da površina gornjeg kvadrata očito nije beskonačna, jasno je da je suma konačan broj, bez obzira što je članova beskonačno mnogo. Vidite li iz slike da je ta suma 1/3? (Ili je stalno sve manje, ali uvijek još malo, malo, malo,… manja od 1/3? ;))

Dakle, moguće je zbrojiti beskonačno mnogo (sve manjih!) dijelova i dobiti konačan broj.

Sad, neki kažu da je se zbroj beskonacni reduvijek sve više približava iznosu 1, ali da nikad nije 1! Sigurno je da taj zbroj nije veći od 1 (svakako nije beskonačan). Ali je li 1 ili je malo manji od 1? Svaki novi pravokutnikić na ovoj slici približava površinu iznosu 1, ali nakon koliko pravokutnika će ona zapravo biti 1?

infinite-series-square

Da bi površina bila upravo 1, a ne skoro 1, potrebno je dodati beskonačno mnogo pravokutnikića. Što vi mislite, je li OK reći: jasno se vidi da na kraju suma mora biti 1, ili ipak treba cjepidlačiti s time da nema kraja nego se površina uvijek samo približava 1?

I, glavno pitanje: rješava li ovo Ahila i kornjaču?

Ako zbrojimo sve manja vremena t1 + t2 + t3 +… dobijemo li konačan ili beskonačan rezultat? Ako je konačan, što mislite je li taj rezultat jednak rezultatu kojega dobijemo ispravnim fizikalnim računom? Ako nije jednak, je li puno veći ili malo manji od fizikalno ispravnoga?

hnjo kaže:

mislim da je problem u tome što ovim načinom se vrijeme sve više smanjuje, i kad zbrojimo sve t-ove (beskonačno ih je) nikad nećemo dobiti ono vrijeme u kojemu će se oni susresti, a to je 10 sekundi

Što vi kažete? 🙂


Dodatak: Možemo izvesti formulu za računanje sume beskonačnog reda, kad su članovi po iznosu manji od 1. Općenito, suma 1 + x + x2 + x3 + … ima konačan rezultat ako je iznos x manji od 1. (Vidjeli smo da je npr. za vrijednosti x =1 ili x =2 ta suma beskonačna.) Kolika je ta suma? Recimo da je S. Dakle,

S = 1 + x + x2 + x3 + …

Sad pomnožimo obje strane jednakosti sa x.

S∙x = x + x2 + x3 + x4 + …

S desne strane to je isti izraz kao i ranije, samo bez 1! (Je li? 😉 ) Dakle

S = S∙x + 1

SS∙x = 1

S∙(1-x) = 1

i na kraju

suma geometrijskog reda.

(Dobijemo li za vrijednosti x = 1/2 i za x = 1/4 pomoću gornje formule iste rezultate kao što smo ranije dobili pomoću slika? Možemo li ovu formulu primijeniti na problem Ahila i kornjače?)

1.0. Ahil i kornjača

Započinjemo jednim slavnim paradoksom, o kojem sam nekima od vas već govorio na satu (neka vas to ne spriječi da komentirate).

Među zadatcima za pripremu državne mature iz fizike našao se i ovaj:

Ahil i kornjaca zadatak

Zadatak nije težak, dva jednolika pravocrtna gibanja. Od početka gibanja Ahila i kornjače do dostizanja prošlo je neko vrijeme t. Za to vrijeme su prešli putove:

skornjača = vkornjače · t,     sAhil = vAhil · t.

Ahil je prešao veći put, i to veći za njihovu međusobnu početnu udaljenost:

sAhil – skornjača =90 metara.

Slijedi

vkornjače · t  – vAhil · t = 90 metara

i kad se uvrste zadane brzine, dobije se da će Ahil će stići kornjaču za 10 sekundi; za to vrijeme će kornjača prijeći 1 m a Ahil 91 m. Grafički se to može prikazati ovako:

ahil i kornjaca 1

Naravno, tamo gdje se sijeku dva pravca, to je trenutak (na osi t) i mjesto (na osi x) dostizanja.

Što se tiče državne mature, to je točno rješenje, ono je jednoznačno, i tu nema ništa sporno. Ali, nije slučajno da su autori zadatka ovdje u glavne uloge postavili baš brzonogog Ahila i sporu kornjaču. Naime, to su glavni likovi jednog od slavnih Zenonovih paradoksa. (Paradoks čine iskazi koji su po svemu sudeći istiniti, ali međusobno proturječe). Zenon ovako nekako razmišlja:

Da bi Ahil stigao kornjaču, najprije mora doći do točke gdje je kornjača bila u trenutku kad je Ahil krenuo – nazovimo tu točku K1. Ahil je brzonog, pa će za kratko vrijeme prijeći tu udaljenost. No, u međuvremenu se kornjača pomaknula. Kornjača je spora pa nije mogla otići jako daleko – nazovimo tu točku K2. U svakom slučaju, Ahil sada (da bi stigao kornjaču) mora doći do dočke K2. No, dok Ahil dođe do točke K2, kornjača se pomaknula do neke točke K3, itd. Ahil svaki put (prije nego sustigne kornjaču) mora doći do mjesta gdje je kornjača prethodno bila, a kornjača će se svaki put u međuvremenu pomaknuti. Stoga Ahil nikad neće stići kornjaču.

Je li moguće naći grešku u Zenonovom razmatranju? Ja ne vidim grešku. Pa ipak, znamo (kao što je znao i Zenon) da Ahil hoće stići kornjaču. Dakle, imamo dva međusobno proturječna rezultata (”stići će ju za 10 s” i ”neće ju nikad stići”), bez da možemo pronaći pogrešku – to čini paradoks.

Ako se vratimo na naš maturalni zadatak, možemo ovaj problem prikazati i brojčano. Dok Ahil prijeđe 90 metara da bi došao do mjesta gdje je kornjača bila na početku, kornjača će se pomaknuti za 90/91 metara.

ahil i kornjaca 2

Dok Ahil prijeđe tih 90/91 metara, kornjača će se pomaknuti za 90/912 = 90/8281 metara. Zumirajmo na grafu dio nakon K1 – dakle, graf ne započinje od 0, nego od K1 i trenutka kad je Ahil stigao do K1 (kornjača je već stigla u K2).

ahil i kornjaca 3

Dok Ahil prijeđe tih 90/8281 metara kornjača će se pomaknuti za 90/913 = 90/753571 metara, itd. Zumirajmo na grafu dio nakon K2 – graf sad započinje od K2 i trenutka kad je Ahil stigao u K2 (kornjača je već stigla do K3).

ahil i kornjaca 4

Mogli bismo ponavljati te slike s početkom u K3, K4, K5, …, neograničeno, bez da ikad dođemo do točke susreta. Kad Ahil stigne do Kn kornjača je uvijek već u Kn+1. Očito je da se ta udaljenost (koju prijeđe kornjača dok Ahil stigne na mjesto gdje je ona maloprije bila) svaki put smanjuje za 91 puta, pa će nakon n ovakvih približavanja biti 90/91n . Ali, nakon koliko će puta udaljenost biti nula? Nikad.

Zamislimo da gledamo snimku te utrke snimljenu beskrajno sofisticiranom opremom. U trenutku kad Ahil prijeđe 90 metara, a kornjača se pomakne u točku K2, snimka se na čas zaustavi. Potom se snimka nastavi dok Ahil ne dođe u točku K2, a kornjača se pomakne u K3. Itd. Kad ćemo vidjeti da Ahil dostiže kornjaču? Nikad.

Ali, ako pustimo snimku da se odvija bez prekidanja, vidjet ćemo da Ahil dostiže kornjaču za 10 s.

Što mislite, u čemu je stvar? Zašto (naizgled?) ispravnim razmišljanjem dolazimo do očito pogrešnog rezultata, da Ahil neće stići kornjaču?

plinski zakoni: po čovjeku koji se zvao …

Budući da se uz izotermni, izobarni i izohorni proces navodi kako se odgovarajući zakoni nazivaju Boyle-Mariotteov, Gay-Lussacov i Charlesov zakon, postavilo se opravdano pitanje tko bijahu ta gospoda. Odlučih svoje neprimjereno neznanje po tom pitanju umanjiti jednosatnim proučavanjem wikipedije.

Tehnički preduvjet otkrivanja zakona izotermne promjene stanja plina bila je mogućnost mjerenja tlaka, odnosno Torricellijev izum barometra 1643. u Pisi. Robert Boyle, britanski fizičar, kemičar i teolog, član slavnoga Royal Society, prvi je, 1662., objavio eksperimentalnu potvrdu hipoteze da se pri konstantnoj temperaturi tlak i volumen plina stalne mase odnose obrnuto proporcionalno. (Radi vremenske orijentacije, Newtonovi zakoni objavljeni su 1687.) Evo njegovih rezultata:

Zanimljivo je da je Boyle hipotezu koju je eksperimentom potvrdio nazivao ”hipotezom gospodina Towneleya”. Tko je, pak, taj Towneley? Richard Towneley je manje poznati amater znanstvenik iz tog razdoblja koji se dopisivao s Boyleom. Njegov amaterizam je bio posljedica toga što je kao katolik tada u Engleskoj bio isključen iz javnog života pa nije mogao objavljivati. Srećom prodao je neku zemlju koju je naslijedio od familije, te nije morao ništa raditi nego se lijepo bavio fizikom, matematikom, astronomijom,… Tako da bi se zakon možda trebao zvati Boyle-Towneleyev zakon. Ali, ne zove se tako, nego Boyle-Mariotteov. Edme Mariotte bio je francuski fizičar i svećenik koji je 1676., neovisno o Boyleu, ponovo otkrio isti zakon. U engleskom govornom području taj se zakon naziva Boyleov zakon, a u ostatku svijeta, valjda uslijed djelovanja francuskog lobija, Boyle-Mariotteov.

Daljnji napredak je omogućen izumom i usavršavanjem termometra (Fahrenheit 1714.). Od ona tri naziva plinskih zakona učenicima je iz očitih razloga najzanimljiviji Gay-Lussacov zakon. Najprije, radi se o jednom čovjeku s dvostrukim prezimenom (različito od Boylea i Mariottea, koji su dvojica). Drugo, odgovor na najčešće pitanje je: vjerojatno nije. Joseph Louis Gay-Lussac oženio je 1809. Geneviève-Marie-Joseph, i imali su petero djece. Upoznali su se u prodavaonici tekstila gdje naš Gay-Lussac primijetio da mlada prodavačica ispod pulta drži udžbenik kemije, kojega čita u pauzama. Naravno, tada djevojke nisu učile prirodne znanosti, tako da ga je zainteresiralo njeno zanimanje za kemiju (a možda je nasjeo na namještaljku, tko zna). To je taj francuski fizičar i kemičar:

Važniji od njegovog prezimena je zakon po kojem su u plinu stalne mase i volumena tlak i temperatura proporcionalni. On ga je objavio 1802., ali je imenovanje zakona u ovom slučaju još spornije nego u prethodnome. Naime, izgleda da je još 1699. francuski fizičar Guillame Amontons objavio isti taj rezultat. Zašto je to bilo zaboravljeno, nisam uspio dokučiti.

Da je Gay-Lussac bio poštenjačina koja vjerojatno nije znala za Amontonsov rad, mogli bismo zaključiti stoga što je u istom izdanju iz 1802. objavio i zakon po su kojem u plinu stalne mase i stalnog tlaka temperatura i volumen proporcionalni, te ga nazvao ”Charlesov zakon”. Naime, on je taj zakon našao u neobjavljenom rukopisu francuskog izumitelja Jacquesa Charlesa napisanom dvadesetak godina prije. Dotični se Charles inače bavio balonima, pa je primijetio tu vezu temperature i volumena pri stalnom tlaku (tlak u balonu se stalno izjednačava s atmosferskim). Ali razlog za Gay-Lussacovo pošteno priznanje zasluga Charlesu moglo bi biti i to što je isti zakon otkrio slavni engleski kemičar John Dalton 1801., pa ionako ne bi bio pripisan njemu.

Dalton ipak nije ostao bez ”svoga” zakona zaslugom njegovog eksperimentalnog otkrića da je tlak mješavine plinova jednak zbroju ”parcijalnih” tlakova pojedinih komponenti – to se naziva Daltonovim zakonom. Gay-Lussac je ipak nešto i prvi otkrio, i to ništa manje nego da je omjer volumena vodika i kisika koji reagiraju u vodu upravo 2:1. Iz toga se, pomoću  Avogadrovog zakona, moglo zaključiti da dvije molekule vodika i jedna molekula kisika daju dvije molekule vode. (Talijanski prirodoslovac Amedeo Avogadro je, znate iz kemije, prvi pretpostavio da pri jednakim tlakovima i temperaturama jednaki volumeni različitih plinova sadrže jednaki broj molekula.) Ali, mada je Avogadrov zakon objavljen 1811., konsensus znanstvene zajednice oko njegovog prihvaćanja uspostavio se tek nakon 1860. Evo simpatičnog Amedea:

Kombiniranjem triju “plinskih zakona” o kojima ovdje govorimo s Avogadrovim zakonom francuski inženjer i fizičar Emile Clapeyron je 1834. formulirao jednadžbu stanja plina. Da se ta jednadžba može izvesti iz kinetičko-molekularne teorije plinova (kako smo to mi, doduše vrlo pojednostavljeno, izveli na satu) otkriveno je tek u drugoj polovini 19. stoljeća.