spin: baš kao kad se nabijena kuglica vrti – samo što nije kuglica i ne vrti se?

Slavni fizičar Wolfgang Pauli je 1925. skontao da je ono što nazivamo elektronskom konfiguracijom atoma određeno sa četiri tzv. kvantna broja, od kojih su prva tri cijeli brojevi, a četvrti kvantni broj, koji nas ovdje zanima, može poprimiti točno dvije vrijednosti: ili pozitivnu ili negativnu. Prva tri kvantna broja mogla su se otprilike povezati s pretpostavljenim gibanjem elektrona u atomu, ali bilo je nejasno što je taj četvrti kvantni broj. Znalo se samo da je nekako povezan sa nekom vrtnjom (naime s veličinom koja se naziva kutna količina gibanja iliti zamah, a koja je prije desetak godina ispala iz obaveznog dijela gimnazijskih programa fizike), te da vrtnju elektrona oko jezgre pokriva jedan od ostalih triju brojeva, tako da nije riječ o tome.

Dva tada sasvim mlada nizozemska fizičara, Samuel Goudsmit i George Uhlenbeck, iste su godine pretpostavili da se možda radi o vrtnji elektrona oko svoje osi: pa ako se elektron vrti oko svoje osi na jednu stranu (npr. u smjeru kazaljke na satu) onda je ta veličina pozitivna, a ako se vrti na suprotnu stranu onda je negativna.

.

Tu veličinu su zato sasvim primjereno nazvali spin, budući da ta riječ inače označava upravo takvu vrtnju oko svoje osi. I takvo objašnjenje se može još uvijek naći npr. u gimnazijskom udžbeniku iz kemije (Habuš, Tomašić, Liber, Opća kemija 1, izdanje 2013., str. 54., a slično i na str. 194.).

“Spin elektrona može se protumačiti vrtnjom elektrona oko vlastite osi.”

Slika u udžbeniku je u skladu s tim objašnjenjem da se elektron, osim oko jezgre, vrti i oko svoje osi:

.

Takvo objašnjenje je bilo (više-manje) u skladu i s pokusom Sterna i Gerlacha od par godina ranije. Naime, elektron je nabijena čestica, a nabijena čestica koja se giba (što je, otprilike, „električna struja“) stvara magnetsko polje. Kad se neka nabijena kuglica vrti oko svoje osi ona stvara magnetsko polje tako da jedan pol rotacije predstavlja sjeverni magnetski pol a drugi predstavlja južni magnetski pol. Utoliko se rotirajuće nabijene kuglice ponašaju kao mali magnetići sa sjevernim i južnim polom. Kad se takvi mali magnetići pošalju nekom brzinom u nehomogeno magnetsko polje ponašaju se kao na donjem videu. Ali kad se pošalju npr. elektroni, razdvajaju se u točno dvije skupine.

Iako je to razdvajanje u točno dvije skupine bilo jedan od mnogih čudnovatih kvantnih efekata, našim se junacima Goudsmitu i Uhlenbecku činilo da ima smisla pretpostaviti da je elektron nabijena kuglica koja se vrti oko svoje osi, i da je to barem dio objašnjenja te pojave koju su nazvali spin. Pa su i napisali rad sa tim svojim otkrićem, poslali ga svome mentoru kojemu se svidio, poslali ga u znanstveni časopis koji ga je prihvatio za objavljivanje. Sve je izgledalo sjajno dok njihov mentor nije taj još neobjavljeni rad poslao najvećem nizozemskom fizičaru, tad već starom Hendriku Lorentzu (kojega znate iz trećeg (magnetizam) i četvrtog (relativnost) razreda). Lorentza taj rad nije uvjerio: elektron, s tako malom masom koliku ima, ne može rotirati oko svoje osi dovoljno brzo da to objasni veličinu kutne količine gibanja (zamaha) koja proizlazi iz Paulijevih objašnjenja kvantnih brojeva. Dapače, primijetio je da, ako bi njihovo objašnjenje bilo točno, brzina površine elektrona pri toj vrtnji daleko prelazi brzinu svjetlosti, što zabranjuje teorija relativnosti!

Mladi Goudsmit i Uhlenbeck su brzo htjeli povući svoj rad, da se ne osramote tako već u svome prvom članku, ali prekasno! Časopis je već bio tiskan.

Sramota ili ne, ušli su u povijest, naziv spin je ostao, ali ne i njegovo objašnjenje kao „vrtnje elektrona oko vlastite osi“ (osim u gorenavedenom udžbeniku). Sad fizičari kažu da elektron ima svojstvo kutne količine gibanja (kao da se vrti oko svoje osi), ali to ne znači da se vrti oko svoje osi. U međuvremenu su fizičari i kemičari – opet nasuprot slikama u udžbenicima koje uglavnom odrede svačije zamisli o tome kakav je atomski i subatomski svijet – uglavnom odustali od zamisli da je elektron neka kuglica (jer ima i valna svojstva), te ga često prikazuju kao neki oblak (pa tako i na gornjem videu). Tako da, osim što se ne vrti (iako kao da se vrti) nije baš ni kuglica (iako nekad kao da jest kuglica, ali nekad uopće nije kao kuglica).

Mnogi kasniji pokusi su potvrdili da to svojstvo spina postoji, znamo rješavati jednadžbe koje računaju s tom veličinom, ali, kako je to često u kvantnoj mehanici koja se bavi atomskim i subatomskim svijetom, ne uspijevamo sebi dosljedno predočiti što se tu zapravo događa. Pa pokušaji objašnjenja spina, uključujući ovaj kojega ste upravo čitali, suviše često izgledaju poput naše naslovne rečenice.

5.2. što je to eter (u fizici)?

Riječ eter, poput mnogih drugih (npr. energija, elektron, itd.) ima grčko porijeklo, a u fizici se pojavljuje u 17. stoljeću s Descartesom (iliti Kartezijem, kako ga se ponegdje još naziva). On je smatrao da je osnovna značajka fizičkog svijeta ta da fizičke stvari zauzimaju neki prostor (za razliku od ne-fizičkoga, od onoga što mislimo, a što ne mora biti prostorno – tako npr. jednakost 2+7=9 ne zauzima neki prostor, ona je vrijedila i prije nego je itko to zapisao na nekoj površini ili čak formulirao negdje u prostoru mozga). Utoliko je smatrao da i sam prostor fizičkog svijeta nije prazan, nego je nešto tvarno. Taj ne prazni nego puni prostor nazvao je eterom. Eter nije opaziv vidom, dodirom, opipom, itd. ali, po Descartesu i mnogim fizičarima nakon njega, možemo zaključiti da postoji kao neki nevidljivi, tvarni medij.

Kako to možemo zaključiti? Na primjer: čest prigovor Newtonu za vrijeme njegovoga života bio je da svojom teorijom gravitacije iz 1687. uvodi magiju u fiziku! Naime skoro svi tadašnji prirodoznanstvenici smatrali su da na neko tijelo možemo djelovati silom jedino ako smo u dodiru s tim tijelom. Kako onda Zemlja može djelovati silom na Mjesec, ako se ne dodiruju, ako je između njih prazan prostor, dakle ništa? Odgovor kartezijanaca (sljedbenika Descartesa) bio bi: sila se prenosi eterom! Mjesec i Zemlja nisu u dodiru, ali eter dira i Mjesec i Zemlju (i sve ostale fizičke stvari), pa može prenijeti silu od Zemlje do Mjeseca.

Ali u Newtonovo doba već je ponovno postala popularna drevna Demokritova teorija o fizičkom svijetu kao praznom prostoru u kome se nalaze međusobno odvojene čestice. Zato se Newtonu zamjeralo da svojom silom gravitacije uvodi magijsko djelovanje na daljinu. Kao što u pričama čarobnjaci pomiču stvari bez da ih dodirnu, tako je mnogim prirodoznanstvenicima u Newtonovo doba izgledala ta sila koja između dva tijela djeluje na daljinu bez ikakvog posrednika, naime gravitacija. U odgovoru na takve primjedbe Newton je ustvrdio da je on dao pouzdan matematički zakon iz koga se može dobiti točan opis onoga što opažamo (npr. gibanja Mjeseca oko Zemlje) a da o mehanizmu kako se to događa nije rekao ništa. Ali ipak kaže:

to da jedno tijelo može djelovati na drugo na daljinu, kroz vakuum, bez da išta posreduje među njima, … za mene je toliki apsurd da ne vjerujem kako u njega može upasti ijedan čovjek koji u znanstvenim [philosophical] stvarima ima razvijenu sposobnost mišljenja.

Dakle, po pitanju gravitacije i Newton je bio sklon vjerovati u postojanje etera koji bi prenosio tu silu zrakopraznim prostorom, iako je smatrao da sama njegova teorija ne ovisi o tome postoji li eter. (Ipak, zar danas ne poučavamo Newtonovu teoriju gravitacije bez da spominjemo eter, baš kao da se kod gravitacije radi o djelovanju na daljinu? Pretpostavljamo li da učenici “u znanstvenim stvarima” nemaju “razvijenu sposobnost mišljenja”? 😉 )

Ali važnije za pojam etera bilo je pitanje o prirodi svjetlosti. Tu je Newton eter smatrao nevažnim. Njegova teorija o tome što je svjetlost je demokritovska, čestična: svjetlost je hrpa čestica koja se širi praznim prostorom. Različite boje svjetlosti posljedica su različitih čestica svjetlosti, a bijela svjetlost je smjesa tih čestica raznih boja (onako kako je npr. zrak smjesa različitih vrsta molekula).

Newtonovi suparnici (R. Hooke, Ch. Huyghens) držali su da je svjetlost val. Val nije ništa drugo nego rasprostiranje titranja: neka točka započne titrati, ostale koje su s njom povezane nekim silama također zatitraju i tako se širi to titranje, odnosno širi se val. Ali ako je svjetlost val, postavlja se pitanje: što titra dok se širi svjetlost? Na primjer, zvuk je val, i kad se zvuk rasprostire kroz zrak, titraju čestice zraka (odnosno molekule dušika, kisika, itd.). Kad se zvuk širi kroz vodu titraju molekule vode, kad se širi kroz željezničku tračnicu titraju atomi željeza, itd. Ali kad se svjetlost širi od Sunca do nas, što tu titra?

U to doba Toricelli je već pokazao postojanje vakuuma, zrakopraznog prostora (njegovog se pokusa sa živom zacijelo sjećate sa satova fizike), ali ne samo to: on je pokazao da svjetlost može prolaziti kroz vakuum, kroz zrakoprazni prostor. Što, dakle, titra kad val svjetlosti prolazi kroz vakuum?

Odgovor valne teorije svjetlosti u Newtonovo doba, pa sve do Einsteinove specijalne teorije relativnosti iz 1905. bio je: titra eter. Jedan nevidljivi, neopipljivi, elastični medij koji ispunja cijeli prostor (odnosno koji sam već jest tzv. „prazni” prostor) titra, i to titranje je svjetlost. Točnije u rasponu frekvencija od 3.8∙10¹⁴ Hz do 7.9∙10¹⁴ Hz, radi se o vidljivoj svjetlosti, koju možemo opaziti (vidjeti) dok se za titranja etera manje i veće frekvencije od tih radi o ultraljubičastoj i infracrvenoj svjetlosti (isto onako kako je zvuk titranje zraka ili vode itd. u rasponu frekvencija koje možemo čuti, a za manje i veće frekvencije radi se o ultrazvuku i infrazvuku). O frekvenciji titranja etera ovisi boja koju vidimo, baš kao što o frekvenciji titranja zraka (ili nekog drugog medija) ovisi ton kojega čujemo.

U 19. stoljeću valna teorija svjetlosti prevladala je nad Newtonovom čestičnom (vidi 6.1. valovi ili čestice?). Činilo se da je eter tu da ostane. Ali otprilike u isto doba u fiziku je uveden pojam polja (električnog i magnetskog, pa onda i po analogiji naknadno uvedenog i gravitacijskog polja). Ta polja se rasprostiru i kroz vakuum. S današnjeg gledišta čini nam se da je pojam polja dovoljan da odbacimo eter kao nepotrebnu hipotezu: ne treba nam neki medij koji titra, nego se u elektromagnetskim valovima mijenja jakost električnog i magnetskog polja, i to po jednom matematičkom obrascu koji je sličan jednadžbi vala, a svjetlost je elektromagnetski „val“ (odnosno svjetlost jest te promjene jakosti polja). Ali cijelo stoljeće nakon uvođenja pojma polja fizičari smatrali da je eter ona tvar koja prenosi polje. Ne samo svjetlost, nego bi i na primjer radio-valovi bili titranje etera, što se zadržalo kod naših radijskih i tv voditelja kad kažu „u eteru ste“, u značenju da se to što govore prenosi titranjem etera do slušatelja. Tek 1905. Einstein je pokazao da je hipoteza o eteru nepotrebna za objašnjenje rasprostiranja elektromagnetskih valova i tako dokrajčio eter. (Zanimljivo je da je Einstein od 1916. pa nadalje smatrao da bi za objašnjenje rasprostiranja gravitacijske sile čak bi bolje bilo da se pojam etera zadržao, ali već ga je bio nepovratno pokopao.) O tome vjerojatno u nekim budućim epizodama.       

6.2. je li Newton znao za Newtonove prstene (kolobare)?

Godinama sam strepio, tumačeći valnu optiku, od jednog učeničkog pitanja. Naime, objašnjavao bih: od kraja 1600-ih bile su dvije teorije o naravi svjetlosti, valna (Huygensova) i čestična (Newtonova), a kad je Young 1801. pokazao interferenciju svjetlosti dokazano je da je svjetlost val, budući da čestice ne mogu interferirati. I sve u redu, osim što bismo koji tjedan kasnije kao jedan od primjera interferencije svjetlosti radili i Newtonove prstene („kolobare”, kako ih se još uvijek često naziva). A to znači da je već Newton 135 godina prije Younga vidio interferenciju svjetlosti! Zašto onda nije – tako je glasilo pitanje kojega sam se bojao – odbacio čestičnu teoriju? A strepio sam jer nisam znao odgovor: u udžbenicima nema ništa o tome, Supekova Povijest fizike također šuti, wiki isto tako, zapravo cijeli internet (barem tada) preskače to pitanje. Srećom, nitko nije dovoljno pozorno pratio moja predavanja iz valne optike da bi postavio to pitanje. Taman negdje u doba kad sam konačno došao do kakvog-takvog odgovora Newtonovi su se prsteni prestali pojavljivati u programu gimnazijske fizike (i teško da će nekome nedostajati).

Ipak, ta priča može biti zanimljiva kao primjer u kolikoj mjeri standardne povijesti fizike, kakve se redovito prenose s koljena na koljeno u školama i fakultetima te u popularnoj znanosti, zapravo malo odgovaraju stvarnim zapletenim događanjima.

Što su Newtonovi prsteni? Postavimo li leću na staklenu ploču u sredini leće vidjet ćemo niz koncentričnih raznobojnih kružnica s tamnim središtem. Ako se pri tome radi o jednobojnoj svjetlosti, tad će to biti niz svijetlih i tamnih kružnica („prstena”, „kolobara”). Objašnjenje pojave je ovakvo: zraka svjetlosti S pri prijelazu iz leće u zrak djelomično se reflektira (u točki B), a dio koji je prošao i dospio na granicu između zraka i staklene ploče također se djelomično reflektira (u točki D).

Te dvije reflektirane zrake (R1 i R2) mogu međusobno interferirati (npr. u našem oku) i pri destruktivnoj interferenciji stvoriti tamne pruge. Otud taj zanimljivi efekt.

Budući da to gdje će se dogoditi konstruktivna a gdje destruktivna interferencija ovisi o valnoj duljini, odnosno boji svjetlosti, za bijelu svjetlost koja je skup različitih boja na različitim udaljenostima od središta vidimo pojačanja i slabljenja različitih boja.

Newton je tu pojavu proučavao 1666., nakon sličnih pokusa Roberta Hookea, jednoga od svojih mnogih znanstvenih suparnika. Dakle, nije tek Youngov pokus iz 1801. pokazao interferenciju svjetlosti: 135 godina prije fizičari su mogli vidjeti interferenciju svjetlosti. Zašto je onda tek Youngov pokus presudio u korist valne teorije svjetlosti? Zašto Newton, kad je vidio interferenciju svjetlosti u Newtonovim prstenima, nije priznao da je svjetlost val (kao što je tvrdio između ostalih i Hooke)? Ali čak i ako se Newton osobno tvrdoglavio, zašto su ga ostali fizičari uvelike slijedili? I zašto su uglavnom prestali nakon Youngova pokusa, ako je on pokazao interferenciju koju su već odavno prije pokazivali i Newtonovi prsteni?

Povijest fizike kakvu pripovijedamo pri učenju fizike u pravilu se svodi na ono što blagonaklono nazivamo „racionalna rekonstrukcija povijesti” (a manje blagonaklono „mitska povijest znanosti”). Tu zanemarujemo mnogobrojne krive teorije, osobne tvrdoglavosti, trenutne mode, podilaženje autoritetima, sve ono „suviše ljudsko” što se zapravo događalo pri razvoju fizike, i uzimamo samo one vidove njene povijesti koji se s današnjeg gledišta mogu racionalno opravdati. Pa onda dobijemo takvu pripovijest: bile su dvije teorije (valna i čestična), i između njih je presudio pokus (Youngov). Ali zapravo je bilo i pokusa prije Youngovog koji su pokazivali interferenciju svjetlosti, a i desetljećima nakon toga pokusa bilo je fizičara koji su se držali čestične teorije svjetlosti. Kao što je rekao slavni fizičar Max Planck:

Nova znanstvena istina ne nadvladava uvjerivši svoje suparnike tako da bi je oni jasno uvidjeli, nego prije stoga što vremenom njeni suparnici umru, dok izniče nova generacija koja je prisna s njom.

I tu je razlog zašto je Youngov pokus doveo do preokreta od čestičnog prema valnom objašnjenju optičkih pojava: mnogo mladih fizičara je nakon tog pokusa došlo na zamisao da bi i sami mogli smisliti neki pokus koji bi pokazivao interferenciju, i time „steći ime” u svijetu fizike. Pa tako imamo Fresnelovu biprizmu (1819.), Frauhofferovu optičku rešetku (1821.), Lloydovo zrcalo (1834.), Billetovu dvostruku leću (1854.), itd. Valno tumačenje svjetlosti postalo je plodno tlo istraživanja za mlade fizičare i oni su se (puno više nakon Fresnelovih objašnjenja nego nakon samog Youngovog pokusa) pretežno uputili u tome smjeru, i tako došli do toliko mnogo potvrda valne teorije da je ona postala općeprihvaćenom negdje od 1830-ih nadalje. Youngov pokus nije bio „presudni pokus” u smislu da bi nakon njega odjednom svi racionalno prihvatili valnu prirodu svjetlosti kao jedino objašnjenje, nego u smislu da je pokrenuo niz sličnih pokusa i teorijskih razmatranja koji su onda zajedno doveli do toga prihvaćanja.

A zašto Newton nije još 1660-ih prihvatio da je to što vidi interferencija? Budući da je on tu pojavu gledao u bijeloj svjetlosti, vidio je raznobojne prstene i smatrao da je ta pojava srodna onoj koju je vidio u optičkoj prizmi, gdje se bijela svjetlost razlaže na razne boje. A to je objašnjavao kao raspršivanje različitih čestica svjetlosti. Međutim, Hooke ga je razuvjerio, pokazavši mu da kod prstena obrasci boja ne moraju odgovarati onima iz pokusa s prizmom (dakle redoslijedu duginih boja), zato što ovdje nemamo samo raspršenje boja, nego i pojačanje nekih boja a slabljenje nekih drugih (odnosno konstruktivnu i destruktivnu interferenciju). Naposljetku je Newton odlučio pričekati s objavljivanjem svoje knjige o optici sve do Hookeove smrti (Hooke je umro 1703. a Opticks je objavljena 1704.), a u njoj zapravo na određeni način kombinira valnu i čestičnu teoriju pri objašnjenju ove pojave. Otprilike je to objašnjenje išlo ovako: kad čestica svjetlosti naiđe na granicu dvaju sredstava (kod Newtonovih prstena to je pri prijelazu iz leće u zrak, i opet pri prijelazu iz zraka u staklenu ploču) može se reflektirati ili transmitirati. Postoje mjesta lakše refleksije i lakše transmisije (vidi sliku). Ali o čemu ovisi gdje je lakša refleksija a gdje je lakša transmisija?

Periodičnost te pojave uputila ga je da kombinira gibanje svjetlosne čestice s rasprostiranjem vala u sljedećoj hipotezi: pretpostavio je da utjecaj čestice svjetlosti na površinu prozirnog sredstva potiče titranja koja se njime rasprostiru, baš poput valova na vodi ili zvuka kad kamen udari o površinu vode. Tako bi čestica svjetlosti i val kojega je prouzročila zajedno prelazili u prozirno sredstvo. Val, budući da je brži od čestice, prestiže je: kad je čestica na onome dijelu vala koji pomaže njenom gibanju ona može lako proći kroz površinu tog sredstva, a kad je na onome dijelu vala koji se suprotstavlja njenom gibanju ona teško prolazi kroz površinu pa se lakše reflektira.*

Sam Newton nije objašnjenje formulirao matematički nego samo pomoću slike i takvoga opisa riječima. Moglo bi se tu postaviti mnoštvo pitanja, ali za njima nema potrebe budući da je to objašnjenje ionako propalo naspram jasnijeg i matematički egzaktnog valnog (koje je također ostvareno tek 1800-ih, jer ni Hooke ni Huygens nisu svoju valnu teoriju razvili dovoljno da matematički objasne Newtonove prstene).

---

* Navod iz S. Sakkopoulos, Newton’s Theory of Fits of Easy Reflection and Transmission, članak iz 1987.

6.1. valovi ili čestice?

Od Huygensa i Newtona (kraj 17. stoljeća) trajala je dvojba radi li se kod svjetlosti o valovima ili hrpi čestica. Ta dvojba je u 19. stoljeću riješena u korist valova, otkrićem interferencije i ogiba svjetlosti, potom polarizacije svjetlosti, i konačno elektromagnetskih valova. Ali početkom 20. stoljeća u Einsteinovom objašnjenju fotoelektričnog učinka (i u nekim drugim pojavama) imamo povratak čestične teorije o svjetlosti, u pojmu „fotona“.

U čemu je zapravo dvojba? Zar i kod valova nisu prisutne neke čestice koje titraju? Zašto bi te dvije slike – valna ili čestična – bile neuskladive?

Ključna se razlika možda najbolje može objasniti na pojavi interferencije koja je karakteristična za valove a nije za čestice.

Zamislite dvije čestice koje idu jedna prema drugoj, i dva vala koji idu jedan prema drugome. Dvije čestice će se sudariti, možda odbiti jedna od druge. A dva vala?

Ako se susretnu brijeg i brijeg (ili dol i dol) val će se pojačati. Ako se susretnu brijeg i dol val će oslabiti (ili se čak potpuno poništiti ukoliko su im amplitude jednake). Ta pojava se naziva interferencija (konstruktivna kod pojačavanja, destruktivna kod slabljenja). U oba slučaja valovi će, za razliku od čestica, jednostavno proći jedan kroz drugoga.

Ako imamo jednu česticu i još jednu česticu, prirodno vrijedi 1 + 1 = 2. Ako imamo jedan val i još jedan val, oni zajedno, ovisno o položaju i trenutku, daju novi val koji ima za amplitudu bilo koji broj od 0 do 2. To je zato što se pri susretu dva vala mogu poklopiti brijeg i brijeg, pa imamo dvostruku amplitudu

ili se poklope brijeg i dol, pa je amplituda nula

ili neka druga kombinacija daje bilo koju vrijednost u rasponu od nula do dvostruke amplitude. 

Ukoliko imamo dva izvora vala, onda će se oko njih pojaviti karakteristični obrasci interferencije, sa pojačanjima (konstruktivna) i slabljenjima/poništenjima (destruktivna).

Kako možemo znati je li nešto – npr. svjetlost – hrpa čestica ili val? Tako da potražimo interferenciju. Ukoliko pokazuje interferenciju, radi se o valnoj pojavi.

Zamislimo pokus gdje kroz dva otvora na zidu šaljemo najprije neke makroskopske čestice (npr. loptice ili metke) a potom valove (npr. valove na vodi). U oba slučaja najprije je jedan otvor zatvoren a drugi otvoren, potom je drugi otvoren a prvi zatvoren, a potom su oba otvorena. Za čestice (i lopte/metke i elektrone) bilježimo broj udaraca na pojedinom mjestu zida/mete, a za valove mjerimo jakost vala na pojedinom mjestu zida/mete.

(1) Ako šaljemo makroskopske čestice te bilježimo gdje udaraju nakon prolaska i brojimo udarce na pojedinom mjestu, dobijemo neku ovakvu raspodjelu učestalosti udaraca.

P1 je raspodjela koliko čestica udari na koje mjesto na zidu kad je otvoren samo prvi otvor, P2 kad je otvoren samo drugi, a P12 je kad su otvorena oba. Za makroskopske čestice jednostavno vrijedi P12 = P1 + P2. Kad su oba otvora otvorena isto je kao zbroj prethodnih situacija kad je bio otvoren samo jedan i kad je bio otvoren samo drugi. Naravno, jedna čestica prolazi uvijek samo kroz jedan otvor.

(2) Ako šaljemo valove raspodjela je za prva dva slučaja, kad je samo jedan otvor otvoren, posve jednaka kao kod čestica. Jakost vala I1 na ovoj slici je ista kao raspodjela čestica P1 na prethodnoj (također je i I2 isto kao P2). Ali kad su oba otvora otvorena dobijemo posve različitu sliku – jakost valova I12 je sasvim drugačija od raspodjele udaraca čestica P12. Radi interferencije negdje je jakost vala pojačana, a negdje se valovi potpuno ponište:

Jakost vala kroz dva otvora nije naprosto zbroj I1 + I2 nego imamo karakterističan obrazac interferentnog pojačanja i slabljenja vala. Treba primijetiti da val (za razliku od čestica) može prolaziti istodobno kroz oba otvora. 

Da bi utvrdio je li svjetlost val ili hrpa čestica Thomas Young je početkom 19. stoljeća napravio taj pokus. Na igraćoj karti je načinio dva vrlo tanka i vrlo bliska proreza, kroz njih poslao svjetlost i na zidu dobio interferenciju: nije dobio dvije svijetle crte za dvije pukotine, kao što bismo očekivali prije učenja fizike, nego je dobio niz svijetlih i tamnih pruga – svijetle tamo gdje je interferencija konstruktivna, a tamne tamo gdje je interferencija destruktivna.

Time je konačno ( 😉 ) dokazano da je svjetlost val, a ne hrpa čestica. Hrpa čestica ne bi davala svijetle i tamne pruge (odnosno obrazac interferencije valova kao na drugoj slici) nego dvije svijetle crte (odnosno obrazac udaraca čestica kao na prvoj slici).

Fizičari su to pitanje mogli smatrati riješenim za sljedećih stotinjak godina, točnije do 1905. (a učenici ga mogu smatrati riješenim od učenja Youngovog pokusa pa do učenja fotoelektričnog učinka koji mjesec kasnije).  

4.1. Laplaceov (ili Boškovićev) demon (ili genij)?

U fizici su zbivanja općenito predodređena silama koje djeluju i početnim uvjetima – npr. pri horizontalnom hicu potrebno je znati početnu visinu, početnu brzinu i sile koje djeluju (ako je trenje sa zrakom zanemarivo, onda je to sila teža).

Znamo li sile i početne uvjete, tad možemo točno predodrediti gdje će tijelo pasti.

Slavni matematičar i astronom Pierre-Simon Laplace smatrao je da se takva predodredivost (ili determinizam) u načelu može proširiti na sve što se zbiva u svijetu.

Sadašnje stanje svemira možemo smatrati učinkom njegove prošlosti i uzrokom njegove budućnosti. Neki razum koji bi u određenom trenutku znao sve sile koje pokreću prirodu, i sve položaje svih stvari od kojih je priroda složena, i ako bi taj razum bio dovoljno velik da podvrgne te podatke analizi, obuhvatio bi u jednoj formuli gibanja od najvećih svemirskih tijela do najsićušnijih atoma; za takav razum ništa ne bi bilo neizvjesno i budućnost bi mu bila pred očima podjednako kao i prošlost.

Taj “razum” koji bi sve to znao kasnije je nazvan Laplaceovim demonom (ili, ponegdje, Laplaceovim genijem, da se izbjegnu zloćudni prizvuci riječi demon). Mada bi taj razum očito bio nadmoćan našemu, valja uočiti da ne bi imao neke drugačije moći od nas, nego bi radio samo ono što fizičari rade, samo puno bolje. Po Laplaceovoj tezi sve što se zbiva potpuno je predodređeno prirodnim zakonima i početnim uvjetima. Ako bacim ovaj novčić u zrak ne znam doduše hoće li on pasti na lice ili naličje, ali pouzdano znam da je to potpuno predodređeno početnom brzinom i položajem novčića, te silama koje djeluju na njega. Čitav svemir, živa bića, ljudska svijest, sve to su tek vrlo složeni mehanizmi… Pa čak i ako ne znamo sve prirodne zakone, pa i ako možda ne možemo dovoljno točno saznati početne uvjete za svaki sustav kojega bismo mogli proučavati, ipak, po determinističkoj tezi, znamo da je sve determinirano tim prirodnim zakonima i početnim uvjetima. Nema ničega zapravo ”slučajnog”, i nema zapravo nikakve ”slobode odabira” – i jedno i drugo su tek prividi, odnosno, posljedice našeg nepotpunog poznavanja stanja stvari, a ne posljedice samog stanja stvari.

Mada se uobičajilo navoditi Laplacea kao prvog zastupnika determinističke teze, njemu u tome prethodi naš Ruđer Bošković.

Spoznavši pak zakon sila, zatim položaj i brzinu, smjer svih točaka u zadanom vremenu, takav bi um mogao predvidjeti sva nužna buduća stanja i sve nužne pojave u prirodi koje o njima ovise i tako prorokovati, i jednim jedinim lukom opisanim od bilo koje točke u kontinuiranom vremenu, pa ma kako kratkom, koji bi bio dovoljno razumljiv nekom ljudskom umu, taj isti um mogao bi odrediti svaki ostali potez te iste kontinuirane krivulje koja se s jedne i druge strane proteže u beskonačnost. (ThPN §385)

Kao što odavno reče Ksenofan, ništa čudno da fizičari boga zamišljaju kao uvećanog fizičara. 🙂

Etiopljani tvrde da su im bogovi tuponosi i crni, Tračani da su plavooki i riđokosi, a kad bi volovi, konji i lavovi imali ruke i mogli njima slikati i stvarati djela kao ljudi, slikali bi likove bogova i davali im tijelo kakvo upravo i sami imaju: konji nalik na konje, volovi na volove, [a lavovi na lavove]. (fr. 15)

Ali da bi takav “bog-fizičar”, koji ne djeluje nego samo promatra, mjeri i računa, mogao iz početnih uvjeta i prirodnih zakona unaprijed sve proračunati, deterministička teza morala bi biti točna: boja kombajna u 22. stoljeću, ili vaše mišljenje o ovome tekstiću, bili bi zapravo predodređeni već u trenutku Velikog praska.

---

Anketica:

3.2. što je zapravo ta entropija (termodinamička)?

Da bismo razumjeli termodinamičku definiciju entropije potrebno je poći od ove jednakosti koja vrijedi samo za idealni Carnotov kružni proces.

[Da ne preplašim dio potencijalnih čitatelja prebacujem  na dno izvod te jednakosti koji doduše zahtijeva malo strpljenja s matematikom, ali se isplati se radi potpunijeg razumijevanja.*]

Dakle omjer toplina koje Carnotov stroj primi i preda jednak je omjeru temperatura toplijeg i hladnijeg spremnika. Drugim riječima postoji neka veličina koja je za idealni, reverzibilni toplinski proces očuvana, stalno jednaka:

Lako je pokazati da za ne-idealne, manje korisne strojeve ta nejednakost ne vrijedi. Budući da je korisnost nekog takvog stroja

a korisnost Carnotovog stroja

onda je lako vidjeti da iz toga što je korisnost realnog stroja manja ili jednaka idealnome η_R ≤ η_C slijedi da za realne toplinske strojeve vrijedi

Dakle, ta veličina ostaje jednaka za idealne, reverzibilne toplinske procese, a povećava se za realne, ireverzibilne procese. Rudolf Clausius je tu veličinu nazvao entropija S. (Zapravo, ta veličina je jednaka promjeni entropije ΔS a razlog zašto je definirana tako preko promjene ima veze s integralima, što nas ovdje još ne treba zanimati.) Vrijedi, dakle, općenito

S_konačna ≥ S_početna

za bilo koji termodinamički proces izoliran od okoline (jednakost ako se radi o reverzibilnom a nejednakost ako se radi o ireverzibilnom procesu). Razlika između konačne i početne entropije pokazuje koliko proces odstupa od reverzibilnoga. To ne vrijedi samo za toplinske strojeve, nego općenito, zato što između bilo koje dvije različite temperature možemo zamisliti Carnotov reverzibilni proces (pri kojem entropija ostaje jednaka) i usporediti ga sa stvarnom promjenom (pri kojoj entropija raste).

(Osim ove definicije entropije postoje i druge, o čemu možda u budućim epizodama.)

---

* izvod formule:

Općenito, korisnost bilo kojeg (ne samo idealnoga Carnotovog) toplinskog stroja je, naravno, omjer uložene topline i dobivenog rada, odnosno:

Kod Carnotovog ciklusa omjer predane i primljene topline može ovisiti samo o temperaturama toplijeg i hladnijeg spremnika. Zato vrijedi:

Odnosno, taj omjer neiskorištene i primljene topline je neka funkcija tih dviju temperatura (još ne znamo koja je to funkcija). Zamislimo sad dva toplinska Carnotova stroja kao na slici:

 Možemo dobiti dva rezultata koji će nam biti važni za izvod. Prvi je ovaj:

Budući da ova dva toplinska stroja možemo prikazati kao jednoga koji ne ovisi o temperaturi T₂ to znači da se T₂ mora moći eliminirati iz formule za korisnost toga stroja, što je moguće ako je (još uvijek nepoznatu) funkciju f moguće izraziti preko neke druge (također još uvijek nepoznate) funkcije g na ovaj način:

Odnosno, g(T₂) će se pokratiti te dobijemo:

Podsjećam da još uvijek ne znamo što je funkcija g. Ali iz gornje sličice s dva Carnotova ciklusa možemo vidjeti da vrijedi i drugi važan rezultat:

Možemo zamisliti da dodajemo jedan iza drugoga još takvih Carnotovih strojeva sve niže temperature hladnijeg spremnika i svaki put bi se korisnost povećala na isti način. Iz toga zaključujemo da se radi o funkciji koja se jednoliko povećava, odnosno o proporcionalnom odnosu, pa je g(T)=c∙T, gdje je c neka nepoznata konstanta. Stoga

i kad pokratimo nepoznatu konstantu c dobijemo omjer koji vrijedi za Carnotov ciklus (a ne vrijedi za druge toplinske strojeve):

---

 

3.1. zašto je Carnotov ciklus najkorisniji?

Početkom 19. stoljeća razvoj toplinskih strojeva je bio u punom jeku, i inženjeri su se stalno domišljali kako ih popravljati da budu sve korisniji, pa se postavljalo pitanje granice, dokle je moguće povećavati korisnost takvih strojeva. Mladi Sadi Carnot je 1821. načelno riješio problem.

Sadi Carnot (1796.-1832.)

Svi učenici zapamte opću shemu toplinskog stroja:

Ono crveno se naziva “topliji spremnik” i kod realnih toplinskih strojeva se zapravo radi o gorivu koje izgara. Ali sad se bavimo idealnim, najkorisnijim kružnim procesom. Što je “topliji spremnik”? To je neki izvor topline koji daje toplinu a pritom ostaje na stalnoj jednakoj temperaturi. Jasno je da je to neki idealni izvor, budući da se ne hladi mada predaje toplinu. (To nije suviše nerealna situacija, ako je takav izvor puno veći od onoga čemu predaje toplinu, tad će njegovo hlađenje biti zanemarivo malo.) Dakle, prvi dio idealnog toplinskog ciklusa je izoterman: sustav prima toplinu (Q₁) uslijed kontakta s izvorom koji ima stalno jednaku temperaturu (T₁).

Da bi se uopće radilo o nekakvom stroju, on mora moći stalno na isti način ponavljati to što radi, dakle treba nam neki kružni proces, odnosno, trebamo se vratiti u točku A na grafu. Najjednostavnije bi bilo da se nakon izotermnog prijelaza iz A u B opet izotermno vrati iz B u A, tako da preda toplinu natrag spremniku. Ali, tad bi obavljeni rad bio jednak nula. (Rad je jednak površini ispod grafa, i za rast volumena je pozitivan a za smanjenje volumena negativan – ovdje bi pozitivni rad od A do B bio jednak negativnom radu od B do A, odnosno ukupni rad bi bio jednak nula). Dakle, povratak u početnu točku A treba ići drugačijim putem.

U svakom slučaju, da bi se sustav vratio u A potrebno je odvesti toplinu. Za odvođenje topline poslužit će nam još jedan idealni spremnik: onaj koji prima toplinu bez da se pri tom zagrije. Odnosno, i odvođenje topline bit će izotermno. Ali, da bismo imali neki rad, neku površinu unutar kružnog procesa, ta temperatura mora biti manja od početne. Ne želimo da sustav prima ili predaje toplinu na neki drugi način osim ovih idealnih (od toplijeg odnosno hladnijeg spremnika), pa se spoj između ta dva izotermna procesa treba odvijati izolirano i bez trenja s okolinom, odnosno treba biti adijabatski (bez izmjene topline s okolinom). Tako imamo ovakav idealni, Carnotov kružni proces (dvije izoterme i dvije adijabate).

Rad koji je obavljen pri tom procesu jednak je površini unutar grafa. Budući da se sve odvija bez trenja s okolinom, taj proces je reverzibilan, moguć je i u obratnom smjeru s jednakim vrijednostima, odnosno:

Pritom, naravno, umjesto da sustav obavlja rad, potrebno je od izvan obaviti rad na sustavu da bi toplina išla od hladnijeg prema toplijem spremniku. Kad bismo imali dva Carnotova toplinska stroja koji rade u suprotnim smjerovima, mogli bismo rad koji proizvede prvi iskoristiti za povratak u početno stanje.

Ukupan rad takva dva stroja bi, naravno, bio nula. Smisao ovoga primjera s dva Carnotova stroja je pokazati da se radi o potpuno reverzibilnom stroju.

Carnotovo načelo sad kaže:

Nijedan toplinski stroj ne može imati veću korisnost od Carnotovog toplinskog stroja.

Nema neke misterije u tome – stroj radi bez trenja s okolinom. Dokaz ide preko postupka koji se naziva reductio ad absurdum, gdje najprije pretpostavimo da je istina ono što želimo dokazati da je nemoguće, potom pokažemo da ta pretpostavka vodi u proturječje, čime smo dokazali da je to nije istina. Dakle, pretpostavimo da imamo toplinski stroj korisniji od Carnotovog. Tad bismo dio rada dobivenog takvim strojem mogli koristiti da pomoću obrnutog Carnotovog stroja bez obavljanja rada vratimo u topliji spremnik više topline nego smo uzeli.

Ili, još bolje, da vratimo sustav u početno stanje, a višak nam ostaje na raspolaganju. Taj postupak bismo mogli ponavljati da dobijemo bilo koliko energije bez ikakvog utroška (jer se sustav stalno vraća u početno stanje). Odnosno, dobili bismo nešto iz ničega. Takav toplinski stroj, korisniji od Carnotovog, ne može postojati.

[O entropiji u sljedećem nastavku.]

1.0. Ahil i kornjača

Započinjemo jednim slavnim paradoksom, o kojem sam nekima od vas već govorio na satu (neka vas to ne spriječi da komentirate).

Među zadatcima za pripremu državne mature iz fizike našao se i ovaj:

Zadatak nije težak, dva jednolika pravocrtna gibanja. Od početka gibanja Ahila i kornjače do dostizanja prošlo je neko vrijeme t. Za to vrijeme su prešli putove:

s_kornjača = v_kornjače · t,     s_Ahil = v_Ahil · t.

Ahil je prešao veći put, i to veći za njihovu međusobnu početnu udaljenost:

s_Ahil – s_kornjača =90 metara.

Slijedi

v_kornjače · t  – v_Ahil · t = 90 metara

i kad se uvrste zadane brzine, dobije se da će Ahil će stići kornjaču za 10 sekundi; za to vrijeme će kornjača prijeći 1 m a Ahil 91 m. Grafički se to može prikazati ovako:

Naravno, tamo gdje se sijeku dva pravca, to je trenutak (na osi t) i mjesto (na osi x) dostizanja.

Što se tiče državne mature, to je točno rješenje, ono je jednoznačno, i tu nema ništa sporno. Ali, nije slučajno da su autori zadatka ovdje u glavne uloge postavili baš brzonogog Ahila i sporu kornjaču. Naime, to su glavni likovi jednog od slavnih Zenonovih paradoksa. (Paradoks čine iskazi koji su po svemu sudeći istiniti, ali međusobno proturječe). Zenon ovako nekako razmišlja:

Da bi Ahil stigao kornjaču, najprije mora doći do točke gdje je kornjača bila u trenutku kad je Ahil krenuo – nazovimo tu točku K1. Ahil je brzonog, pa će za kratko vrijeme prijeći tu udaljenost. No, u međuvremenu se kornjača pomaknula. Kornjača je spora pa nije mogla otići jako daleko – nazovimo tu točku K2. U svakom slučaju, Ahil sada (da bi stigao kornjaču) mora doći do dočke K2. No, dok Ahil dođe do točke K2, kornjača se pomaknula do neke točke K3, itd. Ahil svaki put (prije nego sustigne kornjaču) mora doći do mjesta gdje je kornjača prethodno bila, a kornjača će se svaki put u međuvremenu pomaknuti. Stoga Ahil nikad neće stići kornjaču.

Je li moguće naći grešku u Zenonovom razmatranju? Ja ne vidim grešku. Pa ipak, znamo (kao što je znao i Zenon) da Ahil hoće stići kornjaču. Dakle, imamo dva međusobno proturječna rezultata (”stići će ju za 10 s” i ”neće ju nikad stići”), bez da možemo pronaći pogrešku – to čini paradoks.

Ako se vratimo na naš maturalni zadatak, možemo ovaj problem prikazati i brojčano. Dok Ahil prijeđe 90 metara da bi došao do mjesta gdje je kornjača bila na početku, kornjača će se pomaknuti za 90/91 metara.

Dok Ahil prijeđe tih 90/91 metara, kornjača će se pomaknuti za 90/91² = 90/8281 metara. Zumirajmo na grafu dio nakon K1 – dakle, graf ne započinje od 0, nego od K1 i trenutka kad je Ahil stigao do K1 (kornjača je već stigla u K2).

Dok Ahil prijeđe tih 90/8281 metara kornjača će se pomaknuti za 90/91³ = 90/753571 metara, itd. Zumirajmo na grafu dio nakon K2 – graf sad započinje od K2 i trenutka kad je Ahil stigao u K2 (kornjača je već stigla do K3).

Mogli bismo ponavljati te slike s početkom u K3, K4, K5, …, neograničeno, bez da ikad dođemo do točke susreta. Kad Ahil stigne do Kn kornjača je uvijek već u Kn+1. Očito je da se ta udaljenost (koju prijeđe kornjača dok Ahil stigne na mjesto gdje je ona maloprije bila) svaki put smanjuje za 91 puta, pa će nakon n ovakvih približavanja biti 90/91ⁿ . Ali, nakon koliko će puta udaljenost biti nula? Nikad.

Zamislimo da gledamo snimku te utrke snimljenu beskrajno sofisticiranom opremom. U trenutku kad Ahil prijeđe 90 metara, a kornjača se pomakne u točku K2, snimka se na čas zaustavi. Potom se snimka nastavi dok Ahil ne dođe u točku K2, a kornjača se pomakne u K3. Itd. Kad ćemo vidjeti da Ahil dostiže kornjaču? Nikad.

Ali, ako pustimo snimku da se odvija bez prekidanja, vidjet ćemo da Ahil dostiže kornjaču za 10 s.

Što mislite, u čemu je stvar? Zašto (naizgled?) ispravnim razmišljanjem dolazimo do očito pogrešnog rezultata, da Ahil neće stići kornjaču?