Tag Archives: fizika

6.1. valovi ili čestice?

Od Huygensa i Newtona (kraj 17. stoljeća) trajala je dvojba radi li se kod svjetlosti o valovima ili hrpi čestica. Ta dvojba je u 19. stoljeću riješena u korist valova, otkrićem interferencije i ogiba svjetlosti, potom polarizacije svjetlosti, i konačno elektromagnetskih valova. Ali početkom 20. stoljeća u Einsteinovom objašnjenju fotoelektričnog učinka (i u nekim drugim pojavama) imamo povratak čestične teorije o svjetlosti, u pojmu „fotona“.

U čemu je zapravo dvojba? Zar i kod valova nisu prisutne neke čestice koje titraju? Zašto bi te dvije slike – valna ili čestična – bile neuskladive?

Ključna se razlika možda najbolje može objasniti na pojavi interferencije koja je karakteristična za valove a nije za čestice.

Zamislite dvije čestice koje idu jedna prema drugoj, i dva vala koji idu jedan prema drugome. Dvije čestice će se sudariti, možda odbiti jedna od druge. A dva vala?

Ako se susretnu brijeg i brijeg (ili dol i dol) val će se pojačati. Ako se susretnu brijeg i dol val će oslabiti (ili se čak potpuno poništiti ukoliko su im amplitude jednake). Ta pojava se naziva interferencija (konstruktivna kod pojačavanja, destruktivna kod slabljenja). U oba slučaja valovi će, za razliku od čestica, jednostavno proći jedan kroz drugoga.

Ako imamo jednu česticu i još jednu česticu, prirodno vrijedi 1 + 1 = 2. Ako imamo jedan val i još jedan val, oni zajedno, ovisno o položaju i trenutku, daju novi val koji ima za amplitudu bilo koji broj od 0 do 2. To je zato što se pri susretu dva vala mogu poklopiti brijeg i brijeg, pa imamo dvostruku amplitudu

ili se poklope brijeg i dol, pa je amplituda nula

ili neka druga kombinacija daje bilo koju vrijednost u rasponu od nula do dvostruke amplitude. 

Ukoliko imamo dva izvora vala, onda će se oko njih pojaviti karakteristični obrasci interferencije, sa pojačanjima (konstruktivna) i slabljenjima/poništenjima (destruktivna).

Kako možemo znati je li nešto – npr. svjetlost – hrpa čestica ili val? Tako da potražimo interferenciju. Ukoliko pokazuje interferenciju, radi se o valnoj pojavi.

Zamislimo pokus gdje kroz dva otvora na zidu šaljemo najprije neke makroskopske čestice (npr. loptice ili metke) a potom valove (npr. valove na vodi). U oba slučaja najprije je jedan otvor zatvoren a drugi otvoren, potom je drugi otvoren a prvi zatvoren, a potom su oba otvorena. Za čestice (i lopte/metke i elektrone) bilježimo broj udaraca na pojedinom mjestu zida/mete, a za valove mjerimo jakost vala na pojedinom mjestu zida/mete.

(1) Ako šaljemo makroskopske čestice te bilježimo gdje udaraju nakon prolaska i brojimo udarce na pojedinom mjestu, dobijemo neku ovakvu raspodjelu učestalosti udaraca.

P1 je raspodjela koliko čestica udari na koje mjesto na zidu kad je otvoren samo prvi otvor, P2 kad je otvoren samo drugi, a P12 je kad su otvorena oba. Za makroskopske čestice jednostavno vrijedi P12 = P1 + P2. Kad su oba otvora otvorena isto je kao zbroj prethodnih situacija kad je bio otvoren samo jedan i kad je bio otvoren samo drugi. Naravno, jedna čestica prolazi uvijek samo kroz jedan otvor.

(2) Ako šaljemo valove raspodjela je za prva dva slučaja, kad je samo jedan otvor otvoren, posve jednaka kao kod čestica. Jakost vala I1 na ovoj slici je ista kao raspodjela čestica P1 na prethodnoj (također je i I2 isto kao P2). Ali kad su oba otvora otvorena dobijemo posve različitu sliku – jakost valova I12 je sasvim drugačija od raspodjele udaraca čestica P12. Radi interferencije negdje je jakost vala pojačana, a negdje se valovi potpuno ponište:

Jakost vala kroz dva otvora nije naprosto zbroj I1 + I2 nego imamo karakterističan obrazac interferentnog pojačanja i slabljenja vala. Treba primijetiti da val (za razliku od čestica) može prolaziti istodobno kroz oba otvora. 

Da bi utvrdio je li svjetlost val ili hrpa čestica Thomas Young je početkom 19. stoljeća napravio taj pokus. Na igraćoj karti je načinio dva vrlo tanka i vrlo bliska proreza, kroz njih poslao svjetlost i na zidu dobio interferenciju: nije dobio dvije svijetle crte za dvije pukotine, kao što bismo očekivali prije učenja fizike, nego je dobio niz svijetlih i tamnih pruga – svijetle tamo gdje je interferencija konstruktivna, a tamne tamo gdje je interferencija destruktivna.

Time je konačno ( 😉 ) dokazano da je svjetlost val, a ne hrpa čestica. Hrpa čestica ne bi davala svijetle i tamne pruge (odnosno obrazac interferencije valova kao na drugoj slici) nego dvije svijetle crte (odnosno obrazac udaraca čestica kao na prvoj slici).

Fizičari su to pitanje mogli smatrati riješenim za sljedećih stotinjak godina, točnije do 1905. (a učenici ga mogu smatrati riješenim od učenja Youngovog pokusa pa do učenja fotoelektričnog učinka koji mjesec kasnije).  

4.1. Laplaceov (ili Boškovićev) demon (ili genij)?

U fizici su zbivanja općenito predodređena silama koje djeluju i početnim uvjetima – npr. pri horizontalnom hicu potrebno je znati početnu visinu, početnu brzinu i sile koje djeluju (ako je trenje sa zrakom zanemarivo, onda je to sila teža).

sl16Znamo li sile i početne uvjete, tad možemo točno predodrediti gdje će tijelo pasti.

Slavni matematičar i astronom Pierre-Simon Laplace smatrao je da se takva predodredivost (ili determinizam) u načelu može proširiti na sve što se zbiva u svijetu.

Sadašnje stanje svemira možemo smatrati učinkom njegove prošlosti i uzrokom njegove budućnosti. Neki razum koji bi u određenom trenutku znao sve sile koje pokreću prirodu, i sve položaje svih stvari od kojih je priroda složena, i ako bi taj razum bio dovoljno velik da podvrgne te podatke analizi, obuhvatio bi u jednoj formuli gibanja od najvećih svemirskih tijela do najsićušnijih atoma; za takav razum ništa ne bi bilo neizvjesno i budućnost bi mu bila pred očima podjednako kao i prošlost.

Taj “razum” koji bi sve to znao kasnije je nazvan Laplaceovim demonom (ili, ponegdje, Laplaceovim genijem, da se izbjegnu zloćudni prizvuci riječi demon). Mada bi taj razum očito bio nadmoćan našemu, valja uočiti da ne bi imao neke drugačije moći od nas, nego bi radio samo ono što fizičari rade, samo puno bolje. Po Laplaceovoj tezi sve što se zbiva potpuno je predodređeno prirodnim zakonima i početnim uvjetima. Ako bacim ovaj novčić u zrak ne znam doduše hoće li on pasti na lice ili naličje, ali pouzdano znam da je to potpuno predodređeno početnom brzinom i položajem novčića, te silama koje djeluju na njega. Čitav svemir, živa bića, ljudska svijest, sve to su tek vrlo složeni mehanizmi… Pa čak i ako ne znamo sve prirodne zakone, pa i ako možda ne možemo dovoljno točno saznati početne uvjete za svaki sustav kojega bismo mogli proučavati, ipak, po determinističkoj tezi, znamo da je sve determinirano tim prirodnim zakonima i početnim uvjetima. Nema ničega zapravo ”slučajnog”, i nema zapravo nikakve ”slobode odabira” – i jedno i drugo su tek prividi, odnosno, posljedice našeg nepotpunog poznavanja stanja stvari, a ne posljedice samog stanja stvari.

Mada se uobičajilo navoditi Laplacea kao prvog zastupnika determinističke teze, njemu u tome prethodi naš Ruđer Bošković.

Spoznavši pak zakon sila, zatim položaj i brzinu, smjer svih točaka u zadanom vremenu, takav bi um mogao predvidjeti sva nužna buduća stanja i sve nužne pojave u prirodi koje o njima ovise i tako prorokovati, i jednim jedinim lukom opisanim od bilo koje točke u kontinuiranom vremenu, pa ma kako kratkom, koji bi bio dovoljno razumljiv nekom ljudskom umu, taj isti um mogao bi odrediti svaki ostali potez te iste kontinuirane krivulje koja se s jedne i druge strane proteže u beskonačnost. (ThPN §385)

Kao što odavno reče Ksenofan, ništa čudno da fizičari boga zamišljaju kao uvećanog fizičara. 🙂

Etiopljani tvrde da su im bogovi tuponosi i crni, Tračani da su plavooki i riđokosi, a kad bi volovi, konji i lavovi imali ruke i mogli njima slikati i stvarati djela kao ljudi, slikali bi likove bogova i davali im tijelo kakvo upravo i sami imaju: konji nalik na konje, volovi na volove, [a lavovi na lavove]. (fr. 15)

Ali da bi takav “bog-fizičar”, koji ne djeluje nego samo promatra, mjeri i računa, mogao iz početnih uvjeta i prirodnih zakona unaprijed sve proračunati, deterministička teza morala bi biti točna: boja kombajna u 22. stoljeću, ili vaše mišljenje o ovome tekstiću, bili bi zapravo predodređeni već u trenutku Velikog praska.


Anketica:

3.2. što je zapravo ta entropija (termodinamička)?

Da bismo razumjeli termodinamičku definiciju entropije potrebno je poći od ove jednakosti koja vrijedi samo za idealni Carnotov kružni proces.

Carnot jednakost glavna

[Da ne preplašim dio potencijalnih čitatelja prebacujem  na dno izvod te jednakosti koji doduše zahtijeva malo strpljenja s matematikom, ali se isplati se radi potpunijeg razumijevanja.*]

Dakle omjer toplina koje Carnotov stroj primi i preda jednak je omjeru temperatura toplijeg i hladnijeg spremnika. Drugim riječima postoji neka veličina koja je za idealni, reverzibilni toplinski proces očuvana, stalno jednaka:

Carnot entropija 1

Lako je pokazati da za ne-idealne, manje korisne strojeve ta nejednakost ne vrijedi. Budući da je korisnost nekog takvog stroja

korisnost toplinskog stroja 1

a korisnost Carnotovog stroja

korisnost toplinskog stroja 2

onda je lako vidjeti da iz toga što je korisnost realnog stroja manja ili jednaka idealnome ηR ≤ ηC slijedi da za realne toplinske strojeve vrijedi

Carnot entropija 2

Dakle, ta veličina ostaje jednaka za idealne, reverzibilne toplinske procese, a povećava se za realne, ireverzibilne procese. Rudolf Clausius je tu veličinu nazvao entropija S. (Zapravo, ta veličina je jednaka promjeni entropije ΔS a razlog zašto je definirana tako preko promjene ima veze s integralima, što nas ovdje još ne treba zanimati.) Vrijedi, dakle, općenito

SkonačnaSpočetna

za bilo koji termodinamički proces izoliran od okoline (jednakost ako se radi o reverzibilnom a nejednakost ako se radi o ireverzibilnom procesu). Razlika između konačne i početne entropije pokazuje koliko proces odstupa od reverzibilnoga. To ne vrijedi samo za toplinske strojeve, nego općenito, zato što između bilo koje dvije različite temperature možemo zamisliti Carnotov reverzibilni proces (pri kojem entropija ostaje jednaka) i usporediti ga sa stvarnom promjenom (pri kojoj entropija raste).

(Osim ove definicije entropije postoje i druge, o čemu možda u budućim epizodama.)


* izvod formule:

Općenito, korisnost bilo kojeg (ne samo idealnoga Carnotovog) toplinskog stroja je, naravno, omjer uložene topline i dobivenog rada, odnosno:

korisnost toplinskog stroja

Kod Carnotovog ciklusa omjer predane i primljene topline može ovisiti samo o temperaturama toplijeg i hladnijeg spremnika. Zato vrijedi:

korisnost Carnot 1Odnosno, taj omjer neiskorištene i primljene topline je neka funkcija tih dviju temperatura (još ne znamo koja je to funkcija). Zamislimo sad dva toplinska Carnotova stroja kao na slici:

dva toplinska stroja Možemo dobiti dva rezultata koji će nam biti važni za izvod. Prvi je ovaj:korisnost Carnot 2

Budući da ova dva toplinska stroja možemo prikazati kao jednoga koji ne ovisi o temperaturi T2 to znači da se T2 mora moći eliminirati iz formule za korisnost toga stroja, što je moguće ako je (još uvijek nepoznatu) funkciju f moguće izraziti preko neke druge (također još uvijek nepoznate) funkcije g na ovaj način:

korisnost Carnot 3

Odnosno, g(T2) će se pokratiti te dobijemo:

korisnost Carnot 4

Podsjećam da još uvijek ne znamo što je funkcija g. Ali iz gornje sličice s dva Carnotova ciklusa možemo vidjeti da vrijedi i drugi važan rezultat:

korisnost dva toplinska stroja

Možemo zamisliti da dodajemo jedan iza drugoga još takvih Carnotovih strojeva sve niže temperature hladnijeg spremnika i svaki put bi se korisnost povećala na isti način. Iz toga zaključujemo da se radi o funkciji koja se jednoliko povećava, odnosno o proporcionalnom odnosu, pa je g(T)=c∙T, gdje je c neka nepoznata konstanta. Stoga

korisnost Carnot 5

i kad pokratimo nepoznatu konstantu c dobijemo omjer koji vrijedi za Carnotov ciklus (a ne vrijedi za druge toplinske strojeve):

korisnost Carnot 6


 

3.1. zašto je Carnotov ciklus najkorisniji?

Početkom 19. stoljeća razvoj toplinskih strojeva je bio u punom jeku, i inženjeri su se stalno domišljali kako ih popravljati da budu sve korisniji, pa se postavljalo pitanje granice, dokle je moguće povećavati korisnost takvih strojeva. Mladi Sadi Carnot je 1821. načelno riješio problem.

CarnotSadi300px
Sadi Carnot (1796.-1832.)

Svi učenici zapamte opću shemu toplinskog stroja:

17307-0-blok-dij-jpg-1516012879387.jpg

Ono crveno se naziva “topliji spremnik” i kod realnih toplinskih strojeva se zapravo radi o gorivu koje izgara. Ali sad se bavimo idealnim, najkorisnijim kružnim procesom. Što je “topliji spremnik”? To je neki izvor topline koji daje toplinu a pritom ostaje na stalnoj jednakoj temperaturi. Jasno je da je to neki idealni izvor, budući da se ne hladi mada predaje toplinu. (To nije suviše nerealna situacija, ako je takav izvor puno veći od onoga čemu predaje toplinu, tad će njegovo hlađenje biti zanemarivo malo.) Dakle, prvi dio idealnog toplinskog ciklusa je izoterman: sustav prima toplinu (Q1) uslijed kontakta s izvorom koji ima stalno jednaku temperaturu (T1).

524px-Carnot-cycle-p-V-diagram.svg

Da bi se uopće radilo o nekakvom stroju, on mora moći stalno na isti način ponavljati to što radi, dakle treba nam neki kružni proces, odnosno, trebamo se vratiti u točku A na grafu. Najjednostavnije bi bilo da se nakon izotermnog prijelaza iz A u B opet izotermno vrati iz B u A, tako da preda toplinu natrag spremniku. Ali, tad bi obavljeni rad bio jednak nula. (Rad je jednak površini ispod grafa, i za rast volumena je pozitivan a za smanjenje volumena negativan – ovdje bi pozitivni rad od A do B bio jednak negativnom radu od B do A, odnosno ukupni rad bi bio jednak nula). Dakle, povratak u početnu točku A treba ići drugačijim putem.

U svakom slučaju, da bi se sustav vratio u A potrebno je odvesti toplinu. Za odvođenje topline poslužit će nam još jedan idealni spremnik: onaj koji prima toplinu bez da se pri tom zagrije. Odnosno, i odvođenje topline bit će izotermno. Ali, da bismo imali neki rad, neku površinu unutar kružnog procesa, ta temperatura mora biti manja od početne. Ne želimo da sustav prima ili predaje toplinu na neki drugi način osim ovih idealnih (od toplijeg odnosno hladnijeg spremnika), pa se spoj između ta dva izotermna procesa treba odvijati izolirano i bez trenja s okolinom, odnosno treba biti adijabatski (bez izmjene topline s okolinom). Tako imamo ovakav idealni, Carnotov kružni proces (dvije izoterme i dvije adijabate).
524px-Carnot-cycle-p-V-diagram.svg

Rad koji je obavljen pri tom procesu jednak je površini unutar grafa. Budući da se sve odvija bez trenja s okolinom, taj proces je reverzibilan, moguć je i u obratnom smjeru s jednakim vrijednostima, odnosno:

toplinski stroj 2

Pritom, naravno, umjesto da sustav obavlja rad, potrebno je od izvan obaviti rad na sustavu da bi toplina išla od hladnijeg prema toplijem spremniku. Kad bismo imali dva Carnotova toplinska stroja koji rade u suprotnim smjerovima, mogli bismo rad koji proizvede prvi iskoristiti za povratak u početno stanje.

carnot_theorem_reverse

Ukupan rad takva dva stroja bi, naravno, bio nula. Smisao ovoga primjera s dva Carnotova stroja je pokazati da se radi o potpuno reverzibilnom stroju.

Carnotovo načelo sad kaže:

Nijedan toplinski stroj ne može imati veću korisnost od Carnotovog toplinskog stroja.

Nema neke misterije u tome – stroj radi bez trenja s okolinom. Dokaz ide preko postupka koji se naziva reductio ad absurdum, gdje najprije pretpostavimo da je istina ono što želimo dokazati da je nemoguće, potom pokažemo da ta pretpostavka vodi u proturječje, čime smo dokazali da je to nije istina. Dakle, pretpostavimo da imamo toplinski stroj korisniji od Carnotovog. Tad bismo dio rada dobivenog takvim strojem mogli koristiti da pomoću obrnutog Carnotovog stroja bez obavljanja rada vratimo u topliji spremnik više topline nego smo uzeli.

carnot_theorem_paradox

Ili, još bolje, da vratimo sustav u početno stanje, a višak nam ostaje na raspolaganju. Taj postupak bismo mogli ponavljati da dobijemo bilo koliko energije bez ikakvog utroška (jer se sustav stalno vraća u početno stanje). Odnosno, dobili bismo nešto iz ničega. Takav toplinski stroj, korisniji od Carnotovog, ne može postojati.

[O entropiji u sljedećem nastavku.]

1.0. Ahil i kornjača

Započinjemo jednim slavnim paradoksom, o kojem sam nekima od vas već govorio na satu (neka vas to ne spriječi da komentirate).

Među zadatcima za pripremu državne mature iz fizike našao se i ovaj:

Ahil i kornjaca zadatak

Zadatak nije težak, dva jednolika pravocrtna gibanja. Od početka gibanja Ahila i kornjače do dostizanja prošlo je neko vrijeme t. Za to vrijeme su prešli putove:

skornjača = vkornjače · t,     sAhil = vAhil · t.

Ahil je prešao veći put, i to veći za njihovu međusobnu početnu udaljenost:

sAhil – skornjača =90 metara.

Slijedi

vkornjače · t  – vAhil · t = 90 metara

i kad se uvrste zadane brzine, dobije se da će Ahil će stići kornjaču za 10 sekundi; za to vrijeme će kornjača prijeći 1 m a Ahil 91 m. Grafički se to može prikazati ovako:

ahil i kornjaca 1

Naravno, tamo gdje se sijeku dva pravca, to je trenutak (na osi t) i mjesto (na osi x) dostizanja.

Što se tiče državne mature, to je točno rješenje, ono je jednoznačno, i tu nema ništa sporno. Ali, nije slučajno da su autori zadatka ovdje u glavne uloge postavili baš brzonogog Ahila i sporu kornjaču. Naime, to su glavni likovi jednog od slavnih Zenonovih paradoksa. (Paradoks čine iskazi koji su po svemu sudeći istiniti, ali međusobno proturječe). Zenon ovako nekako razmišlja:

Da bi Ahil stigao kornjaču, najprije mora doći do točke gdje je kornjača bila u trenutku kad je Ahil krenuo – nazovimo tu točku K1. Ahil je brzonog, pa će za kratko vrijeme prijeći tu udaljenost. No, u međuvremenu se kornjača pomaknula. Kornjača je spora pa nije mogla otići jako daleko – nazovimo tu točku K2. U svakom slučaju, Ahil sada (da bi stigao kornjaču) mora doći do dočke K2. No, dok Ahil dođe do točke K2, kornjača se pomaknula do neke točke K3, itd. Ahil svaki put (prije nego sustigne kornjaču) mora doći do mjesta gdje je kornjača prethodno bila, a kornjača će se svaki put u međuvremenu pomaknuti. Stoga Ahil nikad neće stići kornjaču.

Je li moguće naći grešku u Zenonovom razmatranju? Ja ne vidim grešku. Pa ipak, znamo (kao što je znao i Zenon) da Ahil hoće stići kornjaču. Dakle, imamo dva međusobno proturječna rezultata (”stići će ju za 10 s” i ”neće ju nikad stići”), bez da možemo pronaći pogrešku – to čini paradoks.

Ako se vratimo na naš maturalni zadatak, možemo ovaj problem prikazati i brojčano. Dok Ahil prijeđe 90 metara da bi došao do mjesta gdje je kornjača bila na početku, kornjača će se pomaknuti za 90/91 metara.

ahil i kornjaca 2

Dok Ahil prijeđe tih 90/91 metara, kornjača će se pomaknuti za 90/912 = 90/8281 metara. Zumirajmo na grafu dio nakon K1 – dakle, graf ne započinje od 0, nego od K1 i trenutka kad je Ahil stigao do K1 (kornjača je već stigla u K2).

ahil i kornjaca 3

Dok Ahil prijeđe tih 90/8281 metara kornjača će se pomaknuti za 90/913 = 90/753571 metara, itd. Zumirajmo na grafu dio nakon K2 – graf sad započinje od K2 i trenutka kad je Ahil stigao u K2 (kornjača je već stigla do K3).

ahil i kornjaca 4

Mogli bismo ponavljati te slike s početkom u K3, K4, K5, …, neograničeno, bez da ikad dođemo do točke susreta. Kad Ahil stigne do Kn kornjača je uvijek već u Kn+1. Očito je da se ta udaljenost (koju prijeđe kornjača dok Ahil stigne na mjesto gdje je ona maloprije bila) svaki put smanjuje za 91 puta, pa će nakon n ovakvih približavanja biti 90/91n . Ali, nakon koliko će puta udaljenost biti nula? Nikad.

Zamislimo da gledamo snimku te utrke snimljenu beskrajno sofisticiranom opremom. U trenutku kad Ahil prijeđe 90 metara, a kornjača se pomakne u točku K2, snimka se na čas zaustavi. Potom se snimka nastavi dok Ahil ne dođe u točku K2, a kornjača se pomakne u K3. Itd. Kad ćemo vidjeti da Ahil dostiže kornjaču? Nikad.

Ali, ako pustimo snimku da se odvija bez prekidanja, vidjet ćemo da Ahil dostiže kornjaču za 10 s.

Što mislite, u čemu je stvar? Zašto (naizgled?) ispravnim razmišljanjem dolazimo do očito pogrešnog rezultata, da Ahil neće stići kornjaču?