Tag Archives: gibanje

1.0. Ahil i kornjača

Započinjemo jednim slavnim paradoksom, o kojem sam nekima od vas već govorio na satu (neka vas to ne spriječi da komentirate).

Među zadatcima za pripremu državne mature iz fizike našao se i ovaj:

Ahil i kornjaca zadatak

Zadatak nije težak, dva jednolika pravocrtna gibanja. Od početka gibanja Ahila i kornjače do dostizanja prošlo je neko vrijeme t. Za to vrijeme su prešli putove:

skornjača = vkornjače · t,     sAhil = vAhil · t.

Ahil je prešao veći put, i to veći za njihovu međusobnu početnu udaljenost:

sAhil – skornjača =90 metara.

Slijedi

vkornjače · t  – vAhil · t = 90 metara

i kad se uvrste zadane brzine, dobije se da će Ahil će stići kornjaču za 10 sekundi; za to vrijeme će kornjača prijeći 1 m a Ahil 91 m. Grafički se to može prikazati ovako:

ahil i kornjaca 1

Naravno, tamo gdje se sijeku dva pravca, to je trenutak (na osi t) i mjesto (na osi x) dostizanja.

Što se tiče državne mature, to je točno rješenje, ono je jednoznačno, i tu nema ništa sporno. Ali, nije slučajno da su autori zadatka ovdje u glavne uloge postavili baš brzonogog Ahila i sporu kornjaču. Naime, to su glavni likovi jednog od slavnih Zenonovih paradoksa. (Paradoks čine iskazi koji su po svemu sudeći istiniti, ali međusobno proturječe). Zenon ovako nekako razmišlja:

Da bi Ahil stigao kornjaču, najprije mora doći do točke gdje je kornjača bila u trenutku kad je Ahil krenuo – nazovimo tu točku K1. Ahil je brzonog, pa će za kratko vrijeme prijeći tu udaljenost. No, u međuvremenu se kornjača pomaknula. Kornjača je spora pa nije mogla otići jako daleko – nazovimo tu točku K2. U svakom slučaju, Ahil sada (da bi stigao kornjaču) mora doći do dočke K2. No, dok Ahil dođe do točke K2, kornjača se pomaknula do neke točke K3, itd. Ahil svaki put (prije nego sustigne kornjaču) mora doći do mjesta gdje je kornjača prethodno bila, a kornjača će se svaki put u međuvremenu pomaknuti. Stoga Ahil nikad neće stići kornjaču.

Je li moguće naći grešku u Zenonovom razmatranju? Ja ne vidim grešku. Pa ipak, znamo (kao što je znao i Zenon) da Ahil hoće stići kornjaču. Dakle, imamo dva međusobno proturječna rezultata (”stići će ju za 10 s” i ”neće ju nikad stići”), bez da možemo pronaći pogrešku – to čini paradoks.

Ako se vratimo na naš maturalni zadatak, možemo ovaj problem prikazati i brojčano. Dok Ahil prijeđe 90 metara da bi došao do mjesta gdje je kornjača bila na početku, kornjača će se pomaknuti za 90/91 metara.

ahil i kornjaca 2

Dok Ahil prijeđe tih 90/91 metara, kornjača će se pomaknuti za 90/912 = 90/8281 metara. Zumirajmo na grafu dio nakon K1 – dakle, graf ne započinje od 0, nego od K1 i trenutka kad je Ahil stigao do K1 (kornjača je već stigla u K2).

ahil i kornjaca 3

Dok Ahil prijeđe tih 90/8281 metara kornjača će se pomaknuti za 90/913 = 90/753571 metara, itd. Zumirajmo na grafu dio nakon K2 – graf sad započinje od K2 i trenutka kad je Ahil stigao u K2 (kornjača je već stigla do K3).

ahil i kornjaca 4

Mogli bismo ponavljati te slike s početkom u K3, K4, K5, …, neograničeno, bez da ikad dođemo do točke susreta. Kad Ahil stigne do Kn kornjača je uvijek već u Kn+1. Očito je da se ta udaljenost (koju prijeđe kornjača dok Ahil stigne na mjesto gdje je ona maloprije bila) svaki put smanjuje za 91 puta, pa će nakon n ovakvih približavanja biti 90/91n . Ali, nakon koliko će puta udaljenost biti nula? Nikad.

Zamislimo da gledamo snimku te utrke snimljenu beskrajno sofisticiranom opremom. U trenutku kad Ahil prijeđe 90 metara, a kornjača se pomakne u točku K2, snimka se na čas zaustavi. Potom se snimka nastavi dok Ahil ne dođe u točku K2, a kornjača se pomakne u K3. Itd. Kad ćemo vidjeti da Ahil dostiže kornjaču? Nikad.

Ali, ako pustimo snimku da se odvija bez prekidanja, vidjet ćemo da Ahil dostiže kornjaču za 10 s.

Što mislite, u čemu je stvar? Zašto (naizgled?) ispravnim razmišljanjem dolazimo do očito pogrešnog rezultata, da Ahil neće stići kornjaču?