Tag Archives: prostor

7.1. što je to eter (u fizici)?

Riječ eter, poput mnogih drugih (npr. energija, elektron, itd.) ima grčko porijeklo, a u fizici se pojavljuje u 17. stoljeću s Descartesom (iliti Kartezijem, kako ga se ponegdje još naziva). On je smatrao da je osnovna značajka fizičkog svijeta ta da fizičke stvari zauzimaju neki prostor (za razliku od ne-fizičkoga, od onoga što mislimo, a što ne mora biti prostorno – npr. 2+7=9 ne zauzima neki prostor, ta je jednakost vrijedila i prije nego je itko to zapisao na nekoj površini ili čak formulirao negdje u prostoru mozga). Utoliko je smatrao da i sam prostor fizičkog svijeta nije prazan, nego je nešto tvarno. Taj ne prazni nego puni prostor nazvao je eterom. Eter nije opaziv vidom, dodirom, opipom, itd. ali, po Descartesu i mnogim fizičarima nakon njega, možemo zaključiti da postoji kao neki nevidljivi, tvarni medij.

Kako to možemo zaključiti? Na primjer: čest prigovor Newtonu za vrijeme njegovoga života bio je taj da svojom teorijom gravitacije iz 1687. on uvodi magiju u fiziku! Problem je bio ovaj: skoro svi tadašnji prirodoznanstvenici smatrali su da na neko tijelo mogu djelovati silom jedino ako sam u dodiru s tim tijelom. Jedno protežno tijelo djeluje silom samo na drugo koje je s njim u dodiru. Kako onda može Zemlja djelovati silom na Mjesec, ako se ne dodiruju, ako je između njih prazan prostor, dakle ništa? Odgovor kartezijanaca (sljedbenika Descartesa) bio bi: sila se prenosi eterom! Mjesec i Zemlja nisu u dodiru, ali eter dira i Mjesec i Zemlju (i sve ostale fizičke stvari), pa može prenijeti silu od Zemlje do Mjeseca.

Ali u Newtonovo doba već je ponovno postala popularna drevna Demokritova teorija o fizičkom svijetu kao praznom prostoru u kome se nalaze međusobno odvojene čestice. Zato se Newtonu zamjeralo da svojom silom gravitacije uvodi magijsko djelovanje na daljinu. Kao što u pričama čarobnjaci pomiču stvari bez da ih dodirnu, tako je mnogim prirodoznanstvenicima u Newtonovo doba izgledala ta sila koja između dva tijela djeluje na daljinu bez ikakvog posrednika, naime gravitacija. U odgovoru na to Newton je ustvrdio da je on dao pouzdan matematički zakon iz koga se može dobiti točan opis onoga što opažamo (npr. gibanja Mjeseca oko Zemlje) a da o mehanizmu kako se to događa nije rekao ništa. Ali ipak kaže:

to da jedno tijelo može djelovati na drugo na daljinu, kroz vakuum, bez da išta posreduje među njima, … za mene je toliki apsurd da ne vjerujem kako u njega može upasti ijedan čovjek koji u znanstvenim [philosophical] stvarima ima razvijenu sposobnost mišljenja.

Dakle, po pitanju gravitacije i Newton je bio sklon vjerovati u postojanje etera koji bi prenosio tu silu zrakopraznim prostorom, iako je smatrao da sama njegova teorija ne ovisi o tome postoji li eter. (Ipak, zar danas ne učimo Newtonovu teoriju gravitacije bez da spominjemo eter, baš kao da se kod gravitacije radi o djelovanju na daljinu? Pretpostavljamo li da učenici “u znanstvenim stvarima” nemaju “razvijenu sposobnost mišljenja”? 😉 )

Ali puno važnije za pojam etera bilo je pitanje o prirodi svjetlosti. Tu je Newton smatrao da je eter nevažan. On je imao jednu demokritovsku, čestičnu teoriju o tome što je svjetlost: svjetlost je hrpa čestica koja se širi praznim prostorom. Različite boje svjetlosti posljedica su različitih čestica svjetlosti, a bijela je smjesa tih čestica raznih boja (onako kako je npr. zrak smjesa različitih vrsta molekula).

Newtonovi suparnici (R. Hooke, Ch. Huyghens) držali su da je svjetlost val. Val nije ništa drugo nego rasprostiranje titranja: neka točka započne titrati, ostale koje su s njom povezane nekim silama također zatitraju i tako se širi to titranje, odnosno širi se val. Ali ako je svjetlost val, postavlja se pitanje: što titra dok se širi svjetlost? Na primjer, zvuk je val, i kad se zvuk rasprostire kroz zrak, titraju čestice zraka (odnosno molekule dušika, kisika, itd.). Kad se zvuk širi kroz vodu titraju molekule vode, kad se širi kroz željezničku tračnicu titraju atomi željeza, itd. Ali kad se svjetlost širi od Sunca do nas, što tu titra?

U to doba Toricelli je već pokazao postojanje vakuuma, zrakopraznog prostora (njegovog se pokusa sa živom zacijelo sjećate sa satova fizike), ali ne samo to: on je pokazao da kroz vakuum, kroz zrakoprazni prostor, svjetlost može prolaziti. Dakle, što titra kad val svjetlosti prolazi kroz vakuum?

Odgovor valne teorije svjetlosti u Newtonovo doba, pa sve do Einsteinove specijalne teorije relativnosti iz 1905. bio je: titra eter. Jedan nevidljivi, neopipljivi, elastični medij koji ispunja cijeli prostor (odnosno koji sam već jest tzv. „prazni” prostor) titra, i to titranje je svjetlost. Točnije u rasponu frekvencija od 3.8∙1014 Hz do 7.9∙1014 Hz, radi se o vidljivoj svjetlosti, koju možemo opaziti (vidjeti) dok se za titranja etera manje i veće frekvencije od tih radi o ultraljubičastoj i infracrvenoj svjetlosti (isto onako kako je titranje zraka ili vode itd. u rasponu frekvencija koje možemo čuti radi o zvuku, a za manje i veće frekvencije o ultrazvuku i infrazvuku). O frekvenciji titranja etera ovisi boja koju vidimo, baš kao što o frekvenciji titranja zraka (ili nekog drugog medija) ovisi ton kojega čujemo.

U 19. stoljeću valna teorija svjetlosti prevladala je nad Newtonovom čestičnom (vidi 6.1. valovi ili čestice?). Činilo se da je eter tu da ostane. Ali otprilike u isto doba u fiziku je uveden pojam polja (električnog i magnetskog, pa onda i po analogiji naknadno uvedenog i gravitacijskog polja). Ta polja se rasprostiru i kroz vakuum. S današnjeg gledišta čini nam se da je pojam polja dovoljan da odbacimo eter kao nepotrebnu hipotezu: ne treba nam neki medij koji titra, nego se u elektromagnetskim valovima mijenja jakost električnog i magnetskog polja, i to po jednom matematičkom obrascu koji je sličan jednadžbi vala, a svjetlost je elektromagnetski „val“ (odnosno te promjene jakosti polja). Ali cijelo stoljeće nakon uvođenja pojma polja fizičari smatrali da je eter ona tvar koja prenosi polje. Ne samo svjetlost, nego bi i na primjer radio-valovi bili titranje etera, što se zadržalo kod naših radijskih i tv voditelja kad kažu „u eteru ste“, u značenju da se to što govore prenosi titranjem etera do slušatelja. Tek 1905. Einstein je pokazao da je hipoteza o eteru nepotrebna za objašnjenje rasprostiranja elektromagnetskih valova i tako dokrajčio eter. (Zanimljivo je da je Einstein od 1916. pa nadalje smatrao da bi za objašnjenje rasprostiranja gravitacijske sile čak bi bolje bilo da se pojam etera zadržao, ali već ga je bio nepovratno pokopao.) O tome vjerojatno u nekim budućim epizodama.       

5.1. Newtonovo vjedro: postoji li (apsolutni) prostor?

Svatko zna da je gibanje relativno, i da ta riječ „relativno“ dolazi od riječi „relacija“, odnos. Kad kažemo da se nešto giba onda valja reći u odnosu na što se giba. Neko tijelo miruje u odnosu na neki stol koji je na brodu, ali brod (a s njim i to tijelo) se giba u odnosu na more, obalu, itd. Čak i ako stol nije na brodu nego u kući, giba se u odnosu na Mjesec ili Sunce, Sunce se opet giba u odnosu na druge zvijezde, galaksije se također gibaju jedna u odnosu na drugu, itd.

Ali što kad ne bi bilo ničega osim jedne stvari u svemiru, kad ne bismo mogli navesti neku drugu stvar u odnosu na koju se ona prva giba? Bi li se uopće radilo o gibanju?

Veliki fizičar Newton i veliki filosof i matematičar Leibniz nisu se slagali oko toga pitanja. Pitanje je, dakle, je li

1. prostor nešto u čemu su stvari pa bi ga bilo i bez stvari u njemu, ili

2. prostor nije ništa nego odnos između stvari pa bez stvari ne bi bilo ni prostora.

Newton je zastupao prvu tezu, Leibniz drugu. Po prvoj tezi prostor je apsolutan (njegovo postojanje ne ovisi o postojanju stvari u njemu), po drugoj je relativan (postoji samo kao odnos između stvari, bez stvari nema ni prostora).

newtons bucket

Newton predlaže ovakav misaoni pokus: u vjedru (kabliću, posudi) koje miruje u odnosu na okolinu je voda, koja miruje u odnosu na vjedro. Površina te vode je, naravno, vodoravna. Označimo tu početnu situaciju brojem I.

Potom započnemo rotirati vjedro. Voda najprije zaostaje za vjedrom koje rotira, i tu imamo relativno gibanje vjedra u odnosu na vodu. Označimo tu situaciju brojem II.

Na kraju se i voda rotira zajedno s vjedrom, i imamo situaciju prikazanu pod brojem III. Voda nije vodoravna, nego paraboloidna. Ključno je da u situaciji pod brojem III. nema relativnog gibanja vode u odnosu na vjedro. Gibaju se zajedno u odnosu na okolinu, odnosno, voda miruje u odnosu na vjedro.

Pitanje je sad: ako tu voda miruje u odnosu na vjedro, u čemu je zapravo razlika između situacije I. (u kojoj je voda vodoravna) i situacije III. (u kojoj je voda parabolična)? Naravno, odgovor je da u situaciji III. i voda i vjedro rotiraju. Ali u odnosu na što? Možemo reći npr. u odnosu na ostatak sobe, ali zamislimo da nema sobe – zar voda u rotirajućem vjedru ipak ne bi oblikovala paraboličnu površinu? Možda u odnosu na Zemlju? Ali što kad bismo imali vodu koja rotira daleko od bilo kojega tijela, dakle bez gravitacije? Čini se da bi učinak bio sličan, odnosno da bi mirujuća voda bila sferna a rotirajuća nešto spoljštena na polovima.

I ako bismo imali takvu rotirajuću spljoštenu „kuglu“ vode negdje daleko od bilo kakvog drugog tijela, u odnosu na što ona rotira? Netko je na to pitanje doista odgovorio: „u odnosu na udaljene zvijezde“, ali to se ne čini uvjerljivim. Kako bi tako udaljene zvijezde utjecale na oblik vode koja rotira? Newtonov odgovor na pitanje u odnosu na što ta voda rotira ovaj: ne rotira u odnosu na bilo koje drugo tijelo, nego u odnosu na sam prostor. Prostor je, dakle, nešto što stvarno postoji, i u odnosu na što tijela (npr. voda) mogu rotirati.

Da bi naglasio taj odgovor smislio je još jedan misaoni pokus: zamislite dvije kugle povezane konopom, daleko u svemiru. Ako obje kugle miruju, napetost niti će biti nula, ali ako rotiraju oko točke na sredini niti, tad će postojati napetost niti.

Rotating_spheres.svg

Ali kugle ne rotiraju u odnosu na ništa osim na sam prostor. Ako su one jedino što postoji u svemiru, tad bi prema Leibnizu i prostor „rotirao“ s njima, odnosno, bolje rečeno, ne bi bilo rotacije u odnosu ni na što. I napetost niti bi trebala biti nula. Međutim, čini se da nije tako.

(Ako se ne možete odlučiti tko je u pravu, probajte kekse, možda vam nešto sugeriraju.) 

newton leibniz cookies

1.3. Sastoji li se dužina od točaka?

Sastoji li se dužina od točaka?

”Dužina je skup točaka pravca, a sastoji se od dviju zadanih točaka A i B pravca i svih točaka pravca koje su između njih. Točke A i B su krajnje točke te dužine.” (link)

Ali, ako se dužina sastoji od točaka, a točka nema nikakvu duljinu, otkud dužini duljina?

Zenonov najdublji paradoks je u osnovi geometrijski. On zapravo pita imaju li krajnji sastojci neke dužine – dakle točke – duljinu različitu od nula, ili im
je duljina stvarno nula. Dužina je očigledno beskonačno djeljiva; dakle ima beskonačno mnogo krajnjih sastojaka. Ako imaju bilo koju duljinu veću od nula, tad, suprotno našoj pretpostavci, duljina dužine mora biti beskonačna. Bilo koji niz koji se sastoji od pozitivnih veličina jednakog iznosa ima beskonačnu sumu. No, ako je pak duljina doslovno nula, tad će, suprotno našoj pretpostavci, duljina segmenta biti nula.

Ovdje ne pomaže nikakvo sumiranje beskonačnog reda, jer se ne zbrajaju sve manji dijelovi, nego uvijek jednaki dijelovi, kao u 1 + 1 + 1 + 1+…

Za Aristotela, problema nema. Točka je granica dužine. Dužina ima točno dvije točke, A i B.

dužina AB

Naravno, moguće je (”potencijalno”) načiniti još bilo koliko točaka na toj dužini. Dužina se može dijeliti na potencijalno beskonačno mnogo manjih dužina (AA1, A1A2, A2A3, …, AnB) i tako načiniti beskonačno mnogo točaka na dužini.

duzina AB

Ali, to ne znači da se dužina već (”aktualno”) sastoji od beskonačno mnogo dijelova. Dužina se, naprosto, ne sastoji od dijelova, mada se može podijeliti na dijelove. Kao što se stablo nije sastojalo od cjepanica, mada je moglo biti podijeljeno na cjepanice.

Ipak, to gledište može biti problematično. Promotrimo neku dužinu na brojevnom pravcu, npr. s rubnim točkama 3 i 4.

brojevni pravac

Koliko ima realnih brojeva između 3 i 4? Beskonačno mnogo. Znači li to da na brojevnom pravcu već ima (”aktualno”) beskonačno mnogo točaka između 3 i 4? Jesu li one već tamo (”aktualno”), ili ih mi tek možemo (”potencijalno”) tamo dodati?

Dakle, ima li već (”aktualno”) beskonačno mnogo točaka na nekoj dužini (bila ona AB ili 34)? Ili točke dospijevaju na dužinu tek tako da tu dužinu dijelimo, što možemo činiti (”potencijalno”) u beskraj?

Ako ih već ima (”aktualno”) beskonačno mnogo, sastoji li se dužina od točaka? Je li dužina skup točaka i ništa osim toga? Ali otkud joj onda duljina?

1.2. Do koliko znaš brojati (potencijalna beskonačnost)?

Kad dijete kaže  ”Ja znam brojati do deset. A ti?”, što ćete mu odgovoriti? Ako odgovorite ”do beskonačno” pod tim ne mislite da možete stvarno izbrojati do ∞, nego da uvijek možete nastaviti još i dalje brojati. Odnosno, mislite na potencijalnu beskonačnost, a ne na ostvarenu (”aktualnu”) beskonačnost.

Što to znači? Riječ ”potencijalno” znači ”moguće”, a ”potencijalna beskonačnost” znači mogućnost da se nešto uvijek još i dalje poveća. Zbroj 1 + 1 +  1 +… po tom gledištu nije jednak ∞ i gotovo, kao da bi ∞ bio neki rezultat poput drugih. Rezultat znači nešto gotovo, dovršeno, a zbroj 1 + 1 +  1 +…  nikad nije dovršen. Zato je, prema tom gledištu, taj zbroj samo potencijalno beskonačan, jer se uvijek može još povećati, pa nije konačan, nije ograničen nego je bez-konačan, ne-ograničen. Od Aristotela (4. st. pr. Kr.) pa do 19. stoljeća većina je matematičara smatrala da beskonačnost treba shvatiti isključivo kao potencijalnu.

Što je sa zbrojem 1/2 + 1/4 + 1/8 +… ? Vidjeli smo kako slika sugerira da taj zbroj beskonačno mnogo članova ima konačan rezultat, i to 1.

infinite-series-square

Ipak, upitajmo se još jednom: koliko pravokutnikića moramo dodati da površina doista bude 1? Odgovor je: beskonačno mnogo. Možemo li dodati beskonačno mnogo (sve manjih) pravokutnika? Naravno, možemo reći ”očito je da na kraju ta površina mora biti 1”. Ali, ima li kraja, ako se radi o beskonačno (bez-krajno) mnogo članova?

Jesmo li dobili konačni rezultat zbroja beskonačno mnogo brojeva, ili smo dobili broj kojemu se svakim novim članom potencijalno približavamo ali ga nikad ne dostižemo?

Naš bivši učenik od prije par generacija, Luka M., zastupao ovo drugo gledište u komentaru:

Kod zbrajanja n brojeva (x1 + x2 + … + xn), uzmemo prvi broj i na njega dodajemo sve preostale, ono što dobijemo na kraju zovemo zbrojem. …

Kod zbroja beskonačno mnogo brojeva, ne znamo što napraviti. Jer: ako uzmemo prvi broj i krenemo dodavati ostale, nikad nećemo stati.

Zbog toga mi se čini da je zbrajanje beskonačno mnogo brojeva (sumiranje reda) nešto što je vrstom bitno različito od zbrajanja 2 (ili n) broja. Rekao bih da je sumiranje reda proces bez kraja. To tu operaciju bitno razlikuje od zbrajanja 2 (ili n) broja koja itekako ima kraj.

Ako mi ne možemo, može li računalo stvarno (a ne samo potencijalno) izbrojati do ∞?

Za današnja računala svakako vrijedi da za beskonačno mnogo ma kakvih koraka jest potrebno beskonačno mnogo vremena.

Aristotel je iskoristio zamisao o potencijalnoj beskonačnosti da riješi još jedan Zenonov paradoks (uz ”Ahila i kornjaču”) nazvan ”Dihotomija” (već smo ga spominjali u komentarima). Najprije paradoks:

Neko tijelo, da bi prešlo neki cijeli put mora prvo prijeći polovicu, zatim četvrtinu, pa osminu i tako neograničeno dalje… Dakle, opet imamo naš zbroj beskonačno mnogo članova 1/2 + 1/4 + 1/8 +… Od trkača bi se moglo tražiti, kaže Zenon, da broji svaki od tih koraka. No, to bi značilo da  ”kad je prijeđena cijela crta, izlazi da je izbrojen neograničen broj (∞), što je … nemoguće”.

Kako je Aristotel odgovorio na taj Zenonov izazov?

Aristotel kaže da ne postoji već beskonačno mnogo dijelova dužine, nego je dužina tek potencijalno uvijek još djeljiva. Neograničena podijeljenost vremena i prostora u Zenonovim dokazima nije nešto što je stvarno već sprovedeno, ostvareno, niti pak može biti ostvareno. Prostor i vrijeme mogu se dijeliti neograničeno, ali ti dijelovi prostora i vremena nastaju tek kao rezultat samoga dijeljenja. Prije dijeljenja prostor i vrijeme nemaju dijelove.

Stoga Aristotel zaključuje kako je moguće udaljenost od Ahila do kornjače dijeliti u beskraj (potencijalno), ali to ne znači da onaj tko prelazi tu udaljenost prelazi ∞ mnogo dijelova. Dijelovi nastaju tek kad netko dijeli tu udaljenost. Da bi netko imao problem kako prijeći udaljenost koja ima ∞ mnogo dijelova, najprije bi netko trebao podijeliti tu udaljenost na ∞ mnogo dijelova. Inače se ta udaljenost može prijeći, dakako, ako se jednostavno krene i ne stane.

Dodatak:

Isti rezultat sume beskonačnog reda kao i gornja slika daje formula za sumu beskonačnog reda koju smo izveli u prošlome zapisu. Ali, uz taj se izvod također može staviti jedan upitnik. Postupak izvođenja išao je ovako:

S = 1 + x + x2 + x3 + …

Sad pomnožimo obje strane jednakosti sa x.

S∙x = x + x2 + x3 + x4 + …

S desne strane to je isti izraz kao i ranije, samo bez 1! (Je li? 😉 )

Doista, je li? Recimo da se ne radi o beskonačnom redu, nego nekom konačnom, sa n članova.

S = 1 + x + x2 + x3 + … + xn.

Sad pomnožimo obje strane jednakosti sa x.

S∙x = x + x2 + x3 + x4 + …+ xn + xn+1

Ako oduzmemo te dvije jednakosti dobijemo S – S∙x = 1- xn+1. To vrijedi za bilo koji n, s time da ovaj član xn+1 postaje sve manji i manji kako n ide u beskonačnost (jer je iznos x manji od 1). Kad taj član postane 0 tad dobijemo onu formulu za sumu beskonačnog reda. Ali, kada taj član postaje nula? Tek kad n=∞, odnosno, gledano sa stajališta potencijalne beskonačnosti, nikad!