Tag Archives: prostor

5.1. Newtonovo vjedro: postoji li (apsolutni) prostor?

Svatko zna da je gibanje relativno, i da ta riječ „relativno“ dolazi od riječi „relacija“, odnos. Kad kažemo da se nešto giba onda valja reći u odnosu na što se giba. Neko tijelo miruje u odnosu na neki stol koji je na brodu, ali brod (a s njim i to tijelo) se giba u odnosu na more, obalu, itd. Čak i ako stol nije na brodu nego u kući, giba se u odnosu na Mjesec ili Sunce, Sunce se opet giba u odnosu na druge zvijezde, galaksije se također gibaju jedna u odnosu na drugu, itd.

Ali što kad ne bi bilo ničega osim jedne stvari u svemiru, kad ne bismo mogli navesti neku drugu stvar u odnosu na koju se ona prva giba? Bi li se uopće radilo o gibanju?

Veliki fizičar Newton i veliki filosof i matematičar Leibniz nisu se slagali oko toga pitanja. Pitanje je, dakle, je li

1. prostor nešto u čemu su stvari pa bi ga bilo i bez stvari u njemu, ili

2. prostor nije ništa nego odnos između stvari pa bez stvari ne bi bilo ni prostora.

Newton je zastupao prvu tezu, Leibniz drugu. Po prvoj tezi prostor je apsolutan (njegovo postojanje ne ovisi o postojanju stvari u njemu), po drugoj je relativan (postoji samo kao odnos između stvari, bez stvari nema ni prostora).

newtons bucket

Newton predlaže ovakav misaoni pokus: u vjedru (kabliću, posudi) koje miruje u odnosu na okolinu je voda, koja miruje u odnosu na vjedro. Površina te vode je, naravno, vodoravna. Označimo tu početnu situaciju brojem I.

Potom započnemo rotirati vjedro. Voda najprije zaostaje za vjedrom koje rotira, i tu imamo relativno gibanje vjedra u odnosu na vodu. Označimo tu situaciju brojem II.

Na kraju se i voda rotira zajedno s vjedrom, i imamo situaciju prikazanu pod brojem III. Voda nije vodoravna, nego paraboloidna. Ključno je da u situaciji pod brojem III. nema relativnog gibanja vode u odnosu na vjedro. Gibaju se zajedno u odnosu na okolinu, odnosno, voda miruje u odnosu na vjedro.

Pitanje je sad: ako tu voda miruje u odnosu na vjedro, u čemu je zapravo razlika između situacije I. (u kojoj je voda vodoravna) i situacije III. (u kojoj je voda parabolična)? Naravno, odgovor je da u situaciji III. i voda i vjedro rotiraju. Ali u odnosu na što? Možemo reći npr. u odnosu na ostatak sobe, ali zamislimo da nema sobe – zar voda u rotirajućem vjedru ipak ne bi oblikovala paraboličnu površinu? Možda u odnosu na Zemlju? Ali što kad bismo imali vodu koja rotira daleko od bilo kojega tijela, dakle bez gravitacije? Čini se da bi učinak bio sličan, odnosno da bi mirujuća voda bila sferna a rotirajuća nešto spoljštena na polovima.

I ako bismo imali takvu rotirajuću spljoštenu „kuglu“ vode negdje daleko od bilo kakvog drugog tijela, u odnosu na što ona rotira? Netko je na to pitanje doista odgovorio: „u odnosu na udaljene zvijezde“, ali to se ne čini uvjerljivim. Kako bi tako udaljene zvijezde utjecale na oblik vode koja rotira? Newtonov odgovor na pitanje u odnosu na što ta voda rotira ovaj: ne rotira u odnosu na bilo koje drugo tijelo, nego u odnosu na sam prostor. Prostor je, dakle, nešto što stvarno postoji, i u odnosu na što tijela (npr. voda) mogu rotirati.

Da bi naglasio taj odgovor smislio je još jedan misaoni pokus: zamislite dvije kugle povezane konopom, daleko u svemiru. Ako obje kugle miruju, napetost niti će biti nula, ali ako rotiraju oko točke na sredini niti, tad će postojati napetost niti.

Rotating_spheres.svg

Ali kugle ne rotiraju u odnosu na ništa osim na sam prostor. Ako su one jedino što postoji u svemiru, tad bi prema Leibnizu i prostor „rotirao“ s njima, odnosno, bolje rečeno, ne bi bilo rotacije u odnosu ni na što. I napetost niti bi trebala biti nula. Međutim, čini se da nije tako.

(Ako se ne možete odlučiti tko je u pravu, probajte kekse, možda vam nešto sugeriraju.) 

newton leibniz cookies

1.3. Sastoji li se dužina od točaka?

Sastoji li se dužina od točaka?

”Dužina je skup točaka pravca, a sastoji se od dviju zadanih točaka A i B pravca i svih točaka pravca koje su između njih. Točke A i B su krajnje točke te dužine.” (link)

Ali, ako se dužina sastoji od točaka, a točka nema nikakvu duljinu, otkud dužini duljina?

Zenonov najdublji paradoks je u osnovi geometrijski. On zapravo pita imaju li krajnji sastojci neke dužine – dakle točke – duljinu različitu od nula, ili im
je duljina stvarno nula. Dužina je očigledno beskonačno djeljiva; dakle ima beskonačno mnogo krajnjih sastojaka. Ako imaju bilo koju duljinu veću od nula, tad, suprotno našoj pretpostavci, duljina dužine mora biti beskonačna. Bilo koji niz koji se sastoji od pozitivnih veličina jednakog iznosa ima beskonačnu sumu. No, ako je pak duljina doslovno nula, tad će, suprotno našoj pretpostavci, duljina segmenta biti nula.

Ovdje ne pomaže nikakvo sumiranje beskonačnog reda, jer se ne zbrajaju sve manji dijelovi, nego uvijek jednaki dijelovi, kao u 1 + 1 + 1 + 1+…

Za Aristotela, problema nema. Točka je granica dužine. Dužina ima točno dvije točke, A i B.

dužina AB

Naravno, moguće je (”potencijalno”) načiniti još bilo koliko točaka na toj dužini. Dužina se može dijeliti na potencijalno beskonačno mnogo manjih dužina (AA1, A1A2, A2A3, …, AnB) i tako načiniti beskonačno mnogo točaka na dužini.

duzina AB

Ali, to ne znači da se dužina već (”aktualno”) sastoji od beskonačno mnogo dijelova. Dužina se, naprosto, ne sastoji od dijelova, mada se može podijeliti na dijelove. Kao što se stablo nije sastojalo od cjepanica, mada je moglo biti podijeljeno na cjepanice.

Ipak, to gledište može biti problematično. Promotrimo neku dužinu na brojevnom pravcu, npr. s rubnim točkama 3 i 4.

brojevni pravac

Koliko ima realnih brojeva između 3 i 4? Beskonačno mnogo. Znači li to da na brojevnom pravcu već ima (”aktualno”) beskonačno mnogo točaka između 3 i 4? Jesu li one već tamo (”aktualno”), ili ih mi tek možemo (”potencijalno”) tamo dodati?

Dakle, ima li već (”aktualno”) beskonačno mnogo točaka na nekoj dužini (bila ona AB ili 34)? Ili točke dospijevaju na dužinu tek tako da tu dužinu dijelimo, što možemo činiti (”potencijalno”) u beskraj?

Ako ih već ima (”aktualno”) beskonačno mnogo, sastoji li se dužina od točaka? Je li dužina skup točaka i ništa osim toga? Ali otkud joj onda duljina?

1.2. Do koliko znaš brojati (potencijalna beskonačnost)?

Kad dijete kaže  ”Ja znam brojati do deset. A ti?”, što ćete mu odgovoriti? Ako odgovorite ”do beskonačno” pod tim ne mislite da možete stvarno izbrojati do ∞, nego da uvijek možete nastaviti još i dalje brojati. Odnosno, mislite na potencijalnu beskonačnost, a ne na ostvarenu (”aktualnu”) beskonačnost.

Što to znači? Riječ ”potencijalno” znači ”moguće”, a ”potencijalna beskonačnost” znači mogućnost da se nešto uvijek još i dalje poveća. Zbroj 1 + 1 +  1 +… po tom gledištu nije jednak ∞ i gotovo, kao da bi ∞ bio neki rezultat poput drugih. Rezultat znači nešto gotovo, dovršeno, a zbroj 1 + 1 +  1 +…  nikad nije dovršen. Zato je, prema tom gledištu, taj zbroj samo potencijalno beskonačan, jer se uvijek može još povećati, pa nije konačan, nije ograničen nego je bez-konačan, ne-ograničen. Od Aristotela (4. st. pr. Kr.) pa do 19. stoljeća većina je matematičara smatrala da beskonačnost treba shvatiti isključivo kao potencijalnu.

Što je sa zbrojem 1/2 + 1/4 + 1/8 +… ? Vidjeli smo kako slika sugerira da taj zbroj beskonačno mnogo članova ima konačan rezultat, i to 1.

infinite-series-square

Ipak, upitajmo se još jednom: koliko pravokutnikića moramo dodati da površina doista bude 1? Odgovor je: beskonačno mnogo. Možemo li dodati beskonačno mnogo (sve manjih) pravokutnika? Naravno, možemo reći ”očito je da na kraju ta površina mora biti 1”. Ali, ima li kraja, ako se radi o beskonačno (bez-krajno) mnogo članova?

Jesmo li dobili konačni rezultat zbroja beskonačno mnogo brojeva, ili smo dobili broj kojemu se svakim novim članom potencijalno približavamo ali ga nikad ne dostižemo?

Naš bivši učenik od prije par generacija, Luka M., zastupao ovo drugo gledište u komentaru:

Kod zbrajanja n brojeva (x1 + x2 + … + xn), uzmemo prvi broj i na njega dodajemo sve preostale, ono što dobijemo na kraju zovemo zbrojem. …

Kod zbroja beskonačno mnogo brojeva, ne znamo što napraviti. Jer: ako uzmemo prvi broj i krenemo dodavati ostale, nikad nećemo stati.

Zbog toga mi se čini da je zbrajanje beskonačno mnogo brojeva (sumiranje reda) nešto što je vrstom bitno različito od zbrajanja 2 (ili n) broja. Rekao bih da je sumiranje reda proces bez kraja. To tu operaciju bitno razlikuje od zbrajanja 2 (ili n) broja koja itekako ima kraj.

Ako mi ne možemo, može li računalo stvarno (a ne samo potencijalno) izbrojati do ∞?

Za današnja računala svakako vrijedi da za beskonačno mnogo ma kakvih koraka jest potrebno beskonačno mnogo vremena.

Aristotel je iskoristio zamisao o potencijalnoj beskonačnosti da riješi još jedan Zenonov paradoks (uz ”Ahila i kornjaču”) nazvan ”Dihotomija” (već smo ga spominjali u komentarima). Najprije paradoks:

Neko tijelo, da bi prešlo neki cijeli put mora prvo prijeći polovicu, zatim četvrtinu, pa osminu i tako neograničeno dalje… Dakle, opet imamo naš zbroj beskonačno mnogo članova 1/2 + 1/4 + 1/8 +… Od trkača bi se moglo tražiti, kaže Zenon, da broji svaki od tih koraka. No, to bi značilo da  ”kad je prijeđena cijela crta, izlazi da je izbrojen neograničen broj (∞), što je … nemoguće”.

Kako je Aristotel odgovorio na taj Zenonov izazov?

Aristotel kaže da ne postoji već beskonačno mnogo dijelova dužine, nego je dužina tek potencijalno uvijek još djeljiva. Neograničena podijeljenost vremena i prostora u Zenonovim dokazima nije nešto što je stvarno već sprovedeno, ostvareno, niti pak može biti ostvareno. Prostor i vrijeme mogu se dijeliti neograničeno, ali ti dijelovi prostora i vremena nastaju tek kao rezultat samoga dijeljenja. Prije dijeljenja prostor i vrijeme nemaju dijelove.

Stoga Aristotel zaključuje kako je moguće udaljenost od Ahila do kornjače dijeliti u beskraj (potencijalno), ali to ne znači da onaj tko prelazi tu udaljenost prelazi ∞ mnogo dijelova. Dijelovi nastaju tek kad netko dijeli tu udaljenost. Da bi netko imao problem kako prijeći udaljenost koja ima ∞ mnogo dijelova, najprije bi netko trebao podijeliti tu udaljenost na ∞ mnogo dijelova. Inače se ta udaljenost može prijeći, dakako, ako se jednostavno krene i ne stane.

Dodatak:

Isti rezultat sume beskonačnog reda kao i gornja slika daje formula za sumu beskonačnog reda koju smo izveli u prošlome zapisu. Ali, uz taj se izvod također može staviti jedan upitnik. Postupak izvođenja išao je ovako:

S = 1 + x + x2 + x3 + …

Sad pomnožimo obje strane jednakosti sa x.

S∙x = x + x2 + x3 + x4 + …

S desne strane to je isti izraz kao i ranije, samo bez 1! (Je li? 😉 )

Doista, je li? Recimo da se ne radi o beskonačnom redu, nego nekom konačnom, sa n članova.

S = 1 + x + x2 + x3 + … + xn.

Sad pomnožimo obje strane jednakosti sa x.

S∙x = x + x2 + x3 + x4 + …+ xn + xn+1

Ako oduzmemo te dvije jednakosti dobijemo S – S∙x = 1- xn+1. To vrijedi za bilo koji n, s time da ovaj član xn+1 postaje sve manji i manji kako n ide u beskonačnost (jer je iznos x manji od 1). Kad taj član postane 0 tad dobijemo onu formulu za sumu beskonačnog reda. Ali, kada taj član postaje nula? Tek kad n=∞, odnosno, gledano sa stajališta potencijalne beskonačnosti, nikad!