Tag Archives: Stefan Banach

Banach – Tarskijev paradoks

Banach – Tarskijev paradoks teorem je iz teorije skupova geometrije i objašnjava proces dobivanja nečega u većoj količini nego s kojom smo započeli. On kaže da ako uzmemo neko tijelo i podijelimo ga na određeni broj skupova te dijelove možemo rotirati, a zatim ispremještati, bez dodavanja sličnih skupova, kako bi stvorili dva identična takva tijela. Takav je proces naravno neizvediv u stvarnosti, ali u teoriji su mnoge stvari moguće. Čak i da Hajduk postane prvak.

Podijelimo li neku stvar na više dijelova ne možemo ih rasporediti na drugačiji način i dobiti ih više. Skup tih dijelova je konačan, i u tome je problem. Što ako podijelimo tijelo na beskonačno mnogo dijelova, sitnih, nevidljivih. Time bi stvorili više mogućnosti. Do beskonačnosti se ne može brojati jer nije broj, već veličina nečega – npr. samog brojevnog pravca. Dodamo li ili oduzmemo beskonačnosti neki broj ona ostaje ista. Isto vrijedi i za dijeljenje; beskonačnost podijeljena nekim brojem ostaje beskonačnost.

Banach – Tarskijev paradoks iskorištava takva jedinstvena svojstva beskonačnosti.  Za teorem je potrebna jedna sfera. Sferu u 3D prostoru možemo rotirati u bilo kojem smjeru, ali radi funkcioniranja teorije rotiramo je uvijek za istu udaljenost i u samo četiri smjera: Lijevo – L, desno – R. gore – G i dolje – D. Kombinacija te četiri rotacije ima beskonačno mnogo jer uvijek možemo rotirati još jednom u nekom od četiri smjera. Izmjenjivanjem tih rotacija nikad nećemo sletjeti na istu točku dvaput, osim u dva slučaja. U slučaju rotiranja zadnje dvije rotacije u suprotnim smjerovima dolazi do međusobnog poništavanja: LR, RL, GD i DG sve su završne rotacije koje se vraćaju na prethodnu točku. Drugi slučaj su polovi. Svaka rotacija ih ima dva: za lijevo i desno okretanje polovi su južni i sjeverni, a za okretanje gore i dolje polovi su istočni i zapadni. Problem je što više kombinacija vodi do istoga pola. Želimo li doći do južnog pola bilo koji ponavljajući DLDL… i DRDR… iz različitih točaka jednako udaljenih od pola imat će isti krajnji cilj. Zbog toga se polovi mogu označiti više od jednog puta.

Za početak odaberemo neku točku na sferi i započnemo rotiranje. Ta se točka okretanjem pomiče i postaje nova točka.

Rotirajući sferu dobivamo četiri skupa zapisa kombinacija: one koje završavaju na D, one koje završavaju na G, one koje završavaju na L i one koje završavaju na R. Svaki od tih skupova je beskonačan jer uvijek možemo zarotirati još jednom. Ipak, nakon beskonačno mnogo označavanja točaka još uvijek nismo sletjeli na svaku točku. Jer se radi o sferi, uvijek možemo odabrati još jednu početnu točku i započeti rotiranja od tamo. Zatim to ponovimo. I onda još jednom, i još jednom. Nakon beskonačno mnogo početnih točaka i beskonačno mnogo rotiranja ćemo napokon označiti svaku točku na sferi samo jednom.

Osim, naravno, polova koje ćemo označiti više nego jednom. Ne možemo ih svrstati u početna četiri skupa već ih možemo staviti u zaseban skup P. Svaka ih kombinacija ima dva zbog čega je skup P također beskonačan. Uz skup početnih točaka PT dobijemo cijelu sferu. Ona se sada sastoji od šest skupova G,D,L,R,P i PT.

Rotacije će  biti pisane u suprotnom smjeru, s desna prema lijevo, kako bi završne rotacije bile na početku zapisa.

Uzmimo skup L:

L, LL, LLL, LLLL…                             LLG, LLGG, LLGGG…                      …

LD, LDD, LDDD, LDDDD…          LLLD, LLLDD…                                 …

LG, LGG, LGGG…                            LDG, LDGG…                                               …           

LLLG, LLLR, LLLD…                         LGD, LGDD…                                               …

LLD, LLDD…                                     LGR, LGRR…                                    …

Ovaj skup definira se kao skup koji završava s rotacijom L, ali što bi se dogodilo ako cijeli taj skup rotiramo u desno. To bi bilo jednako dodavanju slova R na kraj svakog zapisa:

RL, RLL, RLLL, RLLLL…                               RLLG, RLLGG, RLLGGG…              …

RLD, RLDD, RLDDD, RLDDDD…              RLLLD, RLLLDD…                            …

RLG, RLGG, RLGGG…                                RLDG, RLDGG…                              …

RLLLG, RLLLR, RLLLD…                             RLGD, RLGDD…                              …

RLLD, RLLDD…                                            RLGR, RLGRR…                               …

Rotacije R i L se međusobno poništavaju i ostavljaju nam, čini se, više nego s čime smo započeli. Ako uklonimo poništena slova iz zapisa dobijemo ovo:

(RL), L, LL, LLL…                              LG, LGG, LGGG…                …

D, DD, DDD, DDDD…                     LLD, LLDD…                         …

G, GG, GGG…                                  DG, DGG…                           …

LLG, LLR, LLD…                               GD, GDD…                           …

LD, LDD…                                         GR, GRR…                            …

To je opet cijeli skup L. Ali, i potpuni skup D, potpuni skup G i potpuni skup bez početnih rotacija (poništeni RL u zagradama) – to je cijeli skup početnih točaka. Samim rotiranjem jednim od skupova dobili smo četiri skupa. Od jedne šestine dobili smo dvije trećine. Trećina koja nedostaje su skup R i skup P. Dodavanjem preostala dva skupa dobili smo čitavu sferu, ali uz nekoliko stvari viška.

Preostali su skupovi D, G i PT.

Uzmimo sada skup G. Njega definiramo kao skup koji završava s rotacijom G:

G, GG, GGG, GGGG…        GRL, GRLL…                         …

GL, GLL, GLLL…                   GLR, GLRR…                        …

GR, GRR, GRRR…               GLD, GLLD…                        …

GGL, GGLL…                        GRD, GRRD…                      …

GGR, GGRR…                      GLD, GLDD…                                   …

Rotiramo li cijeli taj skup prema dolje dobili bi ovo:

DG, DGG, DGGG, DGGGG…        DGRL, DGRLL…                   …

DGL, DGLL, DGLLL…                      DGLR, DGLRR…                  …

DGR, DGRR, DGRRR…                  DGLD, DGLLD…                  …

DGGL, DGGLL…                              DGRD, DGRRD…                …

DGGR, DGGRR…                            DGLD, DGLDD…                 …

Opet poništimo rotacije:

(DG), G, GG, GGG…           RL, RLL…                   …

L, LL, LLL…                            LR, LRR…                  …

R, RR, RRR…                        LD, LLD…                  …

GL, GLL…                              RD, RRD…                 …

GR, GRR…                            LD, LDD…                  …

Ovime smo ponovno dobili cijeli skup G, skup L, skup R i cijeli skup PT. Ali ovaj put nije sve toliko jednostavno kao prethodno okretanje.  Ne treba nam novonastali skup PT jer još nismo iskoristili onaj izvorni.

Stoga trebamo ukloniti sve zapise koji poslije rotiranja daju početne točke. To su zapisi koji su sastavljeni od samo jednog G. Te zapise ćemo staviti sa strane. Ali, nakon poništavanja zapis GG postat će zapis G te ćemo imati dva takva zapisa. Stoga moramo staviti sa strane sve zapise sa samo G rotacijom(G, GG, GGG…).

Sada možemo poništiti rotacije:

RL, RLL…                                                      …

L, LL, LLL…                LR, LRR…                  …

R, RR, RRR…            LD, LLD…                  …

GL, GLL…                  RD, RRD…                 …

GR, GRR…                LD, LDD…                  …

To je cijeli skup G, cijeli skup R i cijeli skup L. Dodamo li tome one zapise G koje smo stavili sa strane, skup D i skup PT skoro smo dobili cijelu novu sferu. Još samo nedostaju polovi. Na toj sferi sada postoji beskonačno mnogo rupa na kojim mjestima su trebale biti točke polova. Ali postoji rješenje za to uz pomoć misaonog eksperimenta Hilbertovog hotela.

Hilbertov hotel ima beskonačno mnogo soba i beskonačno mnogo gostiju – ali još uvijek nije pun. Poželi li novi gost pristupiti hotelu, pomaknemo gosta iz sobe 1 u sobu 2, 2 u 3, 3 u 4 itd. Pošto imamo beskonačno mnogo soba nikad nam ih neće ponestati. Ali, ako novopridošli gost ipak poželi napustiti svoju sobu, hotelu ta soba neće ostati prazna. Samo, kao i prije, pomaknemo gosta iz sobe 2 u sobu 1, 3 u 2, 4 u 3 itd. Jer imamo beskonačno mnogo gostiju ni njih nam neće nikad ponestati.

Primijenimo to na našoj nepotpunoj sferi. Na njoj možemo pronaći određeni kut rotacije oko kojeg bi se okretale sve rupe. Tim bi se potezom svaka rupa našla na jednoj kružnici sfere. Kružnica ima onoliko točaka koliko i Hilbertov hotel soba i gostiju, stoga možemo primijeniti isti postupak. Pomalo neugodnim manevrom svaku kružnicu možemo rotirati kako bi se svaka točka pomakla za jedno mjesto unaprijed upotpunjujući tako prazno mjesto same rupe. Poput gostiju u hotelu.

Time su rotacije završene. Nismo ništa dodavali ni oduzimali, rastezali ili upotpunjavali, a od jednog početnog tijela dobili smo dva identična takva tijela.