Pitagorejci, pentagram i zlatni rez? (iz povijesti matematike)

Bavljenje matematikom u drevnoj Grčkoj nije bilo za svakoga – dapače, matematičari su bili članovi svojevrsnog tajnog društva kojemu je osnivač bio legendarni Pitagora, a koje se osim matematikom bavilo i raznim vidovima pristupa božanskim stvarima. Znak im je bio pentagram, koji u sebi uključuje jedan (iracionalni) omjer duljina kojega danas nazivamo zlatni rez i označavamo slovom Φ (koji osim u matematici navodno ima zanimljive primjene u estetici, biologiji, pa čak i u etici). 

I pentagram i zlatni rez su do danas ostali zanimljivi raznim ljubiteljima tajanstvenosti, ali ovdje ćemo razmotriti jedan nimalo tajanstven a ipak matematički zanimljiv razlog zašto su se pitagorejci njima bavili.

Zbog tajnosti toga drevnog društva većinu njihovih matematičkih spoznaja primili smo od nešto kasnijih grčkih matematičara, prije svih najvećeg među njima, Euklida. Njegovi Elementi su jedna od nekoliko temeljnih knjiga zapadne civilizacije, uz Bibliju, Homera i još ponešto. U sedmoj knjizi Elemenata opisao je nešto što danas nazivamo Euklidov algoritam, a radi se o postupku kojim se određuje najveća zajednička mjera dvaju cijelih brojeva ili dviju dužina. Evo geometrijskog prikaza pronalaženja najveće zajedničke mjere brojeva 49 i 21 (taj primjer je tradicionalan, doduše ne Euklidov nego Nikomahov, novopitagorejca koji je živio u Siriji u prvom stoljeću po Kr.).

Uzmemo dužinu EA i dodamo je onoliko puta koliko može stati u dužinu DC (u ovom primjeru dodamo još jednu, dakle može stati dva puta).

Višak označimo sa FC. Dakle vrijedi da je duljina DC=2EA+FC.

Sad gledamo koliko puta može FC stati u EA.

Može stati tri puta. Dakle EA=3FC, a DC=2EA+FC=2*3FC+FC=7FC. Odnosno, postoji dužina koja stane sedam puta u DC a tri puta u EA, i ona je njihova najmanja zajednička mjera.

Kad takav postupak primijenimo na razlomke dobijemo jedan zanimljiv zapis razlomaka kojega nazivamo verižnim razlomcima. Evo primjera razlomka:

(primjer preuzet od ovdje)

Pitagorejce je fasciniralo otkriće da se omjeri nekih duljina (naime oni koje danas nazivamo iracionalnim brojevima) ne mogu zapisati u obliku verižnih razlomaka s konačnim brojem članova. (O tome njihovom otkriću više ovdje: nesumjerljivost?) Jedan od njih je omjer duljina stranica pentagrama (npr. AC na donjoj slici) i pravilnog peterokuta (npr. ED na donjoj slici), koji je jednak zlatnom rezu Φ.

Unutar pentagrama mogu se naći još neki zanimljivi omjeri povezani s brojem Φ, ali sad nas zanima jedno drugo pitanje, naime: kakve to ima veze s verižnim razlomcima?

U slučaju pravilnog peterokuta ucrtavanjem dijagonala nastaje pentagram koji u sebi ponovno sadrži peterokut s pentagramom u sebi, tako da se lik u unutarnjosti beskonačno nastavlja. Sada se jedna strana peterokuta, recimo DE, može mjeriti dijagonalom AC koja joj je paralelna iz razloga simetrije. Četverokut ED’CD je paralelogram, dakle CD’=DE. Dakle, stranica DE ili CD’ jedanput je sadržana u dijagonali CA, a kao ostatak ostaje AD’.

Mjeri li se AD’ na AE’ (koja je također jednaka stranici DE), ona je opet jedanput sadržana i kao ostatak imamo E’D’. No sada je E’D’ stranica unutarnjeg peterokuta A’B’C’D’E’, a njegova dijagonala C’A’ jednaka je D’A (jer je AD’A’C’ paralelogram). Prema tome ponavlja se isti odnos i postupak ”uzajamnog oduzimanja” beskrajno se nastavlja. (iz O. Becker, Veličina i granica matematičkog načina mišljenja)

Ako bismo sad to da je svaka sljedeća stranica sadržana jednom u prethodnoj, i da se taj niz nikad ne zaustavlja napisali u obliku verižnog razlomka, to bi izgledalo ovako:

Dakle, zlatorezni omjer Φ (omjer stranice pentagrama i pentagona) kad se napiše kao verižni razlomak sastoji se od samih jedinica.