Tag Archives: Gottfried Leibniz

5.1. Newtonovo vjedro: postoji li (apsolutni) prostor?

Svatko zna da je gibanje relativno, i da ta riječ „relativno“ dolazi od riječi „relacija“, odnos. Kad kažemo da se nešto giba onda valja reći u odnosu na što se giba. Neko tijelo miruje u odnosu na neki stol koji je na brodu, ali brod (a s njim i to tijelo) se giba u odnosu na more, obalu, itd. Čak i ako stol nije na brodu nego u kući, giba se u odnosu na Mjesec ili Sunce, Sunce se opet giba u odnosu na druge zvijezde, galaksije se također gibaju jedna u odnosu na drugu, itd.

Ali što kad ne bi bilo ničega osim jedne stvari u svemiru, kad ne bismo mogli navesti neku drugu stvar u odnosu na koju se ona prva giba? Bi li se uopće radilo o gibanju?

Veliki fizičar Newton i veliki filosof i matematičar Leibniz nisu se slagali oko toga pitanja. Pitanje je, dakle, je li

1. prostor nešto u čemu su stvari pa bi ga bilo i bez stvari u njemu, ili

2. prostor nije ništa nego odnos između stvari pa bez stvari ne bi bilo ni prostora.

Newton je zastupao prvu tezu, Leibniz drugu. Po prvoj tezi prostor je apsolutan (njegovo postojanje ne ovisi o postojanju stvari u njemu), po drugoj je relativan (postoji samo kao odnos između stvari, bez stvari nema ni prostora).

newtons bucket

Newton predlaže ovakav misaoni pokus: u vjedru (kabliću, posudi) koje miruje u odnosu na okolinu je voda, koja miruje u odnosu na vjedro. Površina te vode je, naravno, vodoravna. Označimo tu početnu situaciju brojem I.

Potom započnemo rotirati vjedro. Voda najprije zaostaje za vjedrom koje rotira, i tu imamo relativno gibanje vjedra u odnosu na vodu. Označimo tu situaciju brojem II.

Na kraju se i voda rotira zajedno s vjedrom, i imamo situaciju prikazanu pod brojem III. Voda nije vodoravna, nego paraboloidna. Ključno je da u situaciji pod brojem III. nema relativnog gibanja vode u odnosu na vjedro. Gibaju se zajedno u odnosu na okolinu, odnosno, voda miruje u odnosu na vjedro.

Pitanje je sad: ako tu voda miruje u odnosu na vjedro, u čemu je zapravo razlika između situacije I. (u kojoj je voda vodoravna) i situacije III. (u kojoj je voda parabolična)? Naravno, odgovor je da u situaciji III. i voda i vjedro rotiraju. Ali u odnosu na što? Možemo reći npr. u odnosu na ostatak sobe, ali zamislimo da nema sobe – zar voda u rotirajućem vjedru ipak ne bi oblikovala paraboličnu površinu? Možda u odnosu na Zemlju? Ali što kad bismo imali vodu koja rotira daleko od bilo kojega tijela, dakle bez gravitacije? Čini se da bi učinak bio sličan, odnosno da bi mirujuća voda bila sferna a rotirajuća nešto spoljštena na polovima.

I ako bismo imali takvu rotirajuću spljoštenu „kuglu“ vode negdje daleko od bilo kakvog drugog tijela, u odnosu na što ona rotira? Netko je na to pitanje doista odgovorio: „u odnosu na udaljene zvijezde“, ali to se ne čini uvjerljivim. Kako bi tako udaljene zvijezde utjecale na oblik vode koja rotira? Newtonov odgovor na pitanje u odnosu na što ta voda rotira ovaj: ne rotira u odnosu na bilo koje drugo tijelo, nego u odnosu na sam prostor. Prostor je, dakle, nešto što stvarno postoji, i u odnosu na što tijela (npr. voda) mogu rotirati.

Da bi naglasio taj odgovor smislio je još jedan misaoni pokus: zamislite dvije kugle povezane konopom, daleko u svemiru. Ako obje kugle miruju, napetost niti će biti nula, ali ako rotiraju oko točke na sredini niti, tad će postojati napetost niti.

Rotating_spheres.svg

Ali kugle ne rotiraju u odnosu na ništa osim na sam prostor. Ako su one jedino što postoji u svemiru, tad bi prema Leibnizu i prostor „rotirao“ s njima, odnosno, bolje rečeno, ne bi bilo rotacije u odnosu ni na što. I napetost niti bi trebala biti nula. Međutim, čini se da nije tako.

(Ako se ne možete odlučiti tko je u pravu, probajte kekse, možda vam nešto sugeriraju.) 

newton leibniz cookies

Newtonova jabuka – izgubljena poanta?

Netko će vjerojatno pomisliti da je ta priča o Newtonovoj jabuci valjda najmanje važna stvar na svijetu… Ako nastavnik fizike i ispriča neku priču, to je više radi razonode – ne može se fizika poučavati pričanjem priča, nije to vjeronauk. I ja se odmah slažem. Ali, radio sam jednom anketicu među učenicima prvih razreda i oko dvije trećine je već čulo tu priču (prije nego im je ja ispričam). Dakle, učenici tu priču znaju, bilo iz škole, bilo iz obrazovnih medija. No, kad ih pitam da je ispričaju, ona je redovito potpuno besmislena. Na primjer, citiram: ”Newton je shvatio da je jabuka pala na tlo, ali se nije opet podignula u zrak nego je ostala na zemlji. Poanta priče je da sva tijela koja padnu s nečega ostaju na tlu.” To su stvari koje djeca spoznaju u prvim mjesecima života, i doista bi bilo čudno da je Newton to shvatio tek poslije svoje dvadesete godine. I ostali su odgovori u pravilu slični.

To me podsjeća na jednu epizodu serije Život na sjeveru. Tamo indijanski vrač pokušava shvatiti bijelce, pa zato sluša koje priče oni pripovijedaju u društvu. I priče su tipa ”Mate se okliznuo i pao”, ”Isaacu pala jabuka na glavu”, ”Ana je vidjela nešto neobično” i tome slično. Onda je Indijanac pokušao shvatiti koju pouku imaju te priče – jer se u njegovom plemenu priče pripovijedaju tako da pouče ljude nekim životnim mudrostima, međugeneracijskom iskustvu. Ali nakon dugog istraživanja ustanovio je da priče bijelaca nemaju nikakvu pouku – one služe samo za razonodu. Takva je i priča o Newtonu kako je meni ispričaju učenici u prvom razredu.

Ipak, ako se ta priča već redovito pripovijeda pri poučavanju fizike, bilo bi poželjno da ima neku pouku, i to po mogućnosti fizikalnu.

Najprije, je li priča uopće istinita?

Sigurno je da mu jabuka nije pala na glavu. Taj detalj se prvi put uopće spominje više od sto godina nakon Newtonove smrti, i može se prihvatiti ocjena da se radi o ”vulgarnom mitu” na razini crtića. Prethodne verzije priče kažu samo da je Newton univerzalnost gravitacije uvidio u trenutku kad je prilikom šetnje u vrtu vidio pad jabuke.

Zanimljivo, tu je priču popularizirao Voltaire:

Sir Isaac Newton je šetao svojim vrtom kad je prvi put pomislio na svoj sustav gravitacije, nakon što je ugledao jabuku kako pada sa stabla.

Kad sam pročitao da je Voltaire najzaslužniji za popularizaciju te priče bilo mi je sve jasno: zacijelo je Voltaire izmislio priču! Naime, u doba Voltaireove mladosti trajala je oštra prepirka o tome tko je prvi otkrio diferencijalni račun, Newton ili Leibniz. Voltaire je bio antileibnizovac, jer je Leibniz tada bio jedan od najuglednijih znanstvenika koji je nastojao za pomirenjem znanosti i religije, a Voltaire je bio izrazito antireligiozan. Sjećamo se iz srednjoškolske lektire Voltaireovog Candidea, nepopravljivog optimista koji vjeruje da živimo u najboljem od svih mogućih svjetova, a možda se neki sjećaju i toga da Voltaire tu zapravo ismijava Leibnizovu teoriju.  Tako da je vjerojatno Voltairovo populariziranje Newtonove teorije također motivirano borbom protiv Leibniza i njegovih ideja.

Razlog zbog kojeg sam pomislio da je Voltaire ne samo popularizirao nego izmislio priču je to da se radilo upravo o stablu jabuke. Naime, u doba prosvjetiteljstva je postojala svijest o tome da je započelo novo znanstveno doba, koje se dijelom suprotstavlja a dijelom nastavlja na prethodne tradicije Zapada – to su antička i kršćanska tradicija. Antička grčka tradicija započinje Ilijadom, a tu je pokretač rata bila slavna ”jabuka razdora” koju je Paris dao najljepšoj među božicama (i time izazvao mržnju ostalih božica).

jabuka razdora
Peter Paul Rubens prikazuje “jabuku razdora” na svojoj slici iz 1638.

Judeo-kršćanska tradicija započinje pričom o izgonu iz Raja zbog ”zabranjenog voća”, a koje se u umjetnosti najčešće prikazuje baš kao jabuka.

eve-offering-the-apple-to-adam-in-the-garden-of-eden-and-the-serpent-cranach

Nakon tih dviju jabuka koje su značile mitski početak, sada i treća, Newtonova, pokreće Novi vijek, doba znanosti i prosvjetiteljstva. Činilo mi se da je jasno da je to razlog zbog kojeg je Voltaire ubacio jabuku u priču o Newtonu.

Ipak, izgleda da Voltaire nije izmislio priču. Postoje dva svjedočanstva da je sam Newton, kad je već imao osamdeset godina, ispričao tu priču. Ali prvi Newtonovi biografi ne spominju nikakvu jabuku. Zašto bi je ispričao tek tada, pod stare dane, jednom novinaru i svojoj nećakinji? Slavni matematičar Gauss je ovako odgovorio na to pitanje:

Zacijelo se radilo o nečemu ovakvom: Newtonu dođe neki glup i nametljiv čovjek, i pita ga kako je došao do svog velikog otkrića. Da ga se riješi, Newton reče da mu je pala jabuka na nos. To je onome čovjeku sve razjasnilo, i on ode sasvim zadovoljan.

Vjerojatno je Gaussovo objašnjenje ispravno. Ipak, kad već pričamo tu priču, ispričajmo je tako da ima smisla. A to se može postići tako da se u priču uvede i Mjesec. Dakle, Sir Isaac Newton je šetao svojim vrtom, ugledao jabuku kako pada sa stabla, ali i Mjesec koji ostaje na nebu. I upitao se: zašto jabuka pada a Mjesec ne pada? Ta priča ima smisla, to jest pitanje koje je važno za razumijevanje Newtonove gravitacije.

Newton_apple

(Ovdje valja dodati i pitanje: kako to da je tek Newtonu palo na pamet to pitanje? Zašto nije palo na pamet Aristotelu ili Ptolemeju itd.? Pretpostavljam da je odgovor u tome da je tek nakon otkrića teleskopa prepoznato da je Mjesec po svemu sudeći tvarno tijelo baš kao i jabuka. Prije toga se nebeska tijela u pravilu smatralo nečim bitno različitim od zemaljskih tijela. Dakle, za npr. Aristotela odgovor na pitanje zašto jabuka pada a Mjesec ne pada? bio bi otprilike zato što je jabuka od zemaljske tvari koja pada a Mjesec od nebeske koja ne pada. Tek otkriće teleskopa pokazuje da je Mjesec nešto što, poput Zemlje, ima brda i doline, dakle nešto što nije bitno različito od jabuke. I tada je postalo relevantno to pitanje: zašto jabuka pada a Mjesec ne pada?)

1.5. ima li više parnih ili prirodnih brojeva? (prebrojivost)

Ima li više parnih prirodnih brojeva ili prirodnih brojeva (dakle parnih i neparnih ukupno)? Naravno, ako brojimo do bilo koje konačne vrijednosti N, onda će prirodnih brojeva biti dvostruko više nego parnih. Pa se najprije može činiti da je time lako odgovoreno na naše pitanje. Ali, ako krenemo brojati parne brojeve, onda imamo nešto ovako

2   4   6   8   10   12  14  16 …

1   2   3   4     5     6    7    8 …

Dakle, svaki prirodni broj broji jedan parni te nema nijednog prirodnog broja kojemu ne bi odgovarao neki parni, po jednostavnoj formuli PARNI=2∙PRIRODNI. Koliko god ima članova s lijeve strane ove jednakosti, toliko ima i s desne. Odnosno, parnih brojeva ima jednako koliko i prirodnih.

Ali kako je to moguće? Prirodni brojevi se sastoje od parnih i ne-parnih. Kako je moguće da parnih i neparnih brojeva zajedno ima isto koliko i samo parnih? Ta stvar je zbunjivala i neke od napametnijih ljudi prošlog tisućljeća, poput Leibniza i Galilea.

Galileo je pisao o vrlo sličnom problemu s nizom prirodnih brojeva koji su kvadrati prirodnih brojeva, dakle 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64 … I ovdje se ponavlja isti obrazac – kad brojimo te brojeve nijedan prirodni broj neće biti preskočen, odnosno svakom prirodnom broju odgovara jedan kvadrat. Pa bi slijedilo da kvadratnih brojeva ima jednako koliko i prirodnih brojeva, mada su mnogi prirodni brojevi nisu kvadratni – to se naziva Galileov paradoks. Galileo zaključuje ovako:

Koliko vidim, možemo samo zaključiti da je ukupnost svih [prirodnih] brojeva beskonačna, da je broj kvadrata beskonačan, i da je broj njihovih korijena beskonačan; niti je broj kvadrata manji od ukupnosti svih brojeva, niti je ono prvo veće od drugoga; i konačno, oznake ‘veće’, ‘manje’ i ‘jednako’ nisu primjenjive na beskonačne nego samo na konačne veličine.

Leibniz je također smatrao da ih ne može biti jednako. To bi naime značilo da pravi podskup nekog skupa ima jednako članova koliko i sam taj skup, a to bi kršilo Euklidov aksiom: „Cjelina je veća od dijela.“

No, krajem 19. stoljeća Cantor je sve skupove koje možemo brojati na prethodno opisani način nazvao prebrojivim, i ustvrdio da svaki od njih ima točno jednako članova. Taj broj članova, koji je naravno beskonačan, označio je hebrejskim slovom „alef“ uz indeks nula, dakle „alef nula“, što se označava sa {\displaystyle \aleph _{0}}.

Zanimljivo je i da racionalnih brojeva ima točno toliko. To nije očito kao u prethodnim primjerima, jer u njima svi članovi skupova nakon prvoga imaju točno određene prethodnike i sljedbenike, pa je jasno kako ih brojati. Ali nije jasno kako brojati racionalne brojeve – neki racionalni broj, npr. 2/7, nema prethodnika ni sljedbenika. Ipak, moguće ih je poredati tako da svi budu obuhvaćeni pri brojanju, i tako pokazati da je skup racionalnih brojeva prebrojiv (mada beskonačan), odnosno da ima alef nula racionalnih brojeva.

rationals-countable

(Naravno, pri brojanju preskačemo one racionalne brojeve koje smo već brojali, npr. 2/4 budući da smo već brojali 1/2. Važno je samo da postoji poredak koji obuhvaća sve racionalne brojeve.)

A što vi mislite? Slažete li se s Galileom ili s Cantorom? Mislite li da su sve beskonačnosti jednako velike ili su neke veće od drugih? 🙂