1.0. Ahil i kornjača

Započinjemo jednim slavnim paradoksom, o kojem sam nekima od vas već govorio na satu (neka vas to ne spriječi da komentirate).

Među zadatcima za pripremu državne mature iz fizike našao se i ovaj:

Ahil i kornjaca zadatak

Zadatak nije težak, dva jednolika pravocrtna gibanja. Od početka gibanja Ahila i kornjače do dostizanja prošlo je neko vrijeme t. Za to vrijeme su prešli putove:

skornjača = vkornjače · t,     sAhil = vAhil · t.

Ahil je prešao veći put, i to veći za njihovu međusobnu početnu udaljenost:

sAhil – skornjača =90 metara.

Slijedi

vkornjače · t  – vAhil · t = 90 metara

i kad se uvrste zadane brzine, dobije se da će Ahil će stići kornjaču za 10 sekundi; za to vrijeme će kornjača prijeći 1 m a Ahil 91 m. Grafički se to može prikazati ovako:

ahil i kornjaca 1

Naravno, tamo gdje se sijeku dva pravca, to je trenutak (na osi t) i mjesto (na osi x) dostizanja.

Što se tiče državne mature, to je točno rješenje, ono je jednoznačno, i tu nema ništa sporno. Ali, nije slučajno da su autori zadatka ovdje u glavne uloge postavili baš brzonogog Ahila i sporu kornjaču. Naime, to su glavni likovi jednog od slavnih Zenonovih paradoksa. (Paradoks čine iskazi koji su po svemu sudeći istiniti, ali međusobno proturječe). Zenon ovako nekako razmišlja:

Da bi Ahil stigao kornjaču, najprije mora doći do točke gdje je kornjača bila u trenutku kad je Ahil krenuo – nazovimo tu točku K1. Ahil je brzonog, pa će za kratko vrijeme prijeći tu udaljenost. No, u međuvremenu se kornjača pomaknula. Kornjača je spora pa nije mogla otići jako daleko – nazovimo tu točku K2. U svakom slučaju, Ahil sada (da bi stigao kornjaču) mora doći do dočke K2. No, dok Ahil dođe do točke K2, kornjača se pomaknula do neke točke K3, itd. Ahil svaki put (prije nego sustigne kornjaču) mora doći do mjesta gdje je kornjača prethodno bila, a kornjača će se svaki put u međuvremenu pomaknuti. Stoga Ahil nikad neće stići kornjaču.

Je li moguće naći grešku u Zenonovom razmatranju? Ja ne vidim grešku. Pa ipak, znamo (kao što je znao i Zenon) da Ahil hoće stići kornjaču. Dakle, imamo dva međusobno proturječna rezultata (”stići će ju za 10 s” i ”neće ju nikad stići”), bez da možemo pronaći pogrešku – to čini paradoks.

Ako se vratimo na naš maturalni zadatak, možemo ovaj problem prikazati i brojčano. Dok Ahil prijeđe 90 metara da bi došao do mjesta gdje je kornjača bila na početku, kornjača će se pomaknuti za 90/91 metara.

ahil i kornjaca 2

Dok Ahil prijeđe tih 90/91 metara, kornjača će se pomaknuti za 90/912 = 90/8281 metara. Zumirajmo na grafu dio nakon K1 – dakle, graf ne započinje od 0, nego od K1 i trenutka kad je Ahil stigao do K1 (kornjača je već stigla u K2).

ahil i kornjaca 3

Dok Ahil prijeđe tih 90/8281 metara kornjača će se pomaknuti za 90/913 = 90/753571 metara, itd. Zumirajmo na grafu dio nakon K2 – graf sad započinje od K2 i trenutka kad je Ahil stigao u K2 (kornjača je već stigla do K3).

ahil i kornjaca 4

Mogli bismo ponavljati te slike s početkom u K3, K4, K5, …, neograničeno, bez da ikad dođemo do točke susreta. Kad Ahil stigne do Kn kornjača je uvijek već u Kn+1. Očito je da se ta udaljenost (koju prijeđe kornjača dok Ahil stigne na mjesto gdje je ona maloprije bila) svaki put smanjuje za 91 puta, pa će nakon n ovakvih približavanja biti 90/91n . Ali, nakon koliko će puta udaljenost biti nula? Nikad.

Zamislimo da gledamo snimku te utrke snimljenu beskrajno sofisticiranom opremom. U trenutku kad Ahil prijeđe 90 metara, a kornjača se pomakne u točku K2, snimka se na čas zaustavi. Potom se snimka nastavi dok Ahil ne dođe u točku K2, a kornjača se pomakne u K3. Itd. Kad ćemo vidjeti da Ahil dostiže kornjaču? Nikad.

Ali, ako pustimo snimku da se odvija bez prekidanja, vidjet ćemo da Ahil dostiže kornjaču za 10 s.

Što mislite, u čemu je stvar? Zašto (naizgled?) ispravnim razmišljanjem dolazimo do očito pogrešnog rezultata, da Ahil neće stići kornjaču?

Oglasi

33 thoughts on “1.0. Ahil i kornjača

      1. mislio sam nesto u stilu “da je vrijeme neograniceno nikad je nebi stigao” sto ocito nije slucaj zbog cega je i moze uhvatit
        ako to ima ikakvog smisla

      2. A ha. Očito, vremenski interval u kojem se ovo događa nije neograničen. S druge strane, ipak, čini se da je nešto tu neograničeno…

  1. put je neogranicen,mogu ici bilo kakvom brzinom..kako i sam zenon kaze,ahil mora doci do posljednje kornjacine tocke u zadanom vremenu(mislim na to kad je kornjaca krenula dalje s tog mjesta),a onda dok on stize kornjaca ce se pomaknuti za neki x,i taj x ce postajati sve manjim ali nikad nece dostici 0,a i ako je ikad dostigne,kako ce je prestici kad nam kaze da ahil prvo treba doci do kornjacine tocke pa tek onda…?

  2. Draga djeco, odgovor je u tome što se u određenom periodu vremena može gledati beskonačno mnogo koraka. Interval je beskonačno djeljiv, ali on nikada ne bi bio prevaljen da se sastoji od djelova. Zašto Ahil prestiže kornjaču? Zato jer su svaki od Ahilovih koraka i svaki od koraka kornjače nedjeljivi kao pokreti, i različite veličine kao prostor, tj. tako će sabiranje za prostor koji je prevalio Ahil, brzo dati dužinu veću od zbroja prostora koji je prešla kornjača i prednosti koju je ona imala pred njim. Zenon o tome uopće ne vodi računa kada Ahilovo kretanje ponovo sastavlja prema istom zakonu prema kojem i kretanje kornjače, zaboravljajući da jedino prostor dopušta da se proizvoljno rastavlja i ponovno sastavlja, i tako brkajući prostor i kretanje.

    1. O, nakon Roka Rumore prešli smo na Henrija Bergsona. Napredak u svakom slučaju. Kad već prevodiš sa srpskoga, ”sabiranje” ovdje znači zbrajanje. Usput, Bergson je dobio Nobela za književnost, ne za fiziku.

      U slučaju da to kažeš svojim riječima, rado bih pokušao odgovoriti.

      1. Henry Bergson mi je bio samo jedan od izvora, kao i dr. Alberto Viotto. Aspekt Henrija Bergsona govori o stvarnom stanju pogleda i koraku Ahila i koraku kornjače koji su nedjeljivi kao pokreti. U određenom vremenu može se gledati beskonačno mnogo koraka jer se interval može beskonačno dijeliti. Ali kada bi sastavljali te djelove da dobijemo interval to je zapravo nemoguće (iako u matematici je to moguće jer zbrajanjem svih djelova se interval od 0.9 sa točkicom, a to je 1, op.a http://en.wikipedia.org/wiki/0.999… ). Zenon je tu htio pokazati da gibanje zapravo ne postoji, to bi bilo moguće u svijetu u kojem neko tijelo ne bi imalo svoj volumen, ali kako svatko tijelo ima svoj volumen i zauzima neki prostor te nije samo točka na grafu, Zenon je bio u krivu.

      2. Pa da, kaže se: ”Prepiši od jednog – plagijat! Prepiši od dvojice – istraživanje!” Dakle, istraživanje a ne plagijat, isprike Lokaduru. 🙂

        ”U određenom vremenu može se gledati beskonačno mnogo koraka jer se interval može beskonačno dijeliti. Ali kada bi sastavljali te djelove da dobijemo interval to je zapravo nemoguće.”
        Ne razumijem baš. Ako neki x podijelim na N dijelova zašto ne bi vrijedilo da je x = x1 + x2 + x3 + … + xN? Ili to što kažeš vrijedi samo za beskonačni broj dijelova?

        ”to bi bilo moguće u svijetu u kojem neko tijelo ne bi imalo svoj volumen, ali kako svatko tijelo ima svoj volumen i zauzima neki prostor te nije samo točka na grafu, Zenon je bio u krivu.”
        Ako se Ahil i kornjača ne bi gibali u koracima, nego kontinuirano (recimo kao dva auta), onda mi se čini da to što imaju volumen ne mijenja ništa u paradoksu.

  3. u ovome paradoksu kad bi bas isli u detalje i gledali prostor kao skup nekih malih dijelova,onda bi mogli doci do zakljucka da ahil nikad nece ni krenuti s mjesta,jer da bi presao neku duzinu mora prijeci beskonacno mnogo tocaka,kad bi isao prijeci duzinu od samo jednog mikrometra,ona se sastoji od puno manjih duzina a svaka ta duzina od beskonacno mnogo tocaka ,kako beskonacan prostor nema kraja onda ahil nikad ne bi presao ni 1 mikrometar niti 1 pikometar,odnosno ne bi se uopce pokrenuo. Cijeli problem lezi u tome sto se uzima da se duzine i prostor sastoje od beskonacno mnogo tocaka ,a tocke nemaju dimenzija,one su samo tvorevine ljudskog uma da bi se neki pojmovi i pojave lakse opisali. znaci ,kad prostor i duzine opisujemo samo pomocu tocaka dolazimo do zakljucka da nikad necemo ni uspjeti preći bilo kakvu duljinu duzine. U tome je kvaka !

    Pozdrav!

    1. Pozdrav znalcu!

      Ti kažeš da je problem to što uzimamo da se dužina sastoji od točaka, a da su točke samo tvorevine ljudskog uma. Ali, meni se ne čini da je ta pretpostavka o točkama dio ovog paradoksa. Ako uzmemo da se dužina uopće ne sastoji od točaka, nego od drugih, sve manjih i manjih dužina, opet se pojavljuje isti paradoks.

      1. ne moramo gledati da je duzina građena od tocaka, mozemo ju jednostavno dijeliti na sve manje i manje dijelove , recimo da bi ahil presao 5 m prvo mora proci 2m ,a da bi prosao 2 prvo mora proci 1 i tako dalje mozemo dijeliti u beskonacnost,a kako u beskonacnosti nitko ne moze doci s jednog kraja na drugi ,usporedba s matematikom , ne mozemo raspisati sve realne brojeve , skup realnih brojeva nije omeden odozdo a ni odozgo,ali isto tako ne mozemo raspisati ni sve realne brojeve izmedu 0 i 10 npr. realnih brojeva izmedu 0 i 10 i ukupno realnih brojeva ima jednako a to je beskonacno. ista stvar i sa ahilom. on da bi presao neku duljinu mora preci manju duljinu pa jos manju i jos manju i tako u beskonacnost sto znaci da sa gledista takve filozofije mozemo izvesti zakljucak da ahil ne moze uopce krenuti,ne moze preci nikakvu duljinu,a isto tako ni kornjaca ne bi mogla krenuti,nego bi ahil i kornjaca samo stajali,cak stovise kad bi takvo razmisljanje prenijeli na cijeli svijet, zakljucili bi da je nemougce da se ista u svijetu krece,bi li to znacilo da zivimo u svijetu u kojem je temperatura 0 kelvina? iz svakodnevnog iskustva znamo da to nije tako,ne moramo biti poznavaoc ni matematike ni fizike da bi primjetili da se nesto oko nas krece. Ono sto je krivo u cijeloj ovoj filozofiji je zapravo postavljanje problema , nisu u istoj situaciji ahil i kornjaca. Postoje dvije situacije u kojima je ahil u istoj poziciji kao kornjaca: prva je da se nijedan ni drugi ne kreću ,to je ova situacija koju sam navodio kroz komentar,i druga je zapravo fizikalno ispravno rjesenje ovog zadatka u kojem se gleda vrijeme,put,brzina i slicno.

        Toliko za sada od mene !

        Pozdrav !

      2. Zenon je, kao što očito već znaš, uz ”Ahila i kornjaču” sastavio još nekoliko paradoksa. Među njima je i ”Dihotomija”, i to je ovo što ti kažeš. Da bi tijelo prešlo bilo koju udaljenost, najprije treba prijeći pola te udaljenosti. Da bi prešlo pola te udaljenosti, treba preći četvrtinu te udaljenosti. Itd. Očito ćemo doći do beskonačnog broja takvih dijelova. Dakle, da bi prešlo bilo koju udaljenost, tijelo mora prijeći beskonačno mnogo koraka! (Može li? Zenonu je bilo očito da ne može.)

        Ne znam jesi li tim drugim, srodnim paradoksom riješio prvi paradoks o kome govorimo. Ako te dobro razumijem, ti to postavljaš tako da se stvar može gledati na dva načina (kao onaj zec/patka na sličici gore). S jednog gledišta je ne može stići, s drugog može. Ali, ja baš nisam zadovoljan s time.

      3. Pa i nisam bas znao da je postavio toliko paradoksa,cuo sam za ovaj o ahilu i kornjaci ,za druge ne,ovaj zakljucak sam sam izveo,evo ocito je zenon prepisivao od mene 😉

        istina je da problem postavljam na dva nacina,ali mislim da me niste do kraja shvatili,u prvom nacinu se ni ahil ni kornjaca ne mogu uopce pokrenuti s mjesta tako da tu nema tko koga prestici,a drugo ,fizikalno ispravno rjesenje ,je da ce ahil prestici kornjacu ako je brzi od nje . Dakle,jedino je moguce da ahil prestigne kornjacu,ne moze se dogoditi da kornjaca uvijek bude ispred ahila,ili ce oboje mirovati ili ce ahil prestici kornjacu.

        e ali mi smo stalno zaluđeni tim udaljenostima,smanjivanjima udaljenosti i slicno. u postavki problema imamo da je npr. pocetni razmak izmedu ahila i kornjace 50 metara. a ako pocnemo dijeliti tu duljinu na sve manje dijelove dodemo do zakljucka da je taj prostor beskonacno djeljiv,znaci beskonacan je, pa kakva nam onda korist od toga ,isto tako mozemo uzeti i da je razmak izmedu njih 2 kilometra,ako je bilo koja duljina beskonacno djeljiva onda je nepotrebno uopce upotrebljavati mjerne jedinice,jer je udaljenost od 2 metra i od 100 metara i od 10000 kilometara beskonacna,sto znaci da su na pocetku ahil i kornjaca beskonacno udaljeni kad bi na takav nacin gledali na problem,zapravo to bi znacilo da je sve medusobno beskonacno udaljeno,a sto je uopce beskonacnost,jel ona postoji? moze li mi netko dati konkretan odgovor sto je beskonacnost? kakva je ? je li to samo pojam ili stvarnost?

        isto tako mozemo gledati i vrijeme kao beskonacno djeljivo,znaci da bi presao bilo kakvu udaljenost treba nam beskonacno vremena,zakljucak,prostor i vrijeme su beskonacni i sve sto se nalazi u njima je jedno drugom nepoznato,beskonacno udaljeno i beskonacno vremenski odvojeno. Znamo da to tako nije,tu nam se javljaju neke kontradikcije. da je to istina kako to da se ja i vi znamo ? zar nismo beskonacno udaljeni i vremenski razddvojeni? postojimo li uopce u takvom prostoru i vremenu? postoji li išta u beskonacnosti?

        puno pitanja iz kojih proizlaze nova pitanja. odgovore na neka je tesko dati, ili ipak ? cekam @profesorfizike da da odgovore na neka od ovih pitanja,ja bi bio zadovoljan da dobijem barem neke odgovore ili mozda neka protupitanja 😉

        Do slijedeceg puta ,

        Pozdrav!

      4. A ha, sad razumijem, hvala na pojašnjenju. Dakle, ti kažeš da ako uzmemo Zenona zaozbiljno, onda uopće nema kretanja (što Zenon izričito hoće pokazati u ”Dihotomiji”). Ako nema kretanja, onda cijeli problem Ahila i kornjače otpada (doduše, javljaju se mnogi drugi problemi). S druge strane, ako ima kretanja, onda nas se ne tiče Zenon (jer po njemu nema kretanja), pa to riješimo na fizikalno ispravan način. Dobar je odgovor, zadovoljan sam. 🙂 Naravno, to ne znači da se slažem s njim.

        Mislim da je na neka od tvojih pitanja moguće barem pokušati odgovoriti. Vidim da si se predbilježio na buduće teme, pa, čitamo se.

  4. ali bilo kako,bilo kojom brzinom,u bilo kojem vremenu,kako se kornjaca giba paralelno(vrijeme) sa ahilom,uvijek ce biti ispred,iako ce se ta udaljenost,x,smanjivati,nikad nece doci do 0..no sto kao putuje brzinom vecom od svjetlosti,ako bi to bilo moguce? 😀

    1. Pa ne mora se Ahil gibati nikakvom posebno velikom brzinom da bi prestigao kornjaču. Dovoljno je da mu je brzina veća od kornjačine. Eto, u gornjem primjeru prestigne kornjaču za 10 s a brzina mu je puno manja od brzine svjetlosti, samo 9.1 m/s. 😉

  5. Ovo je problem zbrajanja beskonačne serije, isto kao i pljeskanje ruku. Kako mogu pljesnuti rukama ako prvo trebam proći polovicu njihove udaljenosti, pa onda polovicu toga itd.?Recimo da udaljenost ruku iznosi 2m, i da je ta udaljenost S.
    Provjeram je li S=2:
    S = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64…
    Ovu jednadžbu možemo pomnožiti s 1/2 i dobijemo da je:
    1/2S = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64…
    Sada ove dvije jednadžbe oduzmemo i dobijemo:
    1/2S= 1 + 1/2 – 1/2 + 1/4 – 1/4 + 1/8 – 1/8… i sve vrijednosti se ponište, tj.:
    1/2S=1 odnosno S = 2m
    Ovo znači da iako je proces zbrajanja beskonačan, ruke bi ipak proputovale ta 2m.
    Vrijeme je također vrlo bitno. Ako svaki proces traje 1s, trebalo bi beskonačno mnogo vremena, no ako je brzina konstantna, recimo 1m/s, sve je u redu.
    Ovo je matematički način rješavanja ovakvih paradoksa gdje se zbrajaju sve manji djelovi beskonačno mnogo puta.

  6. Mislim da je logično da ako gledamo zadatak kroz Zenonove oči, vidi se da je on došao do zaključka zbog činjenice da je zaustavljao jednog od njih da bi došao do zaključka. Zenon, dalje, ne uzima matematički određenu brzinu Ahila i kornjače, već pretpostavlja da se Ahil kreće do mjesta na kojem je kornjača bila prije nego je Ahil stigao do nje. Malo nerazumljivo, ali piše gore,
    “Da bi Ahil stigao kornjaču, najprije mora doći do točke gdje je kornjača bila u trenutku kad je Ahil krenuo – nazovimo tu točku K1. Ahil je brzonog, pa će za kratko vrijeme prijeći tu udaljenost. No, u međuvremenu se kornjača pomaknula. Kornjača je spora pa nije mogla otići jako daleko – nazovimo tu točku K2. U svakom slučaju, Ahil sada (da bi stigao kornjaču) mora doći do dočke K2. No, dok Ahil dođe do točke K2, kornjača se pomaknula do neke točke K3, itd.”
    Jedino racionalno objašnjenje bi bilo da se kornjača ne giba u isto vrijeme kao i slavni Ahil i obrnuto, već da dok se jedan giba, drugi čeka, pa kad ovaj stane, ovaj opet krene.
    Stoga, gledajući matematički:
    Put koji ahil prijeđe jednak je putu koji kornjača pređe u tom vremenskom intervalu zajedno s udaljenosti na početku, dok je put koji kornjača prijeđe određen njezinom brzinom.
    Naravno, paradoksa nema ako stavimo u sve ovo određene brzinske vrijednosti, dobiva se ono što je profesor rekao, da će Ahil vrlo brzo stići kornjaču.
    Sumiram li cijeli ovaj svoj dokaz, sve je teoretski ovisilo o igri riječi i o prvotnom postavu zadatka,
    I za ove ostale, nemojte kopirat s numberphile-a i kititi se time, makar naglasite da to nije vase osobno misljenje. No hard feelings ppl.

    1. ”…vidi se da je on došao do zaključka zbog činjenice da je zaustavljao jednog od njih da bi došao do zaključka.”
      Primjedba stoji. Ali, mislim da se može paradoks formulirati i bez da se itko zaustavlja. Dakle, gibaju se kontinuirano i Ahil i kornjača, istodobno, s određenim brzinama. Neki ultraosjetljivi senzor broji svaki put kad Ahil stigne u točke K1, K2, K3, K4,… Do kojeg će broja taj ultraosjetljivi senzor doći do trenutka kad Ahil dostigne kornjaču?

      ”objašnjenje bi bilo da se kornjača ne giba u isto vrijeme kao i slavni Ahil i obrnuto, već da dok se jedan giba, drugi čeka, pa kad ovaj stane, ovaj opet krene.”
      Ne, gibaju se istodobno. Dok se Ahil giba od K1 do K2, kornjača se giba od K2 do K3, itd.

  7. “Ne, gibaju se istodobno. Dok se Ahil giba od K1 do K2, kornjača se giba od K2 do K3, itd.”
    Tako je.
    Zbog toga, uzevši u obzir da Ahil u istom vremenu (jer smo zaključili da nitko nikog ne čeka) pređe put od K1 do K2, recimo da je u početku bila udaljenost 10 m.
    Dakle, Ahil pređe put od 10 m u nekom vremenskom intervalu, nazovimo ga t, a kornjača u istom tom vremenu t pređe put od K2 do K3. Dalje, Ahil prelazi put koji je kornjača prešla dok je on prolazio rutu K1 – K2.
    Ahilova brzina za rutu K1 – K2:
    s (Ahil) = x metara
    t = npr. 1 sekunda (jer smo rekli i da je kornjačino i Ahilovo vrijeme jednako)
    _____________________________________________________

    V (Ahil) =?

    V (Ahil) =s (Ahil) /t (jednoliko gibanje, nema akceleracije)
    V (Ahil) =x metara/ 1 sekunda
    V (Ahil) =x m/s

    Dakle imamo Ahilovu brzinu za rutu K1 – K2.
    Nastavimo sa kornjačinom brzinom (označimo je sa V(korni) ) u istom to vremenskom razdoblju t. Put koji kornjača prijeđe je manji za neku nepoznanicu z, jer je brzina kornjače manja od Ahilove brzine.

    Ruta K2 – K3

    s (kornjača) = x-z metara (x > z > 0)
    t = 1 sekunda
    ______________________________________________________

    V (korni) = ?

    V (korni) = s (kornjača) / t
    V (korni) = (x – z) metara/ 1 sekunda
    V (korni) = (x – z) m/s

    Znači brzina kojom se kreće kornjača u intervalu K2 – K3 je ista ona brzina kojom će se Ahil kretati u ruti K2 – K3, jer se kreću u istom vremenskom periodu.
    Dok kornjača pređe svojom konstantnom brzinom K2 – K3 rutu K3 – K4, Ahil će doći na prijašnje mjesto kornjače, K3, sa mjesta K2. Dakle ponovit će rutu kornjače K2 – K3. Kako im je vrijeme isto, brzina kojom se kreću mora biti ista iz činjenice da se kornjača kreće konstantnom brzinom i ne retardira putem, dok Ahil nakon rute K1 – K2 gubi na brzini.
    Iz ovoga jasno vidim da je Ahilova nova brzina jednaka kornjačinoj brzini na njezinoj početnoj ruti (K2 – K3), dakle (x – z) m/s.
    U konačnici, Ahil će za kornjačom uvijek zaostajati x – z metara. Sad kad sam dokazao da kornjača ne biva prestignuta, drži konstantnu prednost, mogu s lakoćom reći da vanjske okolnosti (tipa starost Ahila i kornjače, tadašnji prosječni životni vijek kornjače i čovjeka atlete, vremenski uvjeti i slično) ovise o ishodu utrke.

    Ako se držimo Zenona, ultraosjetljivi senzor neće stati brojati.

    1. Ne, brzine Ahila i kornjače su stalne.

      Ako je početna udaljenost od Ahila do kornjače (K1) bila d, onda je vrijeme za koje Ahil stigne do K1 a kornjača do K2 jednako t1=d/v(Ahil). Za to vrijeme kornjača prijeđe put od K1 do K2 koji iznosi s1=v(korni)*t1=d*v(korni)/v(Ahil).

      Vrijeme potrebno da Ahil stigne od K1 do K2, a istodobno da kornjača stigne od K2 do K3 je t2=s1/v(Ahil)=d*v(korni)/[v(Ahil)]^2. Put koji kornjača pri tom prijeđe je s2=v(korni)*t2= d*[v(korni)/v(Ahil)]^2.

      Itd.

      Vrijeme potrebno da Ahil stigne od K(n-1) do K(n), a istodobno da kornjača stigne od K(n) do K(n+1) je t(n)=d*[v(korni)]^(n-1)/[v(Ahil)]^n. Put koji kornjača za to vrijeme prijeđe je s(n)=d*[v(korni)/v(Ahil)]^n.

      Dakle, nema nikakvih nepoznanica, sve veličine su sasvim izračunljive. Dapače, gore sam ih i izračunao za onaj početni primjer.

      ”Znači brzina kojom se kreće kornjača u intervalu K2 – K3 je ista ona brzina kojom će se Ahil kretati u ruti K2 – K3, jer se kreću u istom vremenskom periodu.”
      Ne, ne kreću se na tom putu u istom vremenskom periodu. Put K2-K3 Ahil prelazi u istom vremenskom periodu u kojem kornjača prelazi put K3-K4. Put K3-K4 je manji, a vremenski period je isti, pa je brzina kornjače manja od Ahilove brzine.

      ”Ako se držimo Zenona, ultraosjetljivi senzor neće stati brojati.”
      Da, može li senzor izbrojati do beskonačno u konačnom vremenu? 🙂

  8. mislim da je problem u tome sto ovim nacinom se vrijeme sve vise smanjuje, i kad zbrojimo sve t-ove (beskonacno ih je) nikad necemo dobiti ono vrijeme u kojemu ce se oni susresti, a to je 10 sekundi

  9. Odgovaram isključivo kako bih potencijalno proširio ovu problematiku koja je, vidim, uzrokovala žustru raspravu te komentari na koju su polje rasprave proželi i na neke druge paradokse. Promišljanje me je ponijelo na područja nešto “bliskija” pojedincu u svakodnevnom životu, no čiji bi se problem (možda) mogao riješiti anologno ovome koji je i potakao raspravu. Dakle:

    Pitamo li čovjeka koliko je visok, odgovor će biti, recimo, 176 cm.

    Želimo li da bude točniji, dobiti ćemo odgovor 176 cm i 18 mm.

    Pitamo i dalje, iznos “postaje” 176 cm, 18 mm i 42 μm.

    Slijedili bi 4 nm i 93 pm, nakon kojih bi čovjek prestao jer se ne bi sjećao da mu je profesor fizike davnijih dana spominjao jedinice koje slijede* (odnosno iznosno prethode). Bilo kako bilo, ono što želim reći je sljedeće:

    Mjereći čovjekovu visinu,(u ovom slučaju) penetriramo u beskrajna prostranstva nama sićušnih jedinica koje su samo prethodnici (sljedbenici!) jedinicama koje su samo prethodnici (sljedbenici!) jedinicama koje su samo prethodnici (sljedbenici!) jedinicama i tako dalje i tako dalje.

    Uzmemo li čovjekovu visinu i masu, zapravo je jedini valjan zaključak: njihovi iznosi imaju beskonačno decimala. Kolokvijalno – nemaju točnu masu ni visinu. Koliki onda prostor čovjek zauzima? U kojem trenutku atletičar prijeđe ciljnu liniju? :O

    Moje je pitanje za Vas, profesore, no i kolege, imate li ideje za povezati činjenice:
    1) Čovjekova je [masa] neodređena
    2) Brzina čovjeka koji se kreće je kretanje čovjeka koji ima [masu] (molim bez intervencije koristeći neke sitne, po mogućnosti hipotetske čestice blabla nema mase kreće se blabla… ili pak one ovdje imaju glavnu ulogu? :O)

    *svaka naočigled namjerna povezanost s pravim profesorima fizike je kompletno nenamjerna

    Nadam se brzom odgovoru,

    SMVT LOGOPEDIMA!

    1. svakako odlicno razmisljanje i odgovor. iz toga zakljucujes da se covjeku ne moze tocno odrediti ni masa ni visina ,a ni položaj niti se moze tocno opisati njegovo kretanje. zanimljivo,ceka se @profesorfizike

      1. Svakako, jedna od prvih stvari koje se uče u prvom razredu gimnazije iz fizike je da se bilo koji izmjereni rezultat piše u obliku nekog broja plus/minus određena vrijednost. Taj plus/minus određuje raspon neodređenosti dotične izmjerene fizikalne veličine. Dakle, bilo koja izmjerena fizikalna veličina jest neodređena, više ili manje.

        Je li to relevantno za Zenona? Izgleda mi da je relevantno za ovu moju formulaciju problema Ahila i kornjače: ”Neki ultraosjetljivi senzor broji svaki put kad Ahil stigne u točke K1, K2, K3, K4,… Do kojeg će broja taj ultraosjetljivi senzor doći do trenutka kad Ahil dostigne kornjaču?” Koliko god osjetljivim zamislili taj senzor, ipak kao mjerni uređaj mora dopustiti određeno odstupanje (konačno mali broj, veći od nula). U trenutku kad je razmak između Ahila i kornjače manji od tog raspona u kojem senzor dopušta odstupanje, senzor bi trebao prestati brojati, i proglasiti da je Ahil stigao kornjaču.

        Dakle, suprotno mojoj namjeri, broj do kojeg će ultraosjetljivi senzor (koji ipak kao mjerni uređaj mora imati određeno odstupanje) doći nije ”beskonačno”, što bi ostavilo upitnike i očuvalo paradoks, nego je konačan broj.

        Treba mi bolja formulacija paradoksa. 🙂

  10. Ovaj problem je rješiv ako bi postojala neka minimalna duljina koja sa više ne bi mogla rastaviti na manje dijelove
    trazio sam na internetu postoji li takva dužina i našao sam stranicu na wikipediji: http://en.wikipedia.org/wiki/Planck_length
    ta duljina se naziva planck duljina ,i prema wikipediji , najmanja je moguca duljina bilo cega,te se ne može rastaviti na manje dijelove.
    Ako npr. uzmemo da je udaljenost između ahila i kornjače 10 na pedesetu planck duljina,
    ako stalno prepolavljamo udaljenost, jednom cemo dobiti udaljenost od samo jedne planck duljine koja se nece moći prepoloviti, te ce je ahil samo preskociti i nastaviti trku ispred kornjače.

    1. Zapravo je Planckova duljina najmanja duljina koju će ikad biti moguće izmjeriti (uz bilo koju tehnologiju). Treba li najmanju duljinu koju ćemo ikad moći (u principu) izmjeriti ujedno smatrati i najmanjom mogućom duljinom bilo čega?

      Ali, da, ako paradoks Ahila i kornjače formuliramo pozivanjem na neki mjerni uređaj, onda paradoks otpada također i s obzirom na postojanje najmanje mjerljive duljine

  11. Nadovezali bismo se na AFGJ-a i njegovo mišljenje o minimalnoj duljini.

    Zamislimo da imamo 2 loptice na nekom ekranu i da se kreću kao što je navedeno u ovom pokusu. Mjesto gdje jedna prestiže drugu možemo lako odrediti ako se približimo ekranu i čekamo kad im se x koordinate piksela poklope. U ovom slućaju, paradoks je riješen jer postoji rešetka piksela, a svaki taj piksel je najmanja moguća udaljenost koju nešto na ekranu može prijeći.

    Prema ovome, možemo dati jednu pretpostavku da se sve u svijetu kreće unutar rešetke, tako male (manje od atoma) i (za sada) nezamjetne. Dugim i dugim zumiranjem prostora između Ahila i kornjače svaki put kad se približe došli bi do toga da bismo vidjeli njihove “piksele” kako se preklapaju i prestižu. 🙂

  12. Ako su ahil i kornjaca u nulta prostoru,to jest nepostoji nista sem oni onda nece ahil sustici kornjacu.Zato sto nepostoje tacke odmosa.Nepostoji nazad ni naprijed.To bi izgledalo kao kad bi sve sto postoji bilo ofarbano u jednu nijansu.Ako za bezkonacni ravan kazemo da ima bezkonacno tacki, to sigurno necemo tvrditi za ravan koji je ogranicen 1m2 itd.Svaki dio koji cini ili jeste dio beskonacnog niza jeste mjerljiv,moze se brojati.U sustinu postoji samo jedan infinit.Ako prirodan broj 1 ucestvuje u stvaranju infinita onda njegov najveci djelilac jeste manji od infinita. (1:NPB0. OVO VAZI I ZA BILO KOJI PARADOKS.

  13. Ako 1m2 koji je bijele boje ofarbamo sa crnom,dobijamo 1m2 crni.Ravan koji je ogranicen ima i ogramicen broj tacki.To vazi i za prostor/vrijeme

Komentiraj

Popunite niže tražene podatke ili kliknite na neku od ikona za prijavu:

WordPress.com Logo

Ovaj komentar pišete koristeći vaš WordPress.com račun. Odjava /  Izmijeni )

Google+ photo

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Google+ račun. Odjava /  Izmijeni )

Twitter picture

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Twitter račun. Odjava /  Izmijeni )

Facebook slika

Ovaj komentar pišete koristeći vaš Facebook račun. Odjava /  Izmijeni )

Spajanje na %s